книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

функции W в каждой из областей <25, ЯА) dhm (к = 1, 2, . . . г;

т =

— 1 ,2 .........rfc) :

K n d\W + 2Kn dld.1W + K j i W = 0.

(1.4)

всякого з ^ 2D имеют место равенства

| qnds = ± l/A(/QlmQv = cons* (v = 1, 2),

(1.5)

w (t) = wk (/) + gh (<),

Чп(t)

= qn (/),

t<=Lh

(/c = 1 , 2 , . . . ,

r),

ivh (t) = whn(t) +

ghm(l),

qhn(t) =

<£"(0.

(1.6)

t e

h n {m = 1, 2,

. . . , /л).

причем верхний

знак берется при Кгч > 0, а пижний при

Кгг < 0 .

^

кости ZQ:

сою cot, ©го =

Re о>2 + ро

сог =

h + щ Н ho 4* iHo,

ho = h + aH,

Но =

( 1.8)

$Н.

Вычислим поток вектора q через произвольную кривую, соеди­

няющую точки А и В

в области 3).

Находим, учитывая (1.7) и (1.2),

Q = \ Чпds =

f (<7Хdx2 — q2dxy) = ptf221ш ф(z0) |д®. (1.9)

А В

А В

Im (<p(z0 + Шлю)— <p(zo)) = Im

(v = 1, 2).

(1.10)

ставить в следующем равносильном виде:

ф (*о) =

елфл (h) + Е/*Фи (h) + gh (0.

t <= L h,

t0 <= L l,

th €= L'k.

(1.11)

фЛ {h) = ekm(Phm (hm) + Ейтф/ют{hm) +

ghm (0»

t e

l]lm>

th S

Ihvu

hm S

him.

Здесь

1 + h

*

1- Ч

=

2

'

=

~ 2

’

Н -Я,17П

*

1 - W

Р/|тп^22

2

Е/т------- 2

’

"w

Р А

{к =

1,

2,

... , г; т = 1, 2,

г*).

Постоянные интегрирования, которые, вообще говоря, долж­

ны фигурировать в

правых частях

(1.11),

включены в искомые

в областях Вп и dhm

соответственно фушщии фл(гл) и ф;,т (2Лт)

по краевым условиям

(1.11) и дополнительным условиям (1.10).

Ф Ы

=

- t i I

[е W Р W “

8* (О PW1С («о -

2о) + А .

е 0 О,

гь

«

______

Л

фЛ Ы

=

2^]

j

(0 :— ®ктРкт (01

+ 2^jJ

~т~-----d£ft,

ZfeSBjI,

Z k m ^ d h m -

(1*12)

Lk h ~ Zb

<phm (z/tm) =

Лт f

t PkT^ }

dtkm

(A — 1,2,

—

, r; m —1, 2,

. . . , rA),

J

‘fern

hm

причем

<0=

0,5/ (1 — i(Jt0) +

0,5/ (1 +

ip0),

i e L ,

Z s i 0,

/л =

0,5/ (1 — ijXft) +

0,5/ (1 +

/рь),

Zs

Z/д

(J

ta,

tk e

L k U Z/tmi

Zfcin =

0,5/ (1 — tp/un) +

0,5/ (1 + ipfcm).

ZS

Ihmr

tkm ^

^ftm>

Здесь

^(zo)— дзета-функция

Вейерштрасса,

построенная

на

периодах

©ю и ©го,

p (t)=

{ph[p)t

t ^ L k\t

e ( t ) = i e ht t ^ L h)

и

e*(Z) = {e£, Ze

J;

Л — подлежащая

определению

константа.

Обход при интегрировании

вдоль

hm> h

ведется

по

часовой

стрелке, а

при

интегрировании

по

Lk,

L h — против

часовой

стрелки. Очевидно, функция q>(zo) в

(1.12)

квазипериодична в 2£)Q.

Накладываемые на поле в структуре дополнительные условия

(1.5)

дают возможность ввести средние по ячейке потоки <qi> и

<?2>

(рис. 5.1.1)

+

<</i>=^

J

|

\

1

г+"1

(1.13)

<q2> =

j*

qnds,

Н =

Im ©.,,

а =

arg ©,.

1 z+ffl

1т(Л<й«о — я&ю)=

(v = 1, 2),

(1.15)

W

,

о

'

a - E T j

[e (0 / » W -e *(t)p (0 ]*o .

Ч

6vo =

С (zo +

“ vo) —

?> (zo) =

2С ( “^ ) -

Решение этих уравнений с учетом

(1.14)

дает

где

А = А Р + АЧ,

(1.16)

= ^

а “

7 ? Кеа’

=

<■>,„ Im (о2П,

А

=

д(8) {<9i> +

<<72>1-

(2.1)

Рхш(т)— Мкт iphm(t), ph{t), х\ — F hm(т), x ^ L hm (m = 1, 2,

... ,

?*h),

+ 2iir h

J

Iе (f) P (*) -

e* (0 P (01 C (<0 - To) dt0 +

+ Т0Лр +

2

л

J

l

Phm (t) — 4m Phm (0) -

—

l/{m

1

_

J _

V

J" l^hmPhm (t) — fytmPhm(f) 1j

^ '»

2nt ^

m-i Jfiw

jVkm -

2 J

(<) — ehsPh* (<)1

—

lhs

§ 3.

Теоремы единственности

Будем предполагать,

что

решение

краевой

задачи

(1.11),

ДНО)

существует.

Т е о р е м а

3.1.

Между любыми двумя решениями

краевой

задачи

(1.11)

ф(1) (z„),

(zft),

(zhm) и

ср(2) (г0), <p(ft2

Ы , Фа« fom),

каждое

из которых удовлетворяет дополнительным условиям

(1.10), имеют место соотношения

Ф(0) =

ф(2) (z0) -

Ф(1)(20)= С , Chm=

Re С+ j- i — b i С,

ЛЬЛЛт71

•фк0) =

ф!2) (Z0) -

(z0) = Сл

(ft — 1,2.........?•;

HI =

1,2.......... г*),

(3.1)

Цкт=

ЦШ (Zhm) ~

Cf>im(Zftm) = Cfcmi

Ch. =

Re C + j- Im C.

«энергетическое» равенство

j j |d2W - pdJY I2 dx1 dx.2 =

f Wqnds.

(3.2)

в

22 LB

формуле Дирихле в теории потенциала

[4]. При К п = Я 22, К Х2=

= 0 она и совпадает с последней.

Применяя

(3.2)

к нашей многокомпонентной структуре, полу­

чим с учетом

(1.11)

и (1.7)

/ =

К 22 f J

|d2W -

n dJV |2 dx, dx„ +

b v

+ jS

* и И

|

-

tydjWj |2 dx, dx., +

7*

rj

+

2^ ^2^ K {2 ( j

I d2Wjm —

|- dx, dx., =

= JWgn ds +

2

f

(0 ds +

2 2

f

cjU’jm (t) ds.

(3.3)

Г

J - * L j

4 *

В (3.3) контуры lj„,

Lj

и Г

(граница основной ячейки По)

обхо­

дятся против стрелки часов,

— г -Ь 1-связная область с грани­

цей Г U L.

В

силу

квазипериодпчности <p(zo)

находим

с учетом

(1.7),

(1.5)

и (1.9)

f wqn ds = Im(йД,) / д,

(3.4)

где

г

Qv =

<p(z0 +

C0v0) - <p(z0)

(v = 1,

2).

Подставляя (3.4)

в

равенство

(3.3)

и применяя затем

(3.3)

к разности двух решений краевой задачи

(1.11), удовлетворяю­

щих условию

(1.10), приходим к требуемому утверждению.

Функции Ф , фл , фля»

можно интерпретировать как решения

однородной краевой задачи

(1.11), соответствующей

&(*)-0; g hm(t) = 0 ,

<?,>=0

<q2>=0.

Т е о р е м а

3.2.

Пусть

%i(t)

и сД£) — граничные значения

нии

до полной плоскости zj.

Если

в окрестности

бесконечно

удаленной точки Oj(z}) =

0(lz*l-1), то краевая задача

Ъ (О = W i (0 +

e*o7(ij,

t<=Lj

(/ =

1,2,

. . . ,

/•),

имеет лини» тривиальное решение.

Для доказательства

применим формулу

(3.2)

к

двухкомпо­

ton V) -

Ph (t),

t<= Lh

(к = 1,2, . . . , r),

(4.5)

*XAm (0 =

£hmPhm (0 — ehmPhrn(£)»

^Am (0 =

Pkm(t)i

t S Z/ITJI

(//1= 1, 2, . . ., ?'/i).

ме независимых краевых задач

Ха(0 = ehah(t) + e,!oft(/), /.<= L h (к =

1 , 2 , . . . , ?•),

_____ :

(4.6)

Хат(0 = ehmakm (t) + etm(jhm (t), t <= lkm

(m = 1, 2,

. . . , rh).

М * ) =

Х * ( 0 = 0 ,

Oum(t) =

x hm( t ) = 0

(к =

1, 2,

... , г; т = 1,

2.........

г„).

(4*7)

Отсюда, на основании (4.5), заключаем

Ph (0 = 0, p lm(l) = о

(Лс =

1, 2, . . . ,

г;

/л = 1 ,2 .........

rh). (4‘.8)

§ 5. Модель регулярного поля (регулярной структуры)

ды

Положим ?а(0==0, <7«п(0в 0- В каждом из компонентов сре­

имеет место скалярное поле, определяемое функциями ш,

wky

whm. Поток в каждой точке поля задается формулой (1.2),

В соответствии

с этим мы определили средипе потоки <д\>

и <</ > формулами

(1.13).

Средине градиенты определяются соотношениями

co sily )

= R cQ ,,

hidiiv) + #<<?2ц;> =

Re Q2.

(5.1)

Выражая Re Qv

(v = 1,

2) через средние

потоки,

находим,

учитывая (1.12) и

(1.16),

B . Q . - - &

* < * > + “

2я

-

М

" - “ ■■<^>— -^-Re(a(o20).

А (К)

А (1с)

Вставляя эти значения Re fiv

(v =

l,

2) в

формулы (5.1), по­

лучаем

К» . .

<5дш> =

^

<

92> _ ^ R e a ,

<<7i> _

(5.3)

< » . » > -

- т а г < «i>

+ т ш < & > -

т

1 R e №

) •

Пусть

р(1) (t) — решение

системы

(2.1)

при

<gi> =

p_/f22,

<д2> = 0,

а p l2\(t) — решение

этой

системы

при <gi> = 0, <g2> ==

= ВКм- Тогда

<?i>

< 0

a= =K 7 a i + f e r a-

(5-4>

0 1 . - 2 г !

(5.5)

12*

17&

<dl W> =

.< Я ц Х д | > +

<Х|2><52>,

(5.6)

<д2гиУ =

<X2i><gi> +

<«22

<xu> = xu (l -

Ц - Re ttj),

<Х 12> =

хи -

^

Х и Re о2,

<««> =

«г1 [ l

-

Ио ( ^ - ) ].

Коэффициенты

<ха»>

назовем

макроскопическими

(эффек­

тивными, средними) параметрами структуры.

Т е о р е м а 5.1.

Макроскопические параметры

<х<щ>

образу­

ют симметричную положительно определенную матрицу х.

Для доказательства подставим

в

правую часть

(3.4)

вместо

Refiy, lm&v их выражения из (1.14) и

(5.2). Тогда (3.3) при­

мет вид (суммирование по повторяющимся индексам)

7 = < g e><5eU>>

F

( а = 1 , 2).

(5.7)

Вводя стандартные решения wy\ и>у), w}tm(v =

1, 2)

по формулам

w = <<7V) w(v\

wh = <<7У> w{u\

whm =

<r/v>

(5.8)

и подставляя их в левую часть

(3.3), получаем

I = I vll<qM qll> = F < qa><daw>

(л>, ц =

1,

2),

(5.9)

причем I \2 = h\ и смысл

ясен из кЬнтекста.

В силу произвольности <gv> приходим к

закону (5.6). Мат­

ложительной определенности функционала

I

в . (3.3)

d e tx > 0 .

Функционалы ai и а2, фигурирующие

в

<хар>,

учитываю^

пен. В этом

случае соответствующее характеристическое

число

ц = £. Результаты этого параграфа суммирует

следующая

теоре­

ма, определяющая решение проблемы осреднения.

Т е о р е м а

5.2. Если в регулярной

структуре

имеет

место

гармопическое поле W с уравнениями состояния (1.2) или (1.3),

вызванное

средними в

смысле (1.5),

(1.13)

потоками,

то су­

ществует

макромодель

структуры, управляемая

законом

(5.6).