книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

<ап>= <а22>= 0

<Оп> = <о22> = О

Рис. 3.6.7. Зависимость

в гек-

Рис. 3.6.8.

Кривые 6 ? * * /о в гекса-

сагональной решетке при <ац> =

тональной

реп^ке при^ <0п>

а,

<012> = <022> =

о

^OIZ/

Рис. 3.6.9.

Кривые т^,ах/ о

в гекса­

Рис. 3.6.10.

Кривые о™ах/ст в гекса­

гональной

решетке при

<ац> = сг,

гональной

решетке при

<ом> = о,

<Oj2> = (Огг) =

О

<0|2> = <ои> =

0

О

0,2

0,6

Л.

Рис.

3.6.11.

Зависимость о™ах/о

в

Рис. 3.6.12. Зависимость т^ах/<7

*

гексагональной решетке при <022> =

гексагональной решетке пр* <022)

=*

= о,

<а12> = <оп> = 0

= а, <0|2> = <оп> = 0

8*

1!»

них

напряжений

— в ^ 0, КацУ = ( 022^ — 0 показано на

рис.

3.6.4—3.6.6.

3.6.21.

рис. 3.6.22

.

На

представлены распределения о,/<т по контуру

растяжения вдоль оси Оху (<оц>=а, <012^ = <022> = 0).

Кривые

1, 2, 3 и 4 относятся к

значениям Я = 2R/(H\, равным

0,2; 0,4;

0,6 и 0,8 соответственно.

где

Ф10)(*1) =

+ dv

Ф-10)(г2) = фг<*2 + ^

(7.1).

Re (di + d2) = 0,5 Re cjt

(pticZi + p,2d2) — 0,5 Im c,.

« — произвольная

веществепная

постоянная, а величины

pi IT

P2 заданы в (5.4),

(5.5).

2. Решение второй основной двоякопериоднческой задачи

для

анизотропной решетки при нулевых

смещениях на контуре ос­

новного отверстия L и равных нулю средних напряжениях имеет-

вид

(7.2у

где комплексные постоянные dy,

d2 удовлетворяют соотношениям

Befpydy + р 2^2) = 0,

Refold, + д2^г) = 0.

(7.3}

Для обоснования этого утверждения подставим функции (7.1)

в краевое условие

(1.18)

при ui = u2 = 0. Получаем,

используя

произвольность Re t,

Im t,

равенства

(7.3),

а также

соотноше­

ние Ае = О, где

г

^ ~

((Pm Н" Щт) Pm

[Рт +

Щт) Pml-

(7.4)-

При ци = р2ь в силу (5.4), имеем

А =

2айгц1гJ*22 ~~ ^12

1 ^ 2г '

При

pal, » силу

(5.5), получаем

нуль снизу или сверху.

(7.1)' и формул

Имеем иа основании теоремы единственности

( 2.2)

<K0,(zi) =

4

f

fflo ( 0 ^ - Z

i ) ^

+

L

-I-

2

Ъ% {zx - Z ij) +

Alzx=

ifVzi +

<h,

Zt e= 2>(l\

g

^

w -

a

(« П о

L

— 2^

f ©o (*) 5 (*a -

*2) *2 +

ЛзЧ = ipjea, +

d2, z2e= 0

(2>,

причем

L

a

2

*

Be

2

=

. B e 2 M

» e T Imc“»

c" = ) © o ( 0 ^ .

(8.2)

m=l

m = l

L j

а®=

аа,

4® =

А%= ф2с.

(8.3)

Введем аналитические соответственно в областях

^ 1) и 2>f*

«функции

у

Ф1 (zi) — 2ш' J ®о (0 С (^i

2i)

L

у

Ф2 (ч) -

gjg J

I K ( i j -

(01S(*а “ Ч)

(8.4)

L .

- z, е

z%е=

(/ = 1, 2, ..., /с).

Разность между предельными значениями функций

(8.1)

и (8.4)

па L такова:

h

Ф|0)&) - у ф *

(h) =

“ о (*) +

2

bj0,£ («I - Чi) +

+ dv

(8.5)

Фг0) (У ~ 4Ф*

i=1

“

Н

® - а©0 (*) + ф2е«а + d,.

Подставляя сюда выражения

ФЙ’ Ы

из

(7.1) и исключал

затем функцию ©о(0> находим

©о (0 = 1Ф* (<i) -

2

Ъ% (Ч -

ъ)\

(8.6),

_____

ь

j= i

аФ* (Ч) + ЪФ1 (*,) + Фа (Ч) +

^

Ь1

Л ~

ZIP) ~

р-1

- H

( ( , - Z 1P)1 = 0,

!„ = К в !

+ (Ц ,1т(,

i e L j

0 - 1 , 2 .........к)..

(8.7>

Граничное соотношение

(8.7)

перепишем в эквивалентной форме-

2

[(1 +

Щ т )Ф М + (1 +

^

) Фт(«тп)] +

ТП=1

+

2

ъ% [(i -

fc) i

(t, -

*lp) -

(i -

fh) С («X — *xp)] =

0.

(8.8)-

p - i

Умножим левую и правую части (8.8)

на dt и иропптсгриру-

ем по

L}

(j = 1, 2,

....

к).

Учитывая

равенства (2.3),

получим.

*•»? +

a i m

2

Гт Ч

« С f t » ) * » )

+

т=г {

)

+

2*

2

( т ш ^ - 1 .1 <‘i “

*»■> <“ •} =

а

<8'9)'

Отсюда

следует, что

все

6® =

0.

В

таком случае, па основа­

нии (8.6), заключаем, что функции

Ф^ (zx)

и ф£ (z2)

дают ре­

шение первой основной задачи при нулевой внешней

нагрузке

в областях £bj.

Решение этой задачи таково:

где

Фд (2д) = Фде*гд + &!■>

Фа (z2) =

ip2* * z 2 + ^ 2 1

(8.10)1

Re (dj + d£) =

0,

Re ([д,^ +

\1гй1) = 0.

Постоянные (Jj, р2 определены в

(5.4),

(5.5), е * — произвольная

вещественная константа.

Подставляя

значение

Ф^(«,)

из (8.10)

в

выражение

(8.6),.

находим

Из равенств

®о( * ) « - р1«а

+

й ;.

(8.14)?

$

= 2л7 J

К

(0 Лд-

<М*)* i l

=

0

(/ — 1, 2, ... ,

к)