книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

М = 4л1пх(а, + а2),

(2.12)

что и требовалось.

постоянные А\ и

Уравпсния

(2.5)

определяют комплексные

А2 не вполне

[6].

При рассмотрении первой

основной задачи

ционалов

Cj = f co («)ds<n (7 = 1,2 .........к),

(2.13)

Ч

(2.13)

и (2.5)

интегральное уравнение Фредгольма второго рода

“ W

+

- ш

1 1“ W d {ln

+

+

I

'“ № d {in =

=

}

+ 14 (<“ ( 0 . « -

и (1.). f . e l ,

(2.14)

где

М{(О (£), <0} =

А

г

__________,

2

bj у С(*до — zij)+ С (*io — zij) I +

з=1

L

J

+ -=- ^

~ [(А2 -

ЙA ) Re<о + (Дэ -

р2Д2) Im *„]-

r*i

га

“

i ^

- Р Г )[(1 -

f t ) ^ -

(1 +

f t )~C il

N W =

1 <aii> Im 1 — <а12> h — <a22> Pa R e*] + у

F (t).

Постоянные а и Ь заданы в

(1.17), функционалы Д( — в (2.5),

с, — в

(2.13), сигма-функции Вейерштрасса <T(*I),

a{t2)

построе­

ны соответственно

па периодах

<о!1), ©а11 и

a>i2), (о22).

t = R\ cos в +

ijRasin'fr,

0 < 0*^ 2JC.

На рис. 3.3.2

приведены

графики

величины

о для пря

моугольноп

решетки

(©1= 2, <o2 — i)

при 022 = о ^

0. <оц> =

= <Oi2> = 0

в зависимостп

от

параметра

%.= 2R\lm

для раз­

личных значений

г)-

На рис. 3.3.3

даны кривые

db**!0 для той же решетки при

<Он> = аФ 0, <022) —

= 0 в зависимости

от

тех

же пара­

метров Л и

Л*.

Заметим,

что при значениях Л*, равных 1

и

0,8,

сближение

— 0,3, при одноосном растяжении в направлении оси Ох2. В

по-

’) Относительно численной реализации интегральных уравнений

см.

приложение 4.

.<

2) Максимальпое значение, которое может прнннмать Л, зависит от

параметра Л*. Так, для Л*=1

имеем max Л = 0 ,5 ; для Я * = 0 ,8 — m ax Я=О,02;

для Л* « 0 , 3 н 1 имеем max

Л = 1.

X^lflj

0,3

___.

0,1

I

о, 2

0!6 X=2 R,/ID1

Рис. 3.3.3. Зависимость о™ах/о

Рис. 3.3.4.

Кривые

o jj^ /a

от

X при <ац> =

a,

<oi2> =

в квадратной решетке с кру­

= <о22> =

О

говыми

отверстиями

при

<Оц> = <о22> = о, <Ои> = О

На рис.

3.3.4

дан

график п™а1/а для квадратной решетки

(oi = 2,

0)2 =

2i) с

круговыми отверстиями (Я* = 1) при <0ц> =»

= <С22> =

о ^

О, <0ia) =

0 в функции от Я.

На

рис. 3.3.5 изображено

распределение

а 0/а по

контуру

эллиптического отверстия

для

прямоугольной

решетки

(©i = 2,

©2 = 0

при <оц> = о ^ 0 ,

<0|2> =

<(?22> — 0

и различных зпа-

ченпях

я*.

§ 4. Предельный случай

(®i->- оо,©г-»- оо)

нечности действуют растягивающие

усилия <ац>

и

<022),

а <oi2> = 0.

Простоты ради предположим, что

Repi = R ep 2 =

0.

Начало

грального уравнения

(2.14)

удовлетворяет условиям симметрии

©■(-t) = - © (i) ,

©(F) = ‘© (i).

(4.1)

Представления

функций

(2.2)

приобретают

в

нашем слу­

чае вид

.

, .

1

Г а (0 dtt

Ъ

(Zl) =

Ш

| Т ^

-

+ 1 7

+ А& '

f

Г _m (1) dt2

(4.2)

ф

/ , х _

»

. .

*

, Л

:

__ <g22> ^ R e fo - < gu > Im<o^

(4.3)

Принимая во внимание условия симметрии

(4.1), представим

искомое решение рядом Фурье

<o(t) = 2

fW / h+1. Impi;t+ 1 = 0.

(4.4)

Интегралы, входящие в (4.3), вычислим, учитывая соот­

ношения

*т = 4 ( 1 - 1 ц т )* +

4 - (1 - Н р т П Й = 1

( » » - 1 ,2 ) .

(4.5)

bi = ш

fI®W

® (0 *i] = (1 + Tm ni) (px -

x ^ ) ,

L

~%йI « » d{'“ -C

T

) -

i

W

+l -

x?‘+1)

*0

L

'

г

го *

й=0

- |

o (

i

f

+

f

u

r

) ,

(4.6)

1-l-ImHj

i

—

2

^

/

лхк.л.ам-1

где

-«u- * + ! = ? : £

(~ 4

**■

’

** =

1 +

1 ^

<v =

1’ 2>'

( 2

- X 1)P1 +

( 1 - 2 M1)PL.1

<g22> Im М-2 — <qil)

21m ( ^ - f i 2)

’

( л

. a

. . \ a

a \ a

^ai l )

(°2г) *m ^1

,

l 1 + T *») Pl - (** + T l P-I ----- Im Mr (4 7)

P - M - I - * S ‘ + , | W i - 2 ( - l ) * « ( f c -

x , M

( x » «

+ ± ) p_M_ , -

(1 + i

* f « ) | W

- 0

№ = 1 .2 ,...) .

(*2~ * т )

(т = 1,2),

(4.8)

* -

[ l 1

(4.9)

где

ft~0

' b2 '

ei =»(2 -

xi) Pi +:(1 - 2xi) p-i,

=

^ [ ( l +

^

* 2) Pi “

(4 2 +

x ) P -i]i

* « + i =

[ (p - i -

Xjp,) +

2 ( -

i ) h (pt -

^ M

]

* £

+

ft-1

+

21[(РгЬ—2j-i — xip2ft-2j+i) 4ih

1 +

(Эг/—2ft—l —

3=0

^lPai—2ft+i) xi]

{ к =

1> 2, . •.)>

<W i =

[b (Pi — x2P-i) — a (P_! — XapJ] ,Xg +

h- 1

+

21by.i {[Ргк—2j+l — X2p2/i-2j-l +

(P2j-2h+l —

j=o

Xsp2j—2ft—i) x|ft]

[p2;—2ft—1 — ^ P a i—2ft+l +

+ (P2ft+2i-l — H^ft-ei+l) ХГ]1*

В силу

(4.7), приходим к выводу, что

<(Г22)

I m p 2 - <

q n )

_

( i

( k

~ 4

9

\

2 im (P j-P j.)

’

eaft+i — 0

(ft — 1,2, . . . ) ,

л

. <ап > - < ст22>1 т ^1

л

п

(4.10)

’

“aft+i = О.

Постоянные ^4i и А2, фигурирующие

в

(4.9),

определяются

из условий на бесконечности.

Т а б л и ц а

3.4.1.

Окружные

напряжения ае на

контуре

кругового отверстия в пластине из текстолита

при

(оц ) =

(<т2а> =

1, (ои ) =

О

е

0

15

30

5

00

75

90

0*е)точн

2,044

2,023

1,980

1,954

1,972

2,023

2,052

(ае)при«л

2,056

2,031

1,981

1,951

1,967

2,019

2,049

Окончательно находим

<стл> - А <q22>

+

<g22> Im ^2 — <qil>

1

ч

2 W - I ®

2 Ira (Hj -

ц2)

* ц ’

<рп> — ^1 <ааа>

(4.11)

Ф2(г2) =

+

<g 11> ~ <P 22> I m

J _

ч

2 Im ([Aj

p2)

С,’

2 (м5-ц5)

Функции

(4.11)

совпадают с известным решением С. Г. Лсхниц-

кого [16,

.17].

Ф , w

ш - 1“■ W

к<*1-

1> *-

С (*1' . ) +)

А Л .

L

Ф2 (Ч) в

"2ЙГ Г

W] С (*8 - Ч) * 2

+ А Ч ’ (5.1)

L

Zj е

0 (1),

z2 <= £>(2\

Решение системы (2.5)

дает

Ai =

ФДо + А1 <огп> + А2 <сг22> +

Аз (Gu> +

K i (®).

А =

Ф А + В * <ап> + В * <(га2> +

5 з <а12> +

К

2(о),

‘ ^

где .й!о — произвольная

действительная

постоянная,

величины

P i - * .

P.

“2a

Б ' - ж -

^ = Щ

1 , В » .

(5.4)

: 2(i.2

(«) = ^

(2|HA

— |ft, IsД, - Д,),

Ч

[ И

+ «£*) д,- (2,ц +1А.) д.+ 4

Pi=

?Г ( Н-и ~

-

п ~ .°7Г ) -

*•

р1 2 \

Рц

1*ах/

Ра =

jf—f И-ix — И-21 +

ц

2 ? iT *) +

*’

f*22 V

^11

^21 /

А* =

*

4 * _

* 1^2 1* _

*11У

2

* * » { * 2 l - * U У

Л* _

**21

п * __________ |______

^12 (^21 ~ *иУ

1

^^22 (^ц — ^ai)

(5-5)

Р *_ * , •, Мм-^1 + а ^ я

п« _

_

2

’

8 2|iM(iiu - M

* 1(<0) = Йм ^ ц - Й Д '(0’5Al

Л#81 +

^22 0*11

[0,5 (2[Au p2i — |4i 4- pla) Д1—

^2l)

следнее условие было выполнено.

Умножив равенство

(1.18)

па dt

и интегрируя по L , получим

после преобразований

•Л12 Кб f ё (0 dt +

Иб ^ 2

(Ри) Фи (^и) +

L

L Ш=1

+

г (рт) Фт (tm)} dt =

Re j («! +

ш2) dt, (5.6)

-где

L

г (p) = anp2 -

aiep +

i

-

a2e).

Учитывая соотношения

J~ _

1

Фт

Г

1

J

d z -

2 Im

p ro

d Z m ~ ~ 2 l S

p ~ dZm '

lm p„-Re \di 2

ЦиФт(*т)} =

l

m =i

J

= Im (ртФт (im) dtm) — I Mtn I8 Im (ртФ» (tn) dtm),

I m p ™ - R e 2

ИтФт(tm)\ =

l

т = 1

)

= Im ( ц Ж (г»)Дn) -

1fx.nl2 Im (Фт {tm) dtn),

Imp™ .Re ( « 5 2 -

-< M W

(5.7)

Im Pm •Re (еЙ 2

г'Ф т (^m)j =

Im (Ф т (tm) dtm) — Im (Ф т (^tn) (Йт ),

j Im (р|Фа(ty) dt,) = 2я Im (гр^ах)

(s = 0, ±

1 ),

L

из (5.6) .

.

^

А “

Г К 0 = К в I (“ l +

* ~

Г1

— Г2 <СТ22> — Г3 <а 12> —

(<&). ( 5 .8 )

r3 =

2а Re [А*1 (щ) + B *l (р2)]

(7 = 1 , 2, 3),

г =

2а Re [ipxl (^ ) + ф2г (p2)J,

К 3(а) = я Re £аЛ* (|х2) — а^* (щ) +

2а 2 Kj (“ ) 1(M-j)

I (р) =

япрэ — я1вр2 — ^ + а2с = № (Iх) — Я(.“)•

1* М = Ы]Г [сиИ-I цI2+ «го -

«ю I Iх I2- ^г].

v L

Константы

р,-, A j, Bj

и функционалы КДсо) определены в (5.5).

Для

обоснования

формулы (5.8). необходимо еще показать,

что г Ф 0. Имеем после преобразований:

а)

рп =

м-21:

б)

Ни ^

1*21:

г = 4ai'iQp.]2Ao;

(5.9)

г =71— UTil— t(И-ia — Ш1)4 + 2 (Pu — И21)2 ( ^ г + И22) + (р и —

Наг)2)*

^11

Г-21

(5.10)

Отсюда непосредственно следует требуемое утверждение.

Таким образом, функции (5.1) с учетом соотношений

(5.3) —

шетке заданных

средних напряжений <о<„> и автоматическое

выполнение

дополнительного соотношения

(2.6), если только

Oi(zi) и Ф2(z2)

удовлетворяют граничному условию

(1.18)

или

(1.19).

уравнение

второй

основной задачи.

Предель­

Интегральное

ные значения функций (4.1) при z

to ^ L

подставим в гранич­

ное условие

(1.19).

и

(5.8),

интегральное

урав­

Получим,

с-учетом (5.3) — (5.5)

нение Фредгольма второго

рода

относительно функции

со (t)

“ » + а г ь г [ “

л (1п« ( у . (», - 1 ) }

“

'

"

W 0 ’

f0 е L ,

(5.11)