книги / Структурно-аналитическая теория прочности

ременных инженерной теории прочности. Понятно, однако, что любые физические законы, в том числе и на макроскопическом уровне, должны быть инвариантными по отношению к некоторым преобразованиям. В случае изотропных квазиоднородных тел эта инвариантность постулируется по отношению к однородным груп­ пам трансляции и поворота. Отсюда с неизбежностью вытекает, что определяющие соотношения должны выражаться через соот­ ветствующие инварианты тензоров напряжений и деформаций, например через их вторые инварианты. Однако подобные требо­ вания находятся в полном противоречии с физикой реализации процесса неупругой деформации. Так, например, если деформа­ ция осуществляется скольжением, то процесс инвариантен по от­ ношению только к подгруппе скольжения, в случае двойникования — только к подгруппе двойникования, не тождественной под­ группе скольжения, в случае мартенситного превращения — толь­ ко к подгруппе, описывающей процесс мартенситной реакции, и т. д. В тех случаях, когда имеют место простые схемы пропор­ ционального нагружения, а тело макроскопически изотропно, не­ соответствия между требованиями инвариантности на микро- и макроуровне оказываются несущественными и классические при­ емы механики пластичности дают удовлетворительные результа­ ты. Когда же характер внешнего воздействия на материал явля­ ется сложным, например нагружение осуществляется с резким из­ ломом траектории в пространстве напряжений, принципы макро­ скопической инвариантности приходят в противоречие с реально осуществляющимся процессом на микроуровне. Макроскопические свойства будут зависеть от пути нагружения со всеми вытекаю­ щими последствиями. В результате макроскопическая теория ока­ зывается неспособной делать правильные прогнозы.

Подобные примеры несостоятельности макроскопической тео­ рии пластичности можно было бы продолжить. Мы здесь исполь­ зуем только один аргумент. В случае пластически анизотропных тел единые уравнения на макроуровне вообще невозможно запи­ сать, так как симметрия свойств на макроуровне определяется текстурой материала, характер которой варьируется в чрезвычай­ но широких — практически неограниченных — пределах. Даже по грубым признакам существуют масштабные классификации текстур. В указанном смысле вариантов теорий пластичности для анизотропных тел должно существовать столько, сколько суще­ ствует типов текстур. В то же время совершенно понятно, что физические свойства малых объектов кристаллов не зависят от наличия текстуры, а именно эти свойства продуцируются на мак­ роуровень. Свойства же макроуровня определяются дополнитель­ но еще и характером ориентационной структуры материала. В результате имеет место ситуация, когда параметры уравнений ме­ ханики пластичности, описывающие макроскопические свойства, зависят как от фактических физических свойств кристалла, так и от ориентационной организации структуры материала. Следо­ вательно, они не носят фундаментального характера. Более того,

константы таких уравнений будут зависеть от изменения тексту­ ры, происходящего непосредственно в процессе деформаций. Не­ фундаментальный характер уравнений механики (констант мате­ риала) прослеживается и для изотропных тел, поскольку конеч­ ные соотношения могут определяться способом воздействия.

Перечисленные трудности механики пластичности носят, ко­ нечно, принципиальный характер. Их нельзя преодолеть путем каких-либо изощренных формализаций или неизбежных в таких случаях уточнений. Рациональный выбор решения проблемы пла­ стичности в целом усматривается лишь в последовательном обос­ нованном учете физических процессов в твердом теле и исполь­ зовании достижений механики пластичности.

Следует сказать, что применительно к объектам, у которых, как теперь выяснено, работает дислокационный канал массопереноса, попытки построения эффективной теории пластичности

440, 462, 469]. Появившаяся в результате этих исследований теория, получившая название концепции скольжения, сняла ряд возражений как по отношению к физике, так и по отношению к механике. Однако и концепция скольжения зашла в тупиковое

Справедливости ради отметим, что малоперспективное состо­ яние физики и механики пластичности не следует рассматривать как упрек в адрес этих дисциплин. Грандиозные достижения в области физики пластичности реального кристалла, изменившие коренным образом систему представлений о твердом теле, оче­ видны. Очевидны и достижения механики пластичности, привед­ шие к созданию мощных аналитических методов расчета. Реаль­ ная ситуация заключается в том, что обе эти дисциплины прак­ тически исчерпали возможности своего внутреннего развития. Кро­ ме того, не было найдено эффективных путей для объединения этих наук в единую систему взглядов. Бурное развитие эксперименталь­ ной физики твердого тела, материаловедения и металлургии, появ­ ление материалов с принципиально новыми, ранее неизвестными свойствами, возникновение новых инженерных задач, требующих прецизионного прогноза свойств, потребность в анализе поведения материалов при нетривиальных, нередко экстремальных способах воздействия и ряд других обстоятельств требуют в настоящее время коренного прорыва в части создания новых, более совершенных по

сравнению с известными теорий прочности.

Представляется, что такие новые подходы должны основываться на достаточно общих принципах теоретической физики и должны естественным образом включать и учитывать конструктивные идеи как современной физики пластичности, так и современной механи­ ки пластичности.

Ниже предпринята попытка изложения такой теории. Эле­ менты ее содержатся в [132, 141, 232, 233, 254, 255, 259, 261—263, 266, 275, 277, 279—281, 284].

1.2. Принципы построения теории

При выборе методологии нет оснований рассматривать тео­ рию пластичности как дисциплину, требующую особого подхода. Поэтому воспользуемся хорошо разработанными приемами тео­ ретической физики, которые широко используются при анализе континиумов. Говоря более конкретно, условимся исходить из следующих посылок.

1. Предположим, что существует малая область кристалла с объемом Го, которую можно рассматривать как элемент сплошной среды, способный к деформациям под действием различных сил, приложенных к этой малой области. Будем выбирать объем Го много большим объема атома Га. Объем Го должен быть настоль­ ко большим по сравнению с Га, чтобы он как элемент сплошной среды был достаточен для осуществления акта массопереноса. Нижняя граница для Го зависит, конечно, от того, какой конкретно процесс происходит в нем. Так, если рассматривается диффузия точечных дефектов, которые имеют собственные объемы порядка Га, т. е. около 10’23 см3, объем Го должен не менее чем на тричетыре порядка превышать Га. Это дает нижнюю границу для Го около 10'19 см3. Когда деформация обусловлена движением отдельных дис­ локаций или малых их частей, целесообразно обращаться к объемам Го, имеющим порядок не менее 10‘1 —10'12 см3. Если элементар­ ный процесс пластичности сводится к развитию подрсы скольжения, то объем Го редко бывает меньше 10"1 —10’6 см3. Мартенситные реакции требуют обращения к объемам не меньшим 10'15 с м , а в некоторых случаях и более, вплоть по крайней мере до 10"3 см3

ит. д.

Сдругой стороны, представительный объем Го не следует брать чрезмерно большим. Верхнюю его границу определяет ха­ рактер неоднародного строения тела, поскольку целесообразно считать, что в пределах объема Го кристалл построен относитель­ но однородно и, следовательно, характеризуется относительно простыми свойствами. Например, во фрагментированных струк­ турах верхняя граница для Го определяется размерами фрагмента

исоставляет для сильно деформированных кристаллов примерно 10’1 см3. В тщательно отожженных поликристаллах объем Го имеет верхнее ограничение со стороны размера зерна. Это дает диапазон изменения верхнего значения для Го примерно от 10‘9

до 10"3 см3.

Таким образом, условимся исходить из предположения, что в любом реальном теле удается выделить относительно одно­ родную область Го, в которой возможно протекание процессов, вызывающих деформацию этого элемента.

Обозначим тензор однородной деформации в Го через pik- В каче­

стве foie могут выступать упругие р \ и неупругие деформации

р')к (обусловленные активной пластичностью р% или ползучестью

p*ik), деформации двойникования р \ , мартенситной неупругости

ции рЧк, деформации диффузионного происхождения р^к, радиаци­

онно-стимулированные pJik и т. д. Элемент Vo в состоянии испыты­ вать и любую сумму перечисленных деформаций.

Названные деформации будут возникать под воздействием по­ лей различной природы, которые распространяются в пределах Го: механического напряжения г/*, температуры Т, электрического поля Ей магнитного поля Ни интенсивности облучения / и т. д. Есте­ ственно полагать, что для объема Vo как физического элемента сре­ ды всегда удается сформулировать относительно простые законы развития любой из перечисленных деформаций как функцию по­ рождающих эту деформацию факторов. Например, упругая деформа­

ция р \ выражается через напряжения г(к посредством закона Гука,

деформация теплового расширения р \ приблизительно пропорцио­ нальна изменению температуры и т. д.

Совершенно понятно, что деформационные законы в объеме Го с хорошим приближением не зависят и не могут зависеть от событий, происходящих в любых других объемах Го, кроме дан­ ного. Это принципиальное утверждение позволяет рассматривать развитие деформации в Го как свойство фундаментального ха­ рактера. Оно может быть установлено либо теоретически, на ос­ нове модельных представлений, либо экспериментально. Будем исходить в дальнейшем из того, что законы деформационного по­ ведения объема Го известны.

Совершенно естественно, что, поскольку Го есть элемент объема кристалла, аналитические соотношения для деформации pik обязаны удовлетворять симметрийным преобразованиям кри­ сталлической решетки и симметрийным требованиям развития каждого конкретного механизма деформации. Иными словами, должен соблюдаться принцип локальной инвариантности про­ цесса. Константы соответствующих уравнений при этом не дол­ жны зависеть от способа воздействия на материал или от про­ цессов, происходящих вне представительного объема Го, т. е., следовательно, должны иметь смысл фундаментальных констант материала.

Выбор объема Го, элементарного акта деформации в нем и законов деформационного поведения является ключевым вопросом во всей рассматриваемой проблеме. Если объем Го слишком мал, а эле­ ментарный акт деформирования определен на неоправданно низком структурном уровне, закономерности развития Pik будут простыми и инвариантными, однако дальнейшие расчеты могут оказаться неэф­ фективными из-за необходимости многоступенчатого анализа в мно­

гоуровневой схеме поведения кристалла в целом. С другой сто­ роны, чрезмерное увеличение элементарного объема Vb может сделать неосуществимым выбор относительно простого закона для fiik, удовлетворяющего фундаментальным требованиям ло­ кальной инвариантности. Так, при развитии диффузионных про­ цессов, по-видимому, достаточно выбрать Vo около Î0 '1 —10’16 см3. Бели процесс сводится к двойникованию, целесообразно в качестве Vo взять такую область, для которой удается записать закон раз­ вития двойника. При мартенситном превращении элементарный акт пластичности целесообразно относить к одиночной мартен­ ситной пластине или к самоаккомодированным их группам и т. д. Как увидим ниже, успех теоретического анализа зависит почти исключительно от рациональности выбора масштаба эле­ ментарного акта пластичности в Vo.

2. Предположим далее, что удовлетворительное приближение теории достигается, если свойства представительного объема Vo выражаются через средние значения переменных по объему Vb. Иными словами, будем исходить из того, что такие величины, как /?/£, Tik, Ту J, Еу Н и т. д. в пределах V6 постоянны. Свойства объемов Vb, выраженные в кристаллофизическом базисе, не зависят, конечно, от ориентации последнего по отношению к лабораторному базису. Однако те же свойства, представленные в лабораторном ба­ зисе, вследствие анизотропии будут зависеть от ориентации кри­ сталлофизических осей каждого Vo. По этой причине макроскопи­ ческие характеристики кристаллов будут непременно определяться статистикой ориентаций объемов Vb и в этой связи будем широко пользоваться методикой ориентационного усреднения. Статистическое усреднение потребуется в ряде приложений в силу того, что различ­ ные объемы Vb, относящиеся к различным участкам кристалла с одинаковой ориентацией, не эквивалентны между собой. По назван­ ным соображениям необходимо реализовывать статистическое ус­ реднение по соответствующим параметрам ансамбля объемов Vb.

Таким образом, кроме первого уровня усреднения по объему Vb, станем обращаться к усреднению по второму масштабному уровню в объеме V » Vo. Ориентационное и статистическое ус­ реднение по объемам Vb является по существу средством перехода к описанию свойств кристаллов в терминах инженерной механики материалов, т. е. в физически наблюдаемых величинах, харак­ теризующих свойства кристаллов как сплошной и (в среднем) относительно однородной среды.

3. Следующий важный момент заключается в предположении, что объем V допустимо рассматривать как математическую точку сплошной среды. Средние по нему значения деформаций £/*, на­ пряжений Oik, температуры Т и т. д. относятся теперь уже к измеряемым величинам, имеющим макроскопическое содержание. Понятно, что такие средние величины допускают использование аппарата непрерывных и дифференцируемых функций в континиуме, образованном множеством рассматриваемых объемов V.

Именно для такого пространства и сформулированы основные за­ коны поведения сплошных сред, например уравнения равновесия для Oik, уравнения сплошности для £/*, уравнение теплопроводности для Т и т. д. Таким образом, в рассматриваемой модели физи­ ческий и механический аспекты как бы разнесены по разным этажам усреднения: физический — по нижнему структурному мик­ роуровню Vb, а механический — по верхнему макроуровню V.

4. Совершенно очевидно, что между различными объектами нижнего уровня Vo существуют сильные взаимодействия. Напри­ мер, если в каком-то объеме Vb развивается пластическая дефор­ мация, а в другом, соседнем только упругая, это приводит к пе­ рераспределению напряжений между первым и вторым объемами. Характер подобного перераспределения зависит от многих фак­ торов: от взаимного расположения всех Vo в области усреднения

V относительно друг друга, от их взаимной ориентации, от ста­ тистики распределения свойств по ним и т. д. Точный расчет подобных взаимодействий в рамках современной физики и меха­ ники пластичности практически невозможен. Однако ясно, что в среднем каждый из объемов испытывает одинаковое воздействие со стороны всех других Vo. Если такое воздействие характеризовать в терминах напряжений, то целесообразно выделить две составляю­ щие дополнительного поля напряжений — так называемые ориен­ тированные микронапряжения, тензор которых обозначим через tpik, и неориентированные микронапряжения, характеризуемые тен­ зором vik. Этот методологический прием учета взаимовлияния эле­ ментарных объемов известен в теоретической физике как метод эффективного поля. Примером эффективного поля является маг­ нитное поле ферромагнетиков, которое возникает вследствие вза­ имодействия спинов электронов. В нашем случае ориентирован­ ные микронапряжения ipik, как увидим ниже, индуцируются ис­ ключительно суммарной макроскопической неупругой деформа­

цией £&. Неориентированные микронапряжения vik возникают по разным причинам, прежде всего из-за анизотропии теплового рас­ ширения и анизотропии упругой податливости в Vo.

'В связи со сказанным в развиваемом подходе чрезвычайно важным оказывается не только использование двух структурных уровней, но и учет взаимодействия между ними. В двухуровневой модели процесс формирования механических свойств происходит по следующей схеме: напряжения Oik порождают микронапряжения х\к. Последние вызывают физические акты массопереноса, т. е. пла­

стические деформации (?)к. В результате появляется макроскопиче­ ская деформация £/*, которая определяется ориентационным и про-

странственным усреднением. Неупругие деформации индуци­ руют напряжения ipik, что немедленно сказывается на характере раз­

вития /?'}*, зависящих от тfit, и, следовательно, на деформации £&. Убеждаемся здесь, что даже в случае простейших законов для

fi'ik законы развития макроскопических деформаций могут ока­ заться сложными.

5. Договоримся исходить из принципиального тезиса о том, что константы определяющих уравнений для микроуровня V6, как, впрочем, и другие константы теории, не зависят от способа

. их калибровки посредством любых приемлемых процедур макро­ скопического характера. Независимость локальных инвариантов от калибровочной процедуры будет предполагаться и в отношении соответствующих локальных законов деформации в V6. Принцип локальной калибровочной инвариантности в применении к рас­ сматриваемой проблеме означает, что все физические константы теории имеют смысл фундаментальных констант материала и что работоспособность предлагаемой теории обеспечивается для лю­ бых способов воздействия на твердое тело при любой его стати­ стической и ориентационной структуре (анизотропии свойств), ес­ ли только физические условия деформации изменяются в таких пределах, когда постулированные механизмы процесса сохраняют свою силу.

Будем считать справедливыми следующие замечания по по­ воду представительного объема Ко. Если не принимать во вни­ мание статистический характер распределения свойств по множе­ ству объемов Vo, то единственным отличительным признаком Vo будет служить ориентация их кристаллофизических базисов от­ носительно лабораторной системы координат. При этом для каж­ дой фиксированной ориентации можно и нужно привлекать не один объем Vo, а любое их требуемое количество совершенно эквивалентных по свойствам и ориентациям. В объектах значи­ тельных размеров количество Vo может быть очень большим, так как верхний уровень масштаба Vo ограничен в силу соображений, изложенных выше, а суммарный объем Vo ограничен только раз­ мерами области усреднения V, которая может быть большой для масштабных тел. Из сказанного проистекают два важных следст­ вия: во-первых, что совокупность V6, характеризуемая заданной ориентацией кристаллофизического базиса относительно лаборатор­ ного, в физическом плане пространственно разнесена по объему ус­ реднения V, т. е. если и стянута в точку ориентационного про­ странства, то лишь в математическом, а не в физическом смысле; во-вторых, из этого следует, что, если в каком-то из подобных Vo произошло некое событие, например растрескивание, оно не будет накладывать запрета на другие события в других объемах Vo с той же ориентацией. Если к тому же имеет место статистическое рас­ пределение свойств по совокупности Vo, то оно должно охватывать в равновероятной мере полное множество Vo, независимо от ори­ ентационного фактора. В результате ориентационное и статисти-

ческое усреднения при пересчете свойств в лабораторный базис должны быть совершенно независимы.

Как можно убедиться в дальнейшем, к определяющим соотно­ шениям теории могут добавляться довольно сложные функции рас­ сматриваемых переменных (составляющие полей напряжений и т. д.), не влияющие на конечный результат. Это обеспечивает допол­ нительную гибкость при аналитическом описании явлений.

По ряду признаков изложенная в данном параграфе процедура построения аналитических соотношений позволяет отнести разви­ ваемую теорию пластичности к категории калибровочных теорий прочности. Будем, однако, придерживаться более содержательной терминологии, относя ее к структурно-аналитическим теориям прочности. Последнее название приемлемо потому, что оно от­ ражает как механический, так и структурно-физический аспекты проблемы.

1.3. Выбор системы координат

При разработке обсуждаемой здесь теории пластичности часто бывает полезным использовать не одну систему координат, а не­ сколько, в зависимости от характера рассматриваемого вопроса. На­ пример, задачи инженерного плана удобно решать в лабораторном базисе. Многие физические свойства кристаллов, скажем, тепловое расширение и модули упругости, целесообразно представлять в кри­ сталлофизическом базисе. Такие же специальные свойства, как скольжение или двойникование, проще отражать в специальном ло­ кальном базисе, ориентируя одну из координатных осей по нормали к плоскости сдвига, а другую — вдоль направления сдвига, и т. д.

Разумеется, обращение к той или иной системе координат не есть вопрос принципиального характера. Но запись физиче­ ских законов в специальных системах координат существенно облегчена, сопровождается меньшей громоздкостью и более вос­ приимчива в отношении физического смысла задачи. Переход же к какой-либо одной системе возможен путем стандартных формальных преобразований. Заметим, что преобразования об­ легчаются, если в структуре уравнений содержатся логические функции типа функций Хевисайда или дельта-функций Дирака. Они будут широко использованы при записи аналитических соотношений.

Итак, условимся все макроскопические переменные выражать

влабораторном ортогональном базисе х, у, z. В нем уместно за­ писывать окончательные выражения и соответствующие операции

втерминах инженерной механики пластичности, например кон­ фигурационные тензоры деформаций ем и напряжений ом, усред­

ненные по характерным объемам F, включающим в себя большое количество малых участков (объемов V6) кристалла, в которых реализуется каждый конкретный элементарный акт деформации. Кроме того, будем применять кристаллофизический базис, зада-

ваемый тремя некомпланарными единичными векторами и, v, w, который в общем случае является косоугольным, а в практических расчетах — близким к ортогональному. В кристаллофизической си­ стеме координат удобно выражать такие свойства, как тепловое рас­ ширение и упругую податливость, коэффициенты диффузии и теп­ лопроводности, пьезоэлектрические модули и т. д. Справочные све­ дения о подобных характеристиках обычно представляют именно в кристаллофизическом базисе. Наряду с этим будем широко ис­ пользовать различные локальные базисы (которые в общем случае можно считать и неортогональными), выбирая их каждый раз так, чтобы форма записи соответствующих физических законов реали­ зации процесса была предельно простой и понятной по содержанию. Так, если деформация осуществляется путем кристаллографиче­ ского сдвига по плоскостям с нормалью п в направлении /, то до­ говоримся задавать ее в базисе /, т, п, где направления I, т, п образуют тройку единичных ортогональных по отношению друг к другу векторов. Такие переменные, как fiik, г ipik и vik, условимся относить только к локальному базису /, т , п.

Повернутыми относительно друг друга могут оказаться не только лабораторный и кристаллофизический базисы, но и любые другие. Так, в случае ГЦК-решеток орты и, v, w совпадают соответственно с направлениями [100], [010] и [001], а орты I, т, п — с <110>, <122> и <111>. В ОЦК,-кристалле ы, v и w сохраняют те же индексы, что и у ГЦК-кристаллов, в то время как векторы I и т параллельны соответственно направлениям <111> и <122>, а нормаль п в зависи­ мости от действующей системы скольжения ориентирована вдоль од­ ного из трех направлений: <110>, <112> или <123>.

Каждый конкретный механизм пластичности обычно требует выбора собственного локального базиса. Так, при двойниковании ОЦК-кристаллов нормаль п_ целесообразно ориентировать вдоль [111], а орт I — вдоль [112], у ГЦК-кристаллов, как правило, соответственно вдоль [112] и [111]. У индия_вектор п лучше

векторов и тензоров к нужной системе отсчета. Эта процедура яв­ ляется стандартной, не составляющей технических трудностей [400 ]. Например, если какой-либо вектор А задан ковариантными

компонентами Л? в базисе {е1}, то его ковариантные компоненты Ак

Обратное преобразование, т. е. переход от системы координат к системе координат | e l J, может быть осуществлено по фор-

В случае преобразования тензоров любой валентности легко сохранить ту же технику вычислений. Это видно из диадного представления тензоров. Так, если ковариантные компоненты

вать ортогональные базисы, поскольку кристаллические ре­ шетки мало отличаются от кубических или тетрагональных (имеется в виду, что и гексагональная решетка задана в тетрагональных осях). Тоща нет необходимости в применении

где суммирование осуществляется уже по повторяющимся ниж­

Дадим примеры конкретных преобразований. Пусть в кри­

мощью ориентационных матриц т/? или направляющих косинусов г/. . По изложенной выше логике тензоры теплового расширения