Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

13.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 298 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

				И
Рис. 2.2.9. Распределение Мо
вдоль	чечевицеобразпого от-
верстпя в кнадратпоп решетке
ПРИ	<Л/\|2> = 1.		<ЛГц> —
	=	<Л/«> =	О
				II
Ш и> =	1,	<MiZ> =	<Л/22> = 0;- <Мп > = 1,	<1ц> = <Mi2 > = 0	и
<Л/12> =	1.	<Л/И> =	<Мг2> = 0 приведены на	рис. 2.2.4—2.2.6	со

ответственно.

Кривые Мо вдоль чечевицеобразного отверстия в квадратной решетке (OJI = 2, ©2 = 2г)' даны на рис. 2.2.7—2.2.9.

§ 3. Иптегралыше уравпенпя двоякопериодической контактной задачи изгиба пластин

Постановка задачи. Рассмотрим изгпб решетки со впаянными в отверстия одинаковыми упругими шайбами из другого мате

риала1). Будем		считать,	что	в структуре	действуют	средние
(в смысле § 1) изгибающие и крутящие моменты <Мц>,
и	<Mi2 >. Относительно		границ	контакта	Lmn s L(mod oi, ©2У
оставим в силе предложения § 1.
	Задача заключается в		определении аналитических в			области
2	функций <р (z)	и TJ)(Z)>	удовлетворяющих условиям групповой

симметрии (1.1.7) и (1.1.8) соответственно, а также аналити

ческих	в области	занятой шайбой, функций <po(z),			фо(г) по
условиям сопряжения на границе контакта L
	<р(t) + 1Ф(?)+ W ) = Ф1 (0 + *Ф7(i) + гй(0,
® (1 -	v ){-ш р (0 +	Ф<7)+ ф()) -	3>i(1 -	vi) {-im p ,(t) +	(3.1):
	+ 1ф7(0+1>Г(*У} + ^		+ С,,	Im C = 0,

Здесь Ф , v и £t>u vi — цилиндрическая жесткость и коэффициент

') Для простоты предполагаем, что в пределах каждой фундаменталь ной ячейки имеется только одно включение, коптур которого в пределах основной ячейки П0 обозначим через L.

71.

Пуассона материала пластины и шайбы соответствеппо. Ниже

положим Ci = 0.

Первое граничное равенство в (3.1) выражает непрерыв ность углов поворота при переходе через линию контакта, вто

рое — непрерывность нормальных изгибающих							моментов и обоб
щенных перерезывающих сил.
Искомые функции представим в виде
		L		+		z	s 2 '
		L
(*) = 2й J{еЯО - Ь ' (0 +				m qjfi) £(« — * ) *		+
L
				+ ^ i § P {t)$ >1(t — z)(lt + B z, (3.2)
				L	„ ,— V
	т		1 Г^(0 dt		„ ,— V
	f i W - E u j T ^ r '				z e 2 ' ’
	^i(z)	1 f	Bjp (t) + и»,? (0 - V			(0	Л
	^i(z)	2ni J		t - z
где	3 + Vx						* ± P
Их	3 + Vx		P	(1— V) Я> ’			* ± P
Их	i - V						P - l ’
	i - V						P - l ’
иг (* + "i)P			.	1 + ”	m.		1 + (Jiij
иг (* + "i)P			.	1 + ”	m.		1 - P *
	1 - P	’	11 ” P - 1’				1 - P *

Функции p (t), q(t) и константы А, В подлежат определению, интегрирование ведется против часовой стрелки.

Легко видеть, что функции <р(л) и -ф(и) обеспечивают двоякопериодичность моментов и перерезывающих сил в структуре.

Подставив приращения функций (3.2) в статические условия (1.15), получим систему уравнений относительно постоянных А и В, решение которой имеет вид (2.3) при

a = ~ k jlP W dt-- b =	dt + p (t)d i}.	(3.3)
Условие однозначности перемещений в области 2
	Im Ь = 0	(3.4)!

выполняется автоматически. Это легко показать, умножив первое краевое равенство (3.1) на d t, проинтегрировав по L и взяв за тем вещественную часть от полученного результата. Поэтому можно положить, что в (3.1) С — 0.

Интегральные уравнения краевой задачи (3.1). Подставляя предельные значения функций (3.2), на L в условия сопряже

ния (3.1), получим после преобразований систему интегральных

уравнений Фредгольма второго рода относительно функций p (t)

и q(t)

	P (to )~ M {p(t)t q(t),			to) = F i (to ),
	Q {to)~ ■ M q (t),p (t),			to ) = F 2(t0),			to E Zf,		(3.5>:
где
M { p (t), j	(!), U - S i f P (0 d Ь		=	= =	[	-
		l	* ( * - * o ) j
	- d s J Ш * № - «					- U f ^ h ) ) +
	L
	+ 2 § J	= ^ } + ( j . + i 3 . ) t , + i B J „
N {q ( t) ,p (l),t 0} .
		- 2S ^ ,f p W d { 1<T (« — ” 0)J
Л М -	_<".!> + < "„>	1 + B,		,
Л М -	22) (1 - v) (1 — и)	с		"Г	:	ie®	(1 -	v)	'
Л ( 0 -	22) (1 — v) (1 — и)		те1
Разрешимость системы		(3.5)		будет		доказана в		§ 5.
	§ 4. Теоремы единственности

Энергия деформации, накопленная фундаментальной ячейкой структуры, имеет вид [17, 22]

Э = 1 j j ( ^ v ( V 2u;)2 +

по

+ Ф (1 - v) [(d lw f + 2 (ЗДи;)0 + (9 ^ )2]} dx, dxv (4.1)

где интеграл берется по области фундаментальной ячейки По (включая и область, занятую шайбой).

Рассмотрим два решения w\ и ю2 первой основной задачи (1.7) или контактной задачи (3.1), обеспечивающие действие в решетке средних моментов <Мц>, Ш п> п <М\2 >. Очевидно их разность Wo является решением первой основной задачи (соответственно коптактиой задачи) при нулевой внешней на грузке.

В сплу (1.14) и положительной определенности функционала (4.1), заключаем

dlw0 = d\wQ= djd2w0 = 0.

(4.2)

Из (4.2), (1.3), (1.6), (1.7) и (3.1), приходим к следующим теоремам единственности.

1.Решеппе первой краевой двоякопериодической задачи из

гиба решетки (1.7) при нулевой нагрузке па контурах отверстий и нулевых средних моментах <Mih> имеет вид

ф0 (г) = iez + А,		ф0 (z) =		hv	е — —			А, = с,	+	nh,	(4.3)
где с,	ci — постоянные,		фигурирующие в				граничном			условии
(1.7), А — произвольная комплексная постоянная.
2.	Решение второй основной задачи						(1.6) прп w = dwldn = 0
на контуре основного отверстия и нулевых средних моментах
<Mik> имеет вид
	Фо(z) =	iez +	А,	фо (z) = —A,			Im е = 0,				(4.4)"
где е и А — произвольные постоянные.
3. Решение контактной двоякопериодической задачи										(3.1)’ при
нулевыхсредних моментах имеет вид
ф0 (z) =	iez + А,	Фо (z) =		Ф1 (z) = ie,z +			h v	Ф? (z) =		dv	(4.5)
причем			Im e =		Im ei = 0 ,
причем
			5 ( l - v ) (» + l)			A -{- d = Aj -\|- d^,
			5 ( l - v ) (» + l)
	d	nA =	(5 (d1 -		,h h}) + W {ll_			vy
Постоянные С, C\ фигурируют в граничном условии										(3.1), ei,
A, Ai и	произвольны.
§ 5. Разрешимость интегральных уравнений (2.10) и										(3.5)
Разрешимость интегрального уравнения первой краевой за
дачи об изгибе решетки. Очевидно, уравпение								(2.10)	при F (t) =
= 0 соответствует первой основной задаче при /(f) =									0 и <Мц> =г
■==(М 22> = <М12> = 0 .

Приписывая всем функциям и функционалам, соответствую щим решению однородной краевой задачи, индекс нуль, полу

чим на основании теоремы единственности	(4.3)
Фо (2) = f n lf “ о W £ (t — z) dt + A0z =	iez + A, 2 e S . (5.1)
L

Сравнивая приращения левой и правой частей (5.1) при пере ходе от точки п ;2 + (й, (v = 1, 2), находим

а 0= О, Ао =	ге.	(5.2)’
Введем аналитические в области 2j функции
7-ф !(2) = ^ J ® 0(OC(< — * ) Л —		2 „
L
f (z) = 2TTi f “о (<)* 1 (* - 2)dt + B 0z	- Ах -	(5 .3)

			— 2Is f K w			+	(«)}£ (t—z)л.
				i.
На основании	(2.1),	(5.3)	получаем
	Фо(9 — 7 Ф1 (0 =			л +	i40* -	to0 (*)»
	г\|>0 (£) — - %		(t) =	Aj +	/ о)0 (t) +		t(a0(£).
Подставляя сюда выражения функций <ро(£)* фо(£) из								(4.3),
приходим к соотношениям								*
<Pi (*) -		(*).	“Фх ( 0 -----г [лМ О				+ £®о (0] •	(5.5)
Исключая из	(5.5) ©о (О, получаем
	—иф! (£)+		(£)+ т\|3\|(£)— 0,				£<=£.	(5.6)

Таким образом, регулярные в 2| функции <pi(z) и фГ(х) ре шают первую основную задачу теории изгиба пластин при ну левой внешней нагрузке. Согласно теореме единственности для

конечной области, которая по существу совпадает с				(4.3),	эти
функции имеют вид
	<Pi(z) = /i*,		i\|y1(z) = nh*,	(5 .7)
где А* — произвольная комплексная постоянная.
Из (5.7)	и (5.1)	следует, что ©0 (£) = — /А*. Подставляя			это
значение в	функции	(2.1) и сравнивая результат с		(4.3),	на
ходим, что	Cl = 0. В	силу (2.9)	заключаем
		Л* = ©„(*) = 0,			(5.8)

что и требовалось.

Разрешимость интегральных уравнений контактной задачи. Очевидно, равенство нулю правых частей системы (3.5) равно сильно условиям (Mik> = 0 (t, А = 1, 2). Поэтому рассмотрим од нородную контактную задачу.

Соответствующие комплексные потенциалы имеют вид

Фо(*)=“ ай J PO (*)£(* — * ) *

A z,

z e S '

% (z) = 5 3 j

*Po( 0 +

n if l jT ) } £ ( t - z ) d t

+ 55 J ft <0*1 (» - « )* + *.*.

<5'9>

n w - A f - ^

”

+ ? 5 f ~ ^ (,) *■

На основании теоремы

единственности

(4.5) запишем

Фо (*) = 2la I

W С (t -

z) Л + A 0Z =

iez + h.

(5.10)

Сравнивая приращения в левой и

правой

частях

(5.10),

на

ходим с учетом (3.3)

A 0 = ie,

оо =

(5.11)'

Так как в краевом условии

(3.1)

С = С\= 0,

то

на основа

нии (2.3), (3.4) и (4.5) заключаем

Во = 0,

Ао = 0,

Ь0 = 0,

е — ei =

(5.12);

Введем аналитические в Si и 2 функции

7 (р*

(*) = Ш

(*.Ро (0 СУ - z ) d t

т * л

z <= 2„

(г) = 2^ J

(ерТЙ — tp'o (t) + mq0(*)] g(г — z)dt +

JP o (0

(t — z)dt +

mx, (5-13)

% *(z) =

2i r

j r

r ^ ’

2 ,

где

m* = - 2 h

— 2 - ,

m? = — 2dx

Разность между предельными значениями соответствующих функ ций из (5.9): и (5.12) на L такова:

		Т Ф* ()— Фо (0 = гп + р0 (t),
			Ф? (О — г-фUt) =			q0(t),
	J Ф* (<) — Фо (0 = вро(0 — ip'o (t) +							m q jj) + m*,		(5‘14)
	Ф° (0 — Ф (*) =			е,р0 (i) — tq'o (t) + m a jt ) .
Подставляя		сюда	значения		ф0 (t),		фп (t), cpj (/) и ф?(0				на
(4.5)	и учитывая при этом (5.11)					и	(5.12),		приходим	к	соот
ношениям
	ЕРо (<) — Ы		(t) +	mq0 (t) = у ф* (*) — m l — d,
	eiM O -		tq'o(t) + т^~Щ = \|фГ (t) +						dlt	(5.15)
	P o (<) = у ф *		(<) — h — m * ,			q0 (t) =		у	(i) + К
Исключая в (5.15) ро(£), go (O', получаем
	Ф* (t) +	Ф (<) + ФЛО =			Ф? (О + *Ф?(«) + фГ(0,
® (1 -	v) { - /мр« (t) +		1ФЛГ) + ^ЛО} =							(5.16)
			=	(1 — v j (—				(0 +	*Ф? (i) +	х\|£ (/)}•
Таким образом, аналитические в областях Si и S функции
фЛ2)>	Ф* (О и Фг (0> фх (О			решают		контактную задачу				об	из

гибе бесконечной пластины с параметрами 2Е>\, vi, в которую впаяна упругая шайба, занимающая область Si с параметрами

OD и v. При этом, согласно (5.13), функции		(2)	и i\|£ (2) за
тухают на бесконечности не медленнее чем UM .
Такая задача имеет лишь тривиальное решение
Ф* (О = Ф* (О = о,	ф* (2) = (2) = 0.		(5.17)
На основании равенств (5.15) и (5.17) находим
p o ( t ) = - h - m * ,	qo{t)=h\ .		(5.18)

Сравнивая значения функций ф* (z), ф*(х) из (5.17) и (5.13), заключаем в силу '(5.18), (4.5), что po(t) = qo(t)= 0.

§ 6. Изгиб правильных решеток с круговыми отверстиями. Метод рядов

Для симметричных решеток с круговыми отверстиями при наличии силовой симметрии достаточно простое эффективное ре шение можно получить в рядах по эллиптическим функциям.

Нет смысла проводить здесь подробные рассуждения при по строении алгоритма решения первой и второй основных задач, так как они вполне аналогичны схеме гл. 1, § 6.

Краевые условия удобно представить в виде

еФ(Г)+ Ф (0 - {?Ф'.С<)'+ Y (t))e2i0 = f ( t ) , t = Xei0, (6.1)

где для первой основной задачи
s	)
Iм п + i J Р ($) ds +	iC{ , Im Cj = О,
0	'
для второй основной задачи

8 = 4, / (i) = e e j s (д2и> + Шхи>),

Мп й р (s) — действующие на контурах отверстий погонные из гибающий момент и обобщенпая перерезывающая сила, Я, — ра диус отверстия.

Искомые функции представим рядами

Ф (г) = <р' (z) = а 0№—	<мп> + <м2г>
	4	3> (1 + v) + 2 °

	22) (1 — v)
	V		j**+ « » » + » (I)
— 2 ^ ^ '			-------------(2/c-j-1)1

^М - у .) (г)

(2* + 1)! • ' ' '

^2fc+2p(2fl) (2)

(2 4 + 1 )1

Iта. oc2h = Im ргл =

Здесь <ЛГ„>, <Л/гг> — средние моменты в	решетке	^ 0)*
Подставляя (6.2) в (1.15), находим
O e - a X + M S i P0 = a 2^ + p X		(6 -3)
где
Vi	°	1):
(1 — re) F'	- i n -	1):

п= (3 + v)/(l — v)’,

=<j)i Im ©2 — площадь параллелограмма периодов, v — коэфф0" циент Пуассона материала решетки, константы решетки 6i я Yi

определены в приложениях 1 и 2 соответственно.					_____
В частности,	для гексагональной		решетки		(©i — 2,
= 2 exp (iJt/3)) постоянные К[ таковы:
< =	0, . X j	Я 1 —V	гг' _		ЯП.
		41/ 31+ v ’ .	Л з _	2 У Г

Для квадратпой решетки

(coi = 2, 0)2 =

2г) имеем

К о = О,

К [

Я 1 — V

™

8 1+ у’ К*

4 ’

Разлагая правую часть (6.1) в ряд Фурье (1.6.12)' и подстав

ляя в краевое условие

(6.1)

соответствующие разложения функ

ций

(6.2),

приходим

системам

алгебраических

уравнений

(1.6.13)

(1.6.14), в

которых

для

первой основной

задачи

из

гиба решетки следует положить

е = —п, а для второй основной

задачи

—е =

При

этом

следует

величины

<оц> + <С22>

<022> — <Оц>

заменить

выражениями

(—<Л/ц> — <M22>)/iZ>(l +

+ v )) и

(<Л/22> —

—v))

соответственно.

Рассмотрим примеры. 1. Чистый изгиб гексагональной решет

ки

(0)1 = 2,

юг =

exp(in/3)). Пусть

края

отверстий свободны

от

нагрузки. а средппе моменты <Мц> =

<M22> = & ,

<Miz> — 0.

Функции

(6.2) имеют в этом случае вид

nrW _ V

(Gft-(-1)!

(6ft —1)1

М 3) -

jLw b+ z

Z f *

(6.4)

rlw ч

(0,1_2)(г)

0,5

л(1-у) Р2Г

l ( z

) - ^ a Qh

(6A_

1}!

1 + v

4 y 3 (1 + v) ‘

Для

расчета

напряжений в

диапазоне 0 < Ж 0 ,6

достаточно

принять

(0.5)

X¥(z) = |ЗД26д(2).

2.Кручепие гексагопальной решетки. Пусть края отверстий

свободпы от нагрузки, а средние моменты <Мц> — —								= 3),
Ш \2> =0.					(z) имеют вид
В этом случае функции Ф (z) n f
	Ф (*) =	2	с	^sfc+a^csh) (z)
				!	(2ft+	1)!	’
Г (* )“ ^Pafc+a	(2* + :i)\|	“	I—	-	21/3			( 6. 6)

		j^-WpWk+l) (2)				ac/i =	0, РвА+з =
"	2 a2h+2	(2ft+		1)1	’
	h=0
Кривые тангенциального изгибающего момента Me								в точке В

контура отверстия для различных случаев нагружения приве

дены на рис. 2.6.1. Кривая 1			дает изменение величины MavJSz) —
=	1/(1—Я),	кривые 2 —4	иллюстрируют случаи Ш и * —
=	-<М 22> = .0	; <М22> = 0 ,	<Мц> = 0 ; <Ми> = <М22> = ^ соот

ветственно.

3 Чистый изгиб квадратной решетки (<Bi — 2, 02 — 2с)’. Пусть края отверстий свободны от нагрузки, а средние моменты

<^п> = <^22>	<Л^,2> ■" °-
Г1вв/Э

-ф-фвф-

-ф-ф

k \

___К

Рпс. 2.6.1. Кривые изгибающего мо мента Мд /Я ) в точке В контура

кругового отверстия радиусом X в гексагональной решетке (coi = 2,

о)2 = 2ехр (iit/3));

J — Моищ/2>“

= 1/(1 — X), 2 — <МпУ= -<£**> =

= Ю, 3 — <Л/22> — ф , (МиУ =

= <Л/,2> = О, 4 — <Я„> = <м22> =

------- ^

0.5	Л
Рис. 2.6.2. Кривые M ^/SD	в квад
ратной решетке («щ = 2,	со2 = 2i)

для раалнчных случаев нагружения;

кривая	1 —		2 — кручение,
<Л/„> =	— <Л/22> =			<М,2У =	О,
3 — <Л/22> =		0 , <Д/ц> =		<Л/,2> =	О,
4 - <Л/„> =		<ЛГ22> =	0 ,	<Л/,2> =	О

Комплексные		потенциалы (6.2) в данной задаче таковы:
		X4h+2p(4h) ф				X4 ^ ( 4 h - l) (2)
	___	Н4Й+2 ( 4 * - \|_ 1 )\|				« 4ft' -	(4к - 1)!
	fc= 0	(4 * + 1 )1					(4к - 1)!
(Ь/ ,	fc= 0					V) р» 2		(6.7)
(Ь/ ,		X 4h\|p(4ft	2) ф	Я (1	-	V) р» 2		0 ,5
Ф (г ) =		(4/г —	1)1	8 ( 1	+	v) Р гА		1 + V*
При 0 < Ж	0,6 решение хорошо описывается приближенны
ми формулами				я (1 —л>) е ^ 2).
	Ф «----гЬ (0'*»5 +			я (1 —л>) е ^ 2).				(6.8)

4.Кручение квадратной решетки. Отверстия свободны от на

грузки, средние моменты	=	—(.М22У= ^ , (.М\2У~0. Ре
шение имеет вид
Ф«- = 2	а 4^+2	^4Л+2р(4Й) (2)
Ф«- = 2	а 4^+2	(4fc + 1)1
h—0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 298 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20236.65 Mб5Переходные процессы в транзисторе и методы расчета импульсных схем..pdf
#
12.11.202311.54 Mб1Переходные процессы в электрических системах..pdf
#
12.11.20235.69 Mб6Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока..pdf
#
12.11.202313.41 Mб3Переходные процессы в электродвигательной нагрузке систем промышленного электроснабжения..pdf
#
19.11.202335.08 Mб1Переходы через водотоки..pdf
#
12.11.202313.7 Mб2Периодические кусочно-однородные упругие структуры..pdf
#
12.11.202312.05 Mб3Пермская область..pdf
#
12.11.20232.34 Mб0Пермский гид..pdf
#
12.11.202311.94 Mб2Пермский государственный технический университет (1953-1993)..pdf
#
12.11.20239.39 Mб16Пермский государственный технический университет (1993-2003)..pdf
#
12.11.202315.82 Mб0Пермский Государственный технический университет..pdf