книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

(3.1) па dt и пропнтегрнруем по L = ULs. Получим,

в силу ре­

гулярности ij>j(.z) в 2)j, что главный момент М всех

сил,

дейст­

вующих

па L, равен нулю. Последнее условие эквивалентно ра­

венству

(3.4).

Если

материал

пластины и включений

одипаков, а

натяг

hj(t) = 0

(/ = 1, 2,

..., к), то правые части

системы

(3.9)

обра­

q>{z)~A z, i|y(z) = Bz, <p}(z) = Az, tyi (z) = Bz.

(3.10)

2 f f W dx1 dx2 + 2 2 JjWj dx1 dx2 =

=

f

(XnUl +

Ynu2) ds -

2

f (Xlul + Y’nui) ds.

(4.1>

Г+L

i-lLj

Здесь

W, Wj — упругие

потенциалы

деформации для

областей

=

П0\11 3)j

и

соответственно,

Г — внешняя граница

фун­

даментальной

ячейки,

Хп = { Х п3

t е Lj\, Yn — [Y^,

f e L j) —

роны внешней нормали к области^,

и, =

(ul,

t е

L j),

и2 = [и {у

t€=Lj} —

смещения

вдоль

Lo,

По — область,

запятая

фундаментальной

ячейкой.

Направление

интегрирования в пра­

вой

части

(4.1)

таково,

что

об­

ласть 2Dг при движении вдоль ее

границы

остается слева, обход Ц —

против стрелки часов.

В

случае

первой пли второй

ос­

новной задачи для пластины с

от­

верстиями

суммы

по j

в (4.1),

оче­

видно, пропадают.

Если

же

рассматривается коптактная задача, то, учитывая

тельство, что вектор

напряжения продолжается через

L непре­

рывно,

а вектор

смещения претерпевает скачок h (t),

перепишем

(4.1) в

виде

2 f f W dxxdx2 +

2 2

f j W idxt dx2 = Re f (Xn - i Y n)h (t)d s +

te>y

i=1

'L

где

Av = K

+

^

+0V

(v =

1, 2).

Применим формулу

(4.2)

к

разности

двух

решений,

каждое

•из которых удовлетворяет

условиям

сопряжения (3.1)

и стати­

ческим условиям (1 .17)'). Очевидно,

это

решение

соответствует

поставленной краевой задаче при

h (t) = О,

<5,, > =■ <S22> = <*-М2> =

0 .

(4.3)

Из (4.2) и (4.3) следует, что решение задачи

(3.1),

(4.3)

приводит к пулевым значениям напряжений в

областях 2 )

ж 3)j

виям инвариантности

(1.7), (1.8), имеет вид

фо(z)=iez + C,

фаО) = £^ — С, Im 8 —0, г е ^ ) ,

(4.4)

причем С\ = С%:==... = Ch, С — произвольная комплексная

по­

стоянная.

нулевых

смещениях на

контурах

отверстий

и

<5ц> = <5гг> =

= <£|2> = 0, удовлетворяющее

условиям

(1.7),

(1.8),

имеет

вид

Фо(г)='е,

Tj>0(z) =

хё,

(4.5)

тде е — произвольная комплексная постояппая. .

3. Решение контактной двоякопериодической задачи

(3.1)

при

условиях

(4.3) определяется соотношениями

Фо (z)<= iez + dt

фо (z) =

—<J,

Im e =

0,

q>j (z) =

iejZ +

dj,

ф® (z) =

— dj,

Im e-} = 0,

ч + 1

. “ d L ‘ e

21

.

xi +

1 dj

(; =

1 , 2 , .

*».

<4 -6>

V-

k

ф0 (<) -

- f

^

®

w + 2

ь%

-

ъ ) + ш + с ,

j=OL

/I

ф. (о —

г 4>i (о -

м

о

-

<«' (о +

2

б?с ( « - *j) +

(5.5>

7=1

+ C ? -C ,

i e

^

(/ = 1,2......./с).

Подставляя сюда вместо <po(f). ф0(£) их значения (5.2) и

исключая «о(0 . приходим к соотношениям

_____

____

к

________

Ф; (0 + Щ (t) + % (t) =

i

2 b°5 U (t -

*j) - U

t - zi)\ -

k

3=1

________

— it 2

b0j$>(t — Zj),

t e

i j

(7 = 1 . 2 , . . . , к).

(5.6)

3= 1

Умножим

левую

и

правую части (5.6) па dt и проинтегри­

руем по

Lm

(т — 1,

2,

. . . ,

к ). Получим

после преобразований

l i Im

г

л

f £ (* — *}) dt.

(5.7)

| ф,- (<) d t ------ 2пЬ°т — 2i Re

2

b)

L m

3=1

L n

Отсюда следуют равенства

Ъ°т = 0

(иг = 1, 2. ..., к).

(5.8)

Таким

образом,

функции

ф,(г)

и

i|)j(z)

удовлетворяют

на Ь}

краевому условию

9 j(f) + * 0 W

) + i i ( i H 0

(7 = 1,

2, . . . . к)

(5.9)

[46] имеем

<Pj(z)=iejZ + <Z,-,

ф,(г) = —dj,

1 т е ,= 0.

(5.10)

Из первой фЬрмулы (5.5) в силу

(5.2)

и (5.10) находим

©

о

t ^

L i

(j = l,

2, ..., к ) .

(5.11)

Подставляя

<D0(t) из

(5.11)

в равенства (5.8), получаем

е,-=

0

(/ =

1 ,2 ........ к ) .

(5.12)

-г W (*) “ 2hi0)0WS(*”

“ 2b J w S ( О -

e, (5.19)

L

^

- j - % (z) =

[<B0(*)Л — *to0 (t) dt] l(t — z) — xe +

L

+ 2^i J

too (t) [fft ( t - z )

— iff (t— z)] dt, z<=2Dj

(7=

1, 2, . .

k).

L

Разность между предельными

значениями

функций

(5.10)

и

(5.19) на L) такова:

Фо (0 -

~ Г W W =

“ о (0 +

е,

(Г)20)

Фо(0 — “Г ^ W = х* _

Х“ Л0 “

~1(0'о(О-

Подставляя сюда вместо <ро(*), фо(0

их

значения

из (5.16)

и исключая

затем

0 о(О» приходим к краевой задаче

в

областях

3>i () = 1 ,2 , . .. ,

к)

___

____

wp,(t ) — t0 )(t) — ypi(t) = O.

(5.21)

Решение ее имеет вид

[46]

xp)(z) =

ej,

^)(z) =

x€j

(j =

1, 2, ... , к ).

(5.22)

Функцию

0 о(t)

находим из первой

формулы

(5.20)

с учетом

(5.22) и (5.16). Имеем

0 о(?) = ie ,

( j =

1,

2,

. . . , к).

(5.23)

Равенство

С] = 0 дает, с учетом

(5.23)

и

(5.17),

е, =

0

(/ =

2, 3, . . . ,

к ).

(5.24)

Подставляя

©о(0 из

(5.23)

в

первую

формулу

(5.19),

находим

e = ie 1.

(5.25)

Наконец, вторая формула (5.16), с учетом (5.23), дает

е =

0.

(5.26)

Таким образом, на

основании

равенств

(5 .23)— (5.26)

находпм

смотрим соответствующую (3.9) систему однородных

интеграль­

ных

уравнений. Очевидно, равенства

Д (г) = 0,

Qi(t) = 0

(j =

= 1,

2, . . . , к) равносильны условиям

<Оц> =

<<*22> —

= 0,

h (t) = 0 . '

Таким образом, интегральные уравнения (3.9) с

нулевыми

правыми частями соответствуют краевой задаче

(3.1)

при

нуле­

вых средних напряжениях и h ( t ) = 0 на L.

через Po(i)=l/>5(0. *е = ^ ) и qa(t) = |«§(<), t е L ,].

Соответст­

вующие им функции (3.2) запишем в виде

to (*) = Ы J [£ (0 M O + г (О M O -

(01C(*- О Л +

L

+

J J ; f А <*> *,(< -» )< #

+

B„2,

(5.27)

L

c p J W - ^

+ jjL

г е % .

4 =

- ^

Л .

'-i

’

*5 W — 2SI

f [<*JЛ «

+

M?(*> -

‘ w t i w ] i & z

+ B «*•

На основании теоремы единственности (4.6)

имеем

2^ JРо (0 t(t — z)dt +

A0z = iez + d.

(5.28)

L

Вычисляя приращения левой и правой частей равенства

(5.28) при переходе от точки z к конгруэнтной ей точке

Z + (DP

(р — 1, 2), находим

А - * .

В ' - ^ Р ' Ю Я - О .

(5.29)

L

Отсюда, в силу (2.6), (2.5).,

(3..3), (3.7) и (4.6), заключаем

ао = 0, А 0= 0, В0 = 0, е= 0, е, = 0 (/ = 1, 2, ...,

к).

(5.30)

Введем регулярные в областях 2D) функции & (2) и 6Дг)

по фор­

мулам

4 Xi (*) =

4 й j

Ро W S (< — * ) * + nb

z s

L

- Г

(*) = 2Й J" Г» (0 ( Ш

+ г (0 M <j -

<A (!)] { ( « - « ) * +

(5'31)

L

+

^ i$ P o ( t) ® i(t - z )d t + T n j

L

и

аналитические в

областях C2Djt затухающие

на бесконечности

(2) = 2k

f r~ z dt'

z e

U = 1.2. • •/c).

4

(5.32)

*i(«) -

[a^ >

+ PrfW -

г5 fl?(Ol r h -

4

Разности предельных значений соответствующих функций

(5.27) и (5.31),

(5.32), с учетом соотношений

(5.30),

таковы:

Фо (0 -

7 X; (0 = - Р) (0 ~

пЬ

Ч>.№ — 7® iW ------[«irfw + * № ) -

1ъ

w] - “ i.

Ф} ( 0 - i e , ( « ) - « ? » .

t s

L

^ J / -

1 , 2 .......... &),.

(5-33)

'Й (0 -

OTj (<) - “ iP° (1) +

Pi1° (f) -

1 j t q] It),

где

2< x+ ^ )_

Jlj

2(1 + V

i ) ,

Jtij =

xi (1 + xi)

* i(l + *i)

Подставляя сюда выражения функций

<p0 (<). ф0 (0« Ф? (О» "ti (О

из (4.6) и исключая затем р° (<) й g° (i),

получаем

x ilo +

<Xi (<) + 6i (t) -

м г } +

й ; (0 +

(У,- (О,

+

+

(5.34)

-------3j (t) +

[(0, (() +

a , (()],

!

Таким образом, для каждого

фиксированного

j — 1,

2, . . . , /с

й (я) =

б ;(г )= 0 ,

в* (*) = <*(■*)— 0

(/ = 1 , 2 , . . . , * ) ' .

(5.35)

Отсюда, учитывая (5.33), (4.6) и (5.30), находим

p°i(‘) =

- d - n i .

q°(t) — dj, t s L j

( / - 1 , 2 ..........к).

(5.36)

имеет

епд

1шВо = 0

(6.4)

Re А -

<"■■> + <дя> + JL Re (6,Л ) - j

Re Л„ - £

Re В

В - 4 «<г2!> -

<о„> + 2/ <ст12» +

(Ti -

«,) “

(6-5)

Здесь

F =

coi I ©21sin а — площадь

параллелограмма

периодов

(фундаментальной ячейки).

В

случае первой основной задачи Im .4

остается произвольной

и не входит в определение поля напряжений в решетке.

Для второй

основной задачи Im ^

следует определить из ус­

контуре отверстия L.

Для этого краевое условие второй основной задачи

(1.13)

представим в виде

(х +

1 ) ф ( 0 - g (t) = 2ц (Й! + ш2), t = Re1'0.

(6.6)

Из (6.6), (1.10)

находим

М = Re j* g (t) dt = Re f [(x + 1) <p(i) - 2G fo + ZK2)] it.

(6.7)

L

L

Подставляя в (6.7)

вместо <p(£) ее выражение

из (6.1),

пола­

гая М = 0 и учитывая

(П .1.11), получаем

Im i4 ~ « ( « + V ) F K e[

& + Гиг) S - Im 2 <2fc +

(6.8)

Таким образом, 1ш 4

фиксируется равенством

(6.8 ). Этот мо­

Краевые условия возьмем в виде

в Ф © ■4- Ф (г) - йФ ' (t)+ У (t) }е2,° = /(г),

t - Яе,в,

(6.9)

где N — нормальная, а Т — касательная компоненты заданной па

контуре отверстия нагрузки, % — 2Д/ан — относительный

радпус

отверстия (для удобства полагаем coi = 2),

е = 1, f {t) = N — iT — для_первой основной задачи,

е = —х, f { t ) = —2i\Lei0d{u\ — iu ijld s — для

второй основной

задачи.