книги / Структурно-аналитическая теория прочности

293, 306, 310, 337], добиваясь ее усовершенствования формаль­ ными приемами, то на заключительной стадии работы пришлось обратиться к более фундаментальным подходам (132, 261—263, 266, 275, 277, 280, 281, 401, 403, 441].

Динамизм эволюции представлений авторов усматривается даже при сопоставлении содержания первой и второй глав с недавней работой [204]. Надо полагать, что читатель воспримет содержание предлагаемой теории в том же плане.

Последнее замечание касается следующего вопроса. Нам не­ однократно высказывали мнение, что структурно-аналитическая теория является лишь разновидностью концепции скольжения. Согласиться с подобной трактовкой нельзя. Действительно, клас­ сическая теория скольжения является, по нашему мнению, ори­ гинальной лишь в части формулировки аналитических соотно­ шений для процесса сдвига. Представление о самом скольжении как физическом канале массопереноса возникло задолго до по­ явления концепции скольжения [472], и этот механизм развития деформации в равной мере свойствен любым кристаллическим объектам, независимо от математических способов описания их пластичности. Тот факт, что и в структурно-аналитической те­ ории, и в теории скольжения широко используется ориентаци­ онное усреднение, также ничего не значит, так как метод ори­ ентационного усреднения широко распространен в механике в самых разнообразных задачах [109, 409], включая упругость [109]. Точно так же не является прерогативой только теории скольжения способ построения определяющих соотношений сна­ чала на микроуровне, а затем с переходом на макроуровень.

Если сопоставить структурно-аналитическую теорию с тео­ рией скольжения, то нужно иметь в виду принадлежность струк­ турно-аналитической модели к не встречающимся в концепции скольжения задачам механического поведения кристаллов в ус­ ловиях диффузии, мартенситных реакций, двойникования, ра­

полнен не на языке приложенных напряжений, а через эффек­ тивные напряжения, что обеспечивает инвариантность соответ­ ствующих уравнений.

Пристальное знакомство с содержанием структурно-аналити­ ческой концепции позволяет усмотреть в ее арсенале и элементы реальной физики элементарных актов массопереноса, кристал­ лохимических реакций или разрушения, и приемы аналитиче­ ского отображения законов деформации и разрушения в тер­ минах механики. В этой теории используются, например, пред­ ставления деформационной теории пластичности и теории те­ чения (на микроуровне), а также принципы линейной механики разрушения и феноменологической теории повреждаемости. В указанном смысле уместно говорить, что структурно-аналити­ ческая теория объединяет в себе наиболее существенные дости-

жения из области физики и механики прочности. Основное до­ стоинство предлагаемого нами подхода заключается в возмож­ ности ясной физической трактовки всех феноменологических па­ раметров теории. Даже такое, казалось бы, очень сложное урав­ нение, как (1.77), полностью обосновывается фундаментальными физическими закономерностями [388, 468]. Наполнение всех элементов теории конкретным физическим содержанием не дол­ жно вызывать каких-либо непреодолимых трудностей.

Последующие главы посвящены прикладным задачам. Они иллюстрируют пригодность структурно-аналитической теории для инженерной практики.

Глава 3

ДЕФОРМАЦИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМАЯ СКОЛЬЖЕНИЕМ ИЛИ МЕХАНИЧЕСКИМ ДВОЙНИКОВАНИЕМ

3.1. Анализ методов расчета упруго-пластических свойств на основе конечных соотношений для г5 в модели латентного упрочнения

Значительные позитивные результаты в создании теории пла­ стичности были достигнуты при использовании соотношения

Далее показано, что сдвиги осуществляются только в сторону действия T®!8*, т. е. направление I в системе координат I, т, п

ращений Дб0 из (1.866) и (3.1) вытекает основное уравнение течения

шаге нагружения; п — число таких шагов, предшествующих текуще­

му.

Таким образом, определяющие соотношения (3.3) и (3.4) фак­ тически аналогичны (1.87) и (1.89), с той разницей, что, во-пер­ вых, (3.3) и (3.4) заданы в виде разностных, а не диффе­ ренциальных форм; во-вторых, в (3.3) и (3.4) эксплуатируется

случай, когда Ай = g-1 , правомерность чего будет доказана ниже;

в-третьих, для И постулируется зависимость как от /З31, так и непосредственно от oi/c, в то время как в (1.89) лишь от интен­ сивности Гр (которая, впрочем, зависит от о^); в-четвертых, в

в-пятых, в (3.4) деформационное упрочнение определяется алгеб­ раической суммой приращений Дб,-, а в (1.89) — длиной пути де­ формации для интенсивностей Гд, когда имеет место суммирова­

ние Д/?*£ по модулю.

Большая функциональная нагрузка в (3.4) ложится на ве­ личину TQ, дл я которой [248, 401, 403, 441] обосновано сле­

где к (T/Tnn , t —s) — ядро, учитывающее релаксацию неориен­ тированных микронапряжений; w — скорость изменения упругой энергии поля микронапряжений; Во — постоянная.

Опыт расчетов показал, что для ядра к (ТУТ™,, t - s) уместно выражение

Что касается величины w, то ее можно записать в форме

о Ао : о w cikpq cr^ik <r*-pq•

или, учитывая (1.23),

w A-ghcd°gh°cd >

где

A ghcd cikpq ^ ik a b ^ p q rs ^abm n ^ rstl *

* ( ^ c mngh ** ~ c rnnglù ( < c tied/* ~ c tied) •

В практических расчетах сложный тензор Aghcd заменяли на бо­ лее простой Aaôqhôcd, где Аа — постоянная материала, характе­ ризующая неориентированные микронапряжения. Это дает

W = AaOqhOqh.

Подчеркнем, что введение в предмет анализа в (3.4) де­ формационного упрочнения не через фактор А/31sgn Ар1, а по­ средством лишь Ар1 означает постулирование полярности свойств упрочнения {Xs увеличивается при Ар1 > 0 и уменьшается при

Ар1 < 0). Такие свойства в кристаллах практически не встре­ чаются. Поэтому (3.4) пригодно только для режимов односто­

роннего нагружения (только при Ар' > 0 или Ар1 < 0) или близ­ ких к ним.

Произведем расчет диаграммы деформирования, приняв за основу (1.72) и (1.73) для начальных стадий пластического те­ чения [298 ].

В такой постановке Л/* и pik можно считать тождественно равными нулю, поскольку существенные эффективные поля мик­ ронапряжений на начальных стадиях пластического течения воз­ никать не должны. Кроме того, пренебрежем скоростной зави­

ковда поправкой на релаксацию в (1.73) через соотношение (3.5) можно полностью пренебречь. Этому отвечает время деформиро­

вания Ai, удовлетворяющее условию A(«ro/ra(rs - r°)m . При та­ ких предположениях система уравнений (1.72) и (1.73) легко ре­ шается. Анализ показывает, что уравнения (1.72) и (1.73) при­ водят к выражению вида

и при непременном соблюдении требования

У реальных материалов кристаллографический предел те­ кучести имеет очевидную статистическую природу, вследствие

рина функции распределения гр(х) в уравнении (1.8). Среднее значение сдвиговой микродеформации по совокупности стати­

При интегрировании (3.8) используем равномерное распре­ деление для гр(х):

Теперь остается провести ориентационное усреднение де­ формации. Результат его зависит от напряженного состояния. Пусть для определенности материал испытывает одноосное нагружение, когда имеется одна ненулевая компонента напря­ жения о33 и только три ненулевые пластические деформации

выражен через эллиптические интегралы первого, второго и

Можно показать, что приемлемый конечный результат дости­ гается при

После интегрирования (3.12) с учетом (3.13) и (3.14) получаем

Уравнение (3.15) правильно отражает тот известный факт, что при очень малых напряжениях <733 диаграмма деформиро­ вания может быть близка к линейной, а при больших аппрок­ симируется параболой типа aVë.

Учет скоростной зависимости деформирования и процессов возврата в (3.5) приближает результаты расчетов к экспери­ ментально обнаруживаемым закономерностям.

3.3.Ползучесть

Вфизике твердого тела рассматривают обычно два типа пол­ зучести: одну, связанную с процессами возврата (так называ­

емая г-ползучесть), и вторую, обусловленную термофлуктуационным преодолением барьеров движущимися дефектами — носи­ телями неупругой деформации (условно /7-ползучесть). В рамках структурно-аналитической теории ползучесть, контролируемая возвратом при неупругости, реализуемой скольжением, можно связать (на микроуровне) с уравнениями (1.72), (1.73), а термофлуктуационную ползучесть - с уравнениями (1.68)—(1.71).

Рассчитаем деформацию таких разновидностей ползучести на макроуровне [299 ].

цией (3.5). Рассмотрим поведение материала на микроуровне после приложения постоянного напряжения г31. В условиях неупругого деформирования, вызванного напряжениями г31, в любой момент времени в стационарном режиме деформиро­

f i l l = ~ Ч Г31 s8n r 3l ~ ^°)т Я (г3, sgnr31 - 4 ) s g n r 31. (3.16)

Таким образом, г-ползучесть может быть близкой к степен­ ной, если возврат в (3.5) определяется степенной кинетикой.

Обычно т° уменьшается с ростом температуры, а коэффициент га резко возрастает:

когда /?3 1 мало, имеет силу (3.16), а в режиме установившейся ползучести - аналогичное уравнение, в котором вместо г31 дол­

жно быть подставлено г '31.

Ограничиваясь для определенности случаем одноосного на­ гружения, когда лишь а33 * 0 , сформулируем определяющие уравнения в соответствии с (1.18). В установившемся режиме

Бели теперь принять т * 3 в (3.16), что отвечает многочис­ ленным наблюдениям в отношении т , легко найти интегрирова­ нием по ориентационному пространству {£2 } уравнения (1 .8), приняв за основу гипотезу (3.13), (3.14) для аргумента функции

Система уравнений (3.18), (3.19) позволяет рассчитать ста­ ционарную скорость ползучести в условиях генерации ориенти­ рованных микронапряжений. Заметим при этом, что в (3.19)

отсутствует функция Хевисайда типа Я [ а33 sgn а33 - xs ), по-

скольку во все моменты времени считается выполненным ус

3.3.2. Термоактивируемая /5-ползучесть

Для расчета /5-ползучести используем уравнения (1.68), по­ ложив п - 3. Для ориентированных микронапряжений восполь­ зуемся уравнением (1.18). Интегрируя (1.68) по изотропному ориентационному пространству, с учетом (1.18) получим систему соотношений

рода. Оно может быть решено методом Рунге-Кутта. Это ре­ шение, будучи подставленным в (3.20), позволяет определить

è 33. При стационарной ползучести р 33 = 0, что позволяет после решения кубического уравнения, вытекающего из (3 .2 1), найти />33 и, в соответствии с (3.20), рассчитать скорость стационарной

ползучести è 33.

Приведем без вывода систему уравнений /5-ползучести, вопервых, для чистого сдвига, когда действуют только компоненты

<713 = (73i и возникают деформации £13 = 6 3 1* и* во-вторых, для напряженного состояния, когда отличны от нуля только ком­ поненты напряжений а 13 = а 31 и ст33 и остаются ненулевыми

деформации £31 = «13 * £п = 622 = ~ ^зз* При чистом сдвиге име­

ем