книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

Рис. 4.2.16. Зависимость </?,>/£ для

А, = 2Д/со,

- 40 с круговыми упругими

упругости пластины и ядра

Для различных значении Е /Е ,с^ в^ ~ Вещо)

У

Рис. 4.2.17. Зависимость <Е 2У/Е

для прямо­

Рис. 4.2.18. Зависимость <v-i >/v для прямо­

угольной решетки

с круговыми

ядрами от

угольной решетки с упругими круговыми яд­

Ь =

2Я/со, и В Д

рами от л — 2/?./о)| и Е [Е |

Значения

а" и

р®

вычисляем для

двух случаев: <0ц> =

=*<а22> = 1,

<ai2> =

0 и

<сц> = —<022> =

1, <<ii2> = О, после че­

го подставляем их в соответствующие формулы (2.2).

Результаты расчета

представлены на

рис. 4.2.16—4.2.18.

р =

<Д> 1 — у=

1 -I-0,5(1 - у)(1 - lyр) (1 - яХ2/2УЗ)

l-< v > ‘

Е

1 - 0 ,5 (i + v) (1 — |*х/1*) (1 — гей.*/21/5)’

*

квадратная решетка

_

1 + 0.5(1 - у) (1 - уц) (1 -

i -O .Sfl + v ^ l-jy p ^ l-siV 'M )*

' '

§ 3.

Жесткость решетки с круговыми отверстиями,

подкреплешшмп упругими кольцами

ботают

лишь па растяжение —

сжатие,

а в

решетке

действуют

средние

папряжеппя <Оц>, <а22>,

<Oi2> =

0 .

граничные условия

Составим

па

контуре

основного

отверстия

L.

Уравнения равновесия элемен­

Ыго,- = o F v F , -

=— bhтг0)

(3.1)

где Or и Tro — нормальная и каса­

тельная компоненты

напряжения

на линии контакта,

о — нормаль-

упругими кольцами •

нов напряжение в

поперечном

b

<q2 2 > - < ° n >

, <°22> +

<cn >

K0x4

°

2

2

’ 1 - 2^

6 ’

fcf = <^> + <V jW ?>i+2 0- _ й 9

V

S_Y-1

0}

2«+*

1 - 2 ^ 5

6 - F R

*

Коэффициенты Рг/<+2 определяются по формулам

izivl*

_ aa+iv

+ay*,+2 2 aa+!?M+a(4.)“«,

P2i+4 "

2 M ‘ 2

"(2/-H 2)! (2A -j- 1)! 22j+2,t+4

^

+ 3 ) 6 ~

- (2/ + 2)1 +

(2/ + 3)6a2j+2

(7 = 0,

1, . . . ) .

Результаты расчетов величины

q — —1^>—.j-Z -У

•г

l — <v>

E

ЮЭ. И. Грнголюк, Л. А. Филыптипскнй

145

Рис.

4.3.2. Зависимость относительного макромодуля й от J, =

Рис. 4.3.3. Зависимость относительного млкромодуля А

=

2b/coi для гексагональной решетки (соа = со i cxp(in/3))

от К =

Для квадратной |)сшстки (о)2 = гео j)

<Ии> -

22) ( I — v ) ( n - i )

-

a

+

»

) - r 4

r V 4

(1-i- п) (М 22) -г (3 -

п) <МП>

+

(1 + H

) - j R e ( a - ;r^-1),

<*->

-

22) (1 - v ) vn - 1)

(4.2)

2<х12>

-

2 <^n»> — 2 (1 + n )-j- Im a.

2) (1 — v)

Введем

стандартные

решения

интегрального

уравнения

(2.2.10)

по формуле ')

©(£) = <Л/ц>©11 +

<Л/22>©22 +

<Mi2>©12.

(4.3)

<хм> =

{<«„> <МП> +

<д22> <М22> +

<я2в> <Ми » , (4.4)

2 <и12> =

<Мц> + <аЧ2> < ^ 88> +

<аоо> <^и>}.

<а„> =

-L R e [l _ ^ Re [(1 -

v) b11 +

2 (1 +

v) a11]},

<al2> =

_

Re {v +

[(1 -

v) 6» + 2 (1 +

v)«“ ]},

<aie> i

Re((l - v ) ^

+ 2 (1 +

v)a»j,

’) Если отверстия заполнены упругими инородными ядрами, то необхо­

димо ввести стандартные решения системы (2.3.6)

p (t)

=

<Л/ц>ри +

<Л/»>РМ+

<^/12)Р12

q(t)

=

<M i>?n +

<^я>322 +

<Afj2> ff12-

10*

147

<„„>------ ±

Re {v + ^

К1 ■ - v)»“ -

2 (1 + v) aU)}.

<«*> -

4

Ro (l - Z f - (d -

v) 1“ -

2 (1 + v)«“ ]},

<ви> =

~ ?1 7 - Re ( d - v) 4‘! -

2 ( ! +

v> a” b

<*„> ------ ^ - l m l ( l + v ) e “ j,

<««>------ +

v)«“ J,

<««•> =

- r *1 +

v) Im [1 -

^

-

“I!]-

Величины

E ,

v,

Z> = £7i3/(12(l — v2))

и

h — соответственно:

<Л/ц> =

< 0 „ > < Х п >

+

< 0 1 2 > < * 2 2 > + .2 < 0 1 6 > < Х 1 2 > ,

( * - 5 )

(.МпУ =

<iZ>2|Kxn> +

<iZ>22X X 22> +

2< ^ 2б)

<M i2> — < ^ 1 6 > < X ii>

+

< ^ 26>< X 22> +

2 < ^ 6 6 > < H I2 > -

<а>ц> -

<®й>

<«■■> <°.,в> - <«и>*

А

Ф ъ ' ) =

<0

21> =

<а,й> <«м> - < Д ц > <дсб>

’

А

Ф

1в> =

<0

в1> =

<*„> < S« > -< g22> <д1в>

(4.6)

А

*

<0

2О> =

<0

в2> =

<g»Q> <Д1А> ~

<а11> <Д2в)

*

А

<д?6, >

, < ^ > ^

<- а<

Л - -р- {<*ео> K*n> <<*22> - <я12>21+

+

2 <a12> <aie> <a20> - <au> <a2fl>2 -

<<*«> <a*»>2>-

Рис.

4.4.1.

Зависимость относитель­

Рис. 4.4.2.

Зависимость отно­

ной

изгибпой

жесткости

< 0 п > /0

сительной нагибной жесткости

для

прямоугольной решетки

(©i =

< 0 i2> /0

для

прямоугольной

= 2, о>2 =

Si)

с эллиптическими от­

решетки с эллиптическими от­

верстиями от Я = 21?i/©i при Д2 = 1

верстиями

от

Я = 2Д|/й>1 при

<ЯЬ

Д2— горизоптальпая

и

верти­

кальная полуоси эллипса)

Рис. 4.4.3. Иаменепие относи­

Рис. 4.4.4. Изменение относи­

тельной изгибпой жесткости

тельной

пзгибной жесткости

(&vi>l£> для прямоугольной

<06аУ/2>

для прямоугольной

решетки с эллиптическими от­

решетки с эллиптическими от­

верстиями

верстиями