книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры
..pdfгде u* — двоякопериодическая пе зависящая от координаты Ху составляющая вектора перемещения. Обозначая
з
Д; = |
2 |
6д,Э/, |
(/ = |
1,2), |
|
|
||
|
А=1 |
|
|
|
|
|
|
|
п проектируя (1.2) па коордипатпые оси, имеем |
|
|
||||||
-^ 2c tg a s |
, |
|
*2 |
Л |
10, |
/ - 1 ,2 , |
(1.3> |
|
= щ + - |
6l,’ + |
l2s i n a b i j + W |
^ / = 3. |
|||||
|
|
|||||||
Соответствующие полю (1.3) |
угол малого поворота |
|
||||||
|
|
2 ^ 0хх |
дх2 |
) |
|
|
||
в плоскости Х\Охч и компоненты тензора деформации |
|
|||||||
, |
_ |
1 ( ди1 , |
дик \ |
|
|
|||
№~ |
П |
<4 + |
Иг, ) |
|
|
|||
имеют вид |
е = е *+ |
<е>, |
|
|
|
|||
|
|
|
(1.4) |
|||||
ejh = е*к + |
<ejh} |
|
(/, к = |
1,2,3). |
|
|||
|
|
|
||||||
Взятые в угловые скобки средник угол малого поворота ir средние компоненты тензора деформации в структуре равны
. |
i |
f |
|
*,« |
A ic‘g ° |
||
<в> |
2 ( |
^ |
+ |
lt |
|
||
|
<*«> - |
~ Г ' |
|
|
|||
|
|
|
|
|
i |
|
|
\е 2г ) |
г |
|
в.. |
|
|
|
|
2 |
sin a |
|
l |
’ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
f « i , |
, |
A |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\+ /2 sin a
|
1 |
/ • 6o, |
* 1 |
< ^ > - J |
( L £ . |
|
|
» .._ У
1г sin a )'
(1.5>
c t^ a |
) |
i , |
J ’ |
6 ,- C t g a
- V -
Найдем теперь энергию U упругих деформаций параллеле пипеда, построенного па векторах Q|, Q, Ьз, где i — какое-либо положительное число. Вычисляя ее как половину работы при ложенных к грапям параллелепипеда усилпй па перемещениях этих граней, получим
з
i7 = - | « ji2s m a 2 <<*jh> <«jh>, <0jk> - <«*«>» |
= |
',Л=1 |
(1.6> |
191
Здесь через <ол> обозначены средние компоненты тензора на пряжения в структуре, определяемые следующим образом: ве личина <0зз> есть среднее по площади основного параллелограмм ма периодов от компоненты 033; остальные величины определяются так, чтобы соотношения между ними и средними по сторонам основного параллелограмма периодов векторами на пряжении pi и р2, действующими на эти стороны, совпадали с -обычными соотношениями [18] между компонентами тензора папряЖепия и вектором напряжения, действующим па произ
вольную площадку
р, =(<<jn>sina— <<Ji2>cos a )3i +
+ (<oi2> s i n a - <O22> cosa)32 + (<ff!3> s i n a - <о2з> cos а )э 3, (1.7)
P2 = <012^1 + <022^32+ <023^5>3.
Формула (1.6) показывает, что напряженно-деформирован ное состояпие регулярной структуры однозпачно определяется (в рассматриваемой постановке) значениями любых тести с не одинаковыми парами индексов величин из двенадцати различных величин <оЛ>, <ejk>. Коэффициенты, связывающие указанные выше шесть величин с шестью оставшимися, называются эф фективными упругими постоянными регулярной структуры.
§2. Сведение основпых краевых задач теории КМ
крегулярпым пнтегральпым уравнениям
Решения краевых задач для армированпых сред с простей
шей микроструктурой ячейки легко строятся |
в рядах |
[5, 6] |
(см. также гл. 1). Ниже предлагаются схемы |
анализа |
иапря- |
жеппо-деформированного состояния таких сред, осиовапиыс на сведении соответствующих краевых задач к равносильным им интегральным уравнениям. При этом охватываются достаточно общие ситуации (произвольная микроструктура ячейки, отслой ка волокна от матрицы, трещины в матрице или волокпе и т. п.).
Обобщенная плоская деформация. Пусть внутри основного параллелограмма периодов (в плоскости комплексной перемен
ной z = х + iy) |
содержится к |
непересекающихся |
простых замк |
|||
нутых контуров |
с кривизнами, удовлетворяющими условшб |
|||||
Гельдера |
[19]. |
Конечную односвязную |
область, |
ограниченную |
||
контуром |
Ljt |
обозначим через |
(/ = 1, |
..., к ); |
упругие посто |
|
янные среды |
в |
областях 3>} |
(включения) |
и 3 ) |
(матрица) — че |
|
рез ц,-, Vj и ц, v соответственно.
Предполагаем, что включения посажены в матрицу с неко торым известным натягом в плоскости х\Ох^ и что упругое взаи модействие матрицы с включениями идеально. Последпее озна
чает непрерывность |
векторов напряжения и |
перемещения |
(с учетом натяга) при переходе через L,-. |
|
|
Таким образом, при исследовании обобщенной |
плоской де |
|
формации регулярно |
армированного волокнистого |
композициоп- |
192
ного материала оказывается полностью применимой схема § 3 гл. 1. Необходимо лишь второе краевое условие в (1.3.1) заме нить следующим:
j [x< p (()- f® ? )- W )l-
= J J |
[*№ (0 - |
<®(W - ФЛО] + 2А; (<) + 2 (v - V,)e j . |
||||
Соответственно |
в |
системе |
(1.3.9) |
вводятся |
слагаемые: |
|
2ц (V; — v) еэз - t0l (к + |
X,) в |
правую часть |
i?,(f) и |
2ц (v,— v)X |
||
X взз^о/ (1 + У-ih) |
в правую |
часть Qj(t) . |
|
|
||
■ Состояние продольного сдвига может быть описано при по
мощи одной аналитической функции f(z) следующим |
образом |
|
[18]: |
_ |
|
0 1 3 - * 0 2 3 |
= 2ц/'(z), U3 = f(z)+f(z). |
(2.1) |
Соотношения (2.1) |
позволяют сформулировать задачу о про |
|
дольном сдвиге регулярпо армированного волокнистого компози ционного материала как задачу о разыскании кусочно-голоморф ной функции f(z ) , обеспечивающей двоякопериодическое рас пределение компонент тензора напряжения и удовлетворяющей краевым условиям
Н е [Л < « )-/ -(0 )-0 , |
|
Im fo,/ *(< )-(• / -«] = <> (t^ L „ / = 1........ *). |
М |
Требование двоякопериодичности будет соблюдено, если разыскивать функцию f(z) в классе аналитических квазиперподических функций. Положим
m - -яд-j ■>(<)?(<-*)<« + a |
L - u i L i- |
(2-3) |
Здесь £ (z) — дзета-функция Вейерштрасса, Е — некоторая посто янная, р(*) = {л (0 » i е Lj) — неизвестная функция (плотность).
Нетрудно заметить, что первые краевые условия из (2.2) будут удовлетворены, если положить
lm p(t) = 0, ie £ ,. |
(2.4) |
Постоянную Е определим из условия существования в струк туре заданных средних, напряжений. Вычисляя приращения (2.3) па основных периодах оси, ©г и подставляя в (1.7), на ходим
Е = <l’1J>7(ti<°” > |
+ El , |
|
2 л г5 - 1т[ ( т _ Т |
см“)'| р (ч й } |
(25)6 |
6, — 2C(o»i/2>. «2=2£(0г/2).
13 |
Э. И. Григолюк, Л. А. Фильштинский |
193 |
|
Вторые краевые условия из (2.2) выполним за слет неиз вестной пока плотности p (t). Подставляя вычисленные при по
мощи формул Сохоцкого — Племсля предельные |
значения |
(2.3) |
|||||
в (2.2), приходим к системе интегральных уравпепий Фредголь |
|||||||
ма второго рода относительно р (t) : |
|
|
|
|
|||
Р (*») + ~ Ы И p ® d 1п |
|
+ |
2‘U* Im ^Ehi^ = |
|
|
|
|
= |
«огя > Re t0 — <ст13> Im t0), |
lnе= L, |
(2.6) |
||||
|
Ъ + 1* |
(7 = 1, |
*)• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь a (z)— сигма-функция Вейерштрасса. |
|
|
|
||||
Докажем разрешимость |
полученной’ |
системы. Рассмотрим |
|||||
для этого соответствующую |
(2.6) однородную систему, |
решение |
|||||
которой обозначим через |
р 0 (t) = |
{pj(t), |
t е L j} . |
Всем |
функцио |
||
налам и функциям, отвечающим этому решению, будем припи сывать индекс нуль.
Очевидно, что однородная система соответствует краевой за |
||||||||||
даче (2.2) |
при |
равных |
нулю |
средних |
напряжениях |
<0|3> |
||||
И <С23>. |
|
|
|
что решение |
этой |
однородной |
||||
Из (1.6) и (2.1) следует, |
||||||||||
краевой задачи есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
fo(z) = C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U{z) = Ch |
|
(/ = |
1, |
..., |
/с), |
|
|
|
где С, Cj (/ = 1, |
..., ft) — постоянные, |
связанные |
соотношениями |
|||||||
|
Re С = С, jx Im С = |
р, Im Cjt |
/ = |
1, |
. . . , ft. |
(2.8) |
||||
Вычисляя |
скачок (2.3) |
при |
переходе |
через |
L |
и учитывая |
||||
(2.7), получаем, что плотности |
р] {t) являются |
постоянными на |
||||||||
контурах Lj |
(/ = |
1, ..., ft) |
и, следовательно, |
функционал |
Е ь |
|||||
равен нулю. Для постоянных плотностей обращается в нуль и
вся |
функция (2.3) при г е й ) , |
Из связи (2.8) |
между |
грапичпы- |
ми |
значениями /о(г) выводим, |
что С = С} = 0 |
(/ = 1, . |
. /с). От |
сюда, с использованием формул Сохоцкого — Племсля, |
получаем |
|||
|
Pj(t) = 0 |
(; = 1......... *).. |
|
|
Следовательно, система (2.6) разрешима единственным образом при любой правой части. Решение p{t) системы (2.6) удовлет воряет, в силу наложенных на гладкость контуров Lj требова ний, условию Гельдера вместе со своими первыми производными [19]. Тем самым доказана корректность представлепий (2.3).
Изложенная здесь схема сведения краевых задач к регуляр ным интегральным уравнениям легко обобщается на случаи полых волокон [Ю].
1 9 4
§ 3. О возможности сведения двумерных задач теории упругости для кусочно-однородпой среды к сингулярным интегральным уравнениям. Учет дефектов типа трещин
Изложенный в § 3 гл. 1 вывод интегрального уравнения диоикопериодической плоской задачи теории упругости для ку сочно-однородной среды основывался на полученных Д. И. Шер маном [34] представлениях для комплексных потенциалов <p(z) и ^ (s). Представления эти содержат две неизвестные комплекс ные функции (плотности) точек границы раздела сред. Струк тура представлений такова, что подстановка их предельных зна чений в краевые условия (непрерывность векторов папряжеппя и перемещения при переходе через грапицу раздела) приводит к системе регулярных интегральных уравнений относительно искомых плотностей.
Благодаря тому, что в комбинации <p(z) + z<p'(z) + if(z), опи сывающей распределение компонент тензора напряжения в изо тропной среде, не фигурируют упругие постоянные материала,
Д. |
И. Шерману [38] |
удалось построить такие представления |
для |
функций <р (s) и |
\|;(z), которые автоматически удовлетворя |
ют условию непрерывности вектора напряжения при переходе через границу раздела-сред и содержат всего Одну неизвестную плотность. Последняя определяется как решение сингулярного интегрального уравнения,.эквивалентного краевому условию не прерывности вектора перемещения при переходе через границу раздела.
Преимущество представлений [38] по сравнению с представ лениями [34] очевидно — количество неизвестных плотностей и, соответственно, интегральных уравнений сокращается в два раза.
В обзоре В. 3. Партона и Г1. И. Перлина [22] отмечено, что поскольку представления [38] обеспечивают непрерывность вектора напряжения при переходе через линию интегрирова ния, они могут быть использованы в задачах о разрезах, где необходимо выполнение этого условия. Там же, в [22], выписа ны сингулярные интегральные уравнения задач об упругом равновесии плоской изотропной среды с криволинейными раз резами и плоской изотропной кусочно-однородной среды с раз резами, расположенными па прямой линии раздела.
В |
последующих |
работах |
[24, |
25] |
использовались комплекс |
ные |
потенциалы |
Ф(г) = (р'(г) |
и 4r (z) = i[:/(z), интегральные |
||
представления для |
которых, |
так |
же |
как и в [38], выбирались |
|
лз условия непрерывности вектора напряжения при переходе че рез линию интегрирования. Сингулярное интегральное уравне ние плоской задачи теории упругости для изотропной среды с криволинейными разрезами было получено Л. А. Филыптпнскпм [28] и М. П. Савруком [24] (в терминах Ф(г) п XF (z)).
Первая и вторая краепые задачи для анизотропной среды с криволинейными разрезами, по-видимому, впервые были рас-
13* |
195 |
смотрены Л. А. Филыптвшским [28—30] и В. А. Л гобчаком и Л. А. Фильштинским [15]. В этих работах построены сингуляр ные уравнения соответствующих краевых задач и приведена их численная реализация. Интересно отметить, что полученные алгоритмы для анизотропной среды с разрезами допускают пре дельный переход к соответствующим уравнениям для изотроп ной среды с разрезами. При этом мы приходим к представле ниям Д. И. Шермана [38].
Представления типа [24, 28] были использовапы П. С. Теокарисом, Н. И. Иоакимидисом для сведения к сингулярным ин тегральным уравнениям плоских задач теории упругости для изотропной среды с инородным включением как в случае идеаль
ного контакта сред |
[39], |
так и при наличии разреза |
на линии |
|||||
раздела [37]. |
здесь, |
что |
механическое |
перенесение |
авторами |
|||
Отметим |
||||||||
[37, |
39] |
па |
случай |
кусочно-однородной |
среды |
представлений |
||
типа |
[24, |
28], выведенных для случая |
среды |
однородной, не |
||||
позволяет получить правильные чпеленпые результаты при большом отношении упругих постоянных включений и матрицы, характерном для современных композиционных материалов. Со ответствующая модификация представлений описана в следую щем параграфе.
Общий подход к решению плоской задачи теории упругости для изотропной кусочпо-одпородпой среды с разрезами, осно ванный на представлениях [22, 24, 28, 38], был предложен
Э.И. Григолюком, М. Г. Грингаузом, Л. А. Фильштинским в
[7].Граница области (объединение разрезов и линий раздела материалов) может быть произвольной кусочно-гладкой линией.
Такая постановка охватывает случаи инородного включения с кусочно-гладким контуром, разреза с точкой излома, ветвяще гося разреза, расположения его на линии раздела материалов, выхода на эту линию или пересечения с ней и т. п.
Изложение указанного подхода для случая кусочно-однород ной среды с двоякопериодической структурой дается в следую щем параграфе.
§4. Сведение основных краевых задач теории КМ
сдефектами типа .трещин
ксингулярным интегральным уравнениям
Рассматривается ситуация, когда в регулярно армированном волокнистом композиционном материале имеется двоякоперио дическая система туннельных трещин, поверхности которых пер пендикулярны плоскости Х\Ох2.
Пусть в основном параллелограмме периодов имеется прос той замкнутый кусочно-гладкий контур Г с одной угловой точ
кой с. Упругие |
постоянные среды в области |
(включение), |
|||
ограниченной контуром |
Г, и в области £ ) |
(матрица) |
различны |
||
и равны pi, Vi |
и р, v |
соответственно. Из |
точки |
с к |
точкам си |
с2, сз выходят три гладких |
разреза: L I — B область |
2D\, |
L i — |
||
в область 2D, Ьъ — вдоль контура Г (рис. 6.4.1). |
|
|
|
||
Берега разрезов свободны от усилий, |
па |
Z* = Г\£,з |
имеет |
||
место идеальный контакт материалов. |
|
|
|
|
|
Кривизну контура Г в |
окрестности |
точки |
сз и |
кривизны |
|
всех дуг Li считаем удовлетворяющими условию Гельдера. Точ ки с, сь е2, е3 будем пазывать узлами, под границей L пони
маем объединение всех дуг Lj |
(/ = |
|
|
||||
= 1, •••, 4). |
|
обобщенной плос |
|
|
|||
Для описания |
|
|
|||||
кой деформации используем, как и |
|
|
|||||
ранее, комплексные потенциалы Ко |
|
|
|||||
лосова — Мусхелишвили |
Ф(г) |
и |
|
|
|||
\Р(г). В случае лродольпого сдвига |
|
|
|||||
пам здесь |
будет |
удобнее |
замепить |
|
|
||
формулы |
(2.1) |
па следующие: |
|
|
|
||
Oi3 — /о2з = /'’ (г )> |
риз = |
Re/ ( г ) , |
|
|
|||
|
F (z) = |
f ( z ) . |
|
(4.1) |
Рис. 6.4.1 |
К описанию |
|
Требуется определить кусочно-го |
структуры ячейки |
||||||
|
|
||||||
ломорфные функции Ф (г), |
(з), F (z ) , обеспечивающие двояко- |
||||||
периодическое |
распределение |
компонент тензора |
напряжения |
||||
в структуре и удовлетворяющие в отличных от узлов точках t границы L следующим краевым условиям: в задаче об обобщен ной плоской деформации
( N - iT ) * = ( N - iT ) - = 0 |
(4.2) |
на разрезах и |
|
( N - iT ) + = (N -iT )~ , |
|
d [ (щ + iU2) + — (щ + ш2) “ + h(t) ] Ids — 0 |
^ |
на участке идеального контакта; в задаче о продольном сдвиге
Т+ = Т - = 0 |
(4.4) |
да разрезах и |
|
Т+ = 7 ", d { u t - u j ) / d s = 0 |
(4.5) |
па участке идеального контакта. Верхними индексами «+» и «—» в краевых условиях отмечены левые и правые предельные значения по отношению к выбранному положительному направ лению обхода (на рис.' 6.4.1 указано стрелками), s — дуговая координата, h (f) — величина натяга. Через N и Т в (4.2), (4.3) обозначены проекции на положительные нормаль и касательную вектора напряжения (плоская задача), действующего па какуюлибо дугу со стороны положительной нормали, через Т в (4.4), (4.5)— касательное напряжение (продольный сдвиг), дей ствующее на какую-либо дугу со стороны положительной нормали.
197
Видоизменяя согласно схеме гл. 1 представления [7] для комплексных потенциалов Ф (z) и х¥ (z), запишем
Ф « |
------ + |
А1 + А<‘ >+ |
|
|
|
|
|
|
|
▼ (« )- |
25? |
|
|
|
|
|
|
|
(4.6) |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 ^ Jc o (0 |
[ t $ (t — z)dt — ff»x(t - z)] dt + B L + B (co), |
||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
E = ‘ R e f - ^ i L , |
’ |
Hj |
|
||||
|
|
|
4n |
,1 |
i — Sj |
|
|
||
Woo) _ |
<CT„> + |
<(T22> |
|
fea) |
<«J22> - |
<<Tn> + |
2t <oJ2> |
||
A |
------------- 4----------• 1 |
3 ---------------------- 2----------------- • |
|||||||
Для |
отыскания |
функции |
F {z) |
|
используем |
представление |
|||
[12], выведенное при рассмотрении задачи об обтекании глад кой разомкнутой дуги идеальной несжимаемой жидкостью.
Примем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р (г) = |
4 а Ц р ( 0 ехР [“ г'° Wl W |
- z ) d t |
+ |
E L |
+ Я (~\ |
(4.7) |
||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е {т) = <<jia’> — i<023>, |
Im p ( t) = |
0. |
|
|
|
|
||
В |
(4.6), |
(4.7) |
£ (z) и i? (z) — дзета-функция |
и |
гае-фуикция |
||||||
Вейерштрасса, |
6е) (z) — специальная |
мероморфнаи |
|
функция |
|||||||
(см. |
П .2); zi — произвольная фиксированная |
точка |
из |
области |
|||||||
St)1, |
6 (0 — угол между положительной касательной к |
L |
в |
точке |
|||||||
t И ОСЬЮ Ох1. |
|
|
|
|
|
|
|
p(t) |
|
||
Неизвестные |
комплексную со (0 и |
вещественную |
функ |
||||||||
ции (плотности) считаем принадлежащими на |
L |
классу Я * |
|||||||||
[19] |
с узлами в точках с, щ, с2) с3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Соответствующий |
представлениям |
(4.6), |
(4.7) |
вектор |
пере |
||||||
мещения является, вообще говоря, неоднозначным. Для его од нозначности необходимо и достаточно выполнения условий
\ со (t) dt = 0, |
[ р (t) exp [— iQ(f)] dt = 0, |
(4.8) |
L |
L |
|
которые в данном случае совпадают с необходимыми и достаточ ными условиями двоякопериодичности компонент тензора на пряжения.
Величины Re Л*,, В и E L определим таким образом, чтобы со ответствующие представлениям (4.6), (4.7) средние компонен ты тензора напряжения в структуре совпадали с постоянными
<Ojk>, фигурирующими |
в- этих представлениях, а |
величину |
Im AL — таким образом, |
чтобы средний угол малого |
поворота в |
198
структуре был равен нулю. Предполагая, что условия (4.8) вы полняются, после некоторых преобразований находим
=) a+ l T Re6’
•. Л ь - ^ 5 + ( - 5 - + ^ ) а + 2 (ф — i ) R e b .
Е ь = Ее С = jj-. j Ip (t) exp [ - /6 (f)] dt,
a = 2H T I (*)dt' b = 2ni j* (0 ^ = Мгsin a -
Здесь 61 и Yi — постоянные решетки (см. приложения 1, 2). Представления (4.6), (47) сконструированы таким образом,
что они автоматически удовлетворяют условию непрерывности
вектора напряжения при переходе через границу L. |
|
|
||||||
Подставляя предельпые |
значения функций |
(4.6), (4.7) в |
ос |
|||||
тавшиеся краевые условия, |
а |
именно — во вторые равенства |
из |
|||||
(4.2) |
— (4.5), приходим к |
интегральным уравнениям |
относитель |
|||||
но искомых плотностей о (г) и p(t). |
|
|
|
|
|
|||
Обобщенная плоская деформация |
|
|
|
|
|
|||
Лм(У + 1§ 1 <“ MS |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
Й0г- |
|
|
||
|
+ 5-J«1(<„■9*><0<#+ SiJ |
|
|
|||||
|
L |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
- М |
{ / 0; ©(0} = |
£(<о), |
« o e i, |
||
|
* 1 ( У 9 - Е << - |
У |
” * ( У - |
4 |
|
(4.10) |
||
К-г (^0’ 0 |
— С (^ — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Pi (* — «о)»»(<о), |
те (*о) — dt0fdt0, |
||||
MUQ; ш(0 ) = 2 B 1RGAL + 2i(\^e — A )lm A L + Rm(to)Bit + eE.
На участке идеального контакта |
|
||
2 4 = ( x + |
l) + M xi + l), |
25 = ( l - x ) - X ( l - x i ) , |
|
|
|
Д = 1 — A, |
e = Ki + l, |
ff(^o) = |
2 5 i 4 (~ >+ i ? m ( f o )5 (e,) + 2 |x[e3a ( v - v i ) + Л '(Го)], |
||
на разрезах |
|
|
|
А = |
е = 0, |
B = R = i, |
g (to)= 2 A (* ) + m (to)¥ Z). |
199
Продольный сдвиг
Р (g _ |
Im M { д р (0} - 21* Re [q (t0) E L] = |
= 2X* Re [</ (£0) £ (oo) ], t0 <=Lit
(4.11)
4 - Re |
P (0) - 2 Im [q (to) E L ] = |
=2 I m [ ? ( g £ “ ].
А*= (1 -А ,)/ (1 + Л).
Здесь
|
M f t: />W) - |
SP (0 ?W 5 ft)C ( * - «< « . |
|
|||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
q(t) = |
exp [Ш(*)Ь |
|
|
|
Как Индио из |
структуры |
уравпепий (4.10), |
(4.11), диффе |
|||
ренциальные |
свойства их |
ядер (здесь мы имеем |
в виду |
ядра, |
||
остающиеся |
после |
выделения |
характеристических частей) |
опре |
||
деляются дифференциальными свойствами кривизны границы L. В узле с, где сходятся не касательные друг к другу дуги, ядра этих уравнений имеют особенпость типа Цх при х-*- 0. Таким образом, уравнения (4.10), (4.11) относятся к классу сингуляр ных интегральных уравнений с неподвижными особенностями.
Для того чтобы подчинить решения уравнений (4.10), (4.11) условиям однозначности вектора перемещений (4.8), поступим следующим образом. Обозначим через [t/i + iu2] i и [й3] | соответ
ственно приращения комбинации щ + ш2 и |
компоненты щ |
иа |
||
лежащем в <2)\ пути: левый берег разреза L3 |
от |
узла |
с3 до |
уз |
ла с, правый берег разреза Ь\ от узла с до |
узла |
щ, |
левый |
бе |
рег разреза Ь\ от узла ci ■до узла с. Через |
[wi + iu2] и |
[u3] |
||
обозначим приращения тех же функций на лежащем в 2Е> пути: правый берег разреза L3 от узла с3 до узла с, левый берег раз
реза Ь 2 от узла с до узла с2, правый берег |
разреза |
Ь2 от узла |
||||
с2 до узла с. Будем |
разыскивать решение |
уравнения |
(4.10), |
|||
удовлетворяющее условию |
|
|
|
|
||
|
[HI + iu2] 1 + h (с) — h (с3) =i [HI + |
iu2] , |
|
(4.12) |
||
и решение уравнения |
(4.11) — условию |
|
|
|
||
|
|
[из] 1 — [мз] - |
|
|
(4.13) |
|
Поскольку при составлении интегральных уравнений |
(4.10), |
|||||
(4.11) |
были учтены вторые равенства из |
(4.3), |
(4.5), |
любое |
||
решение |
уравнения |
(4.10), |
удовлетворяющее условию |
(4.12), |
||
и любое |
решение уравнения |
(4.11), удовлетворяющее условию |
||||
(4.13), удовлетворяют условиям однозначности вектора переме щения (4.8).
Интегральное уравнение (4.10) благодаря присутствию в нем слагаемого с Е применимо также и в случае абсолютно жестко
200