книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

Соображения, вполне аналогичные тем, которые были выска­ заны в § 2, приводят к формулам

=[ l + 4 X p(a 2 + 0 ,5 i= ^ p 3) ]" 1. (5.3)

!-г <v21>’ Е

Вформулах (5.1) л (5.2) величины а.% и ffo определяются из

Величины Е ж у — модуль упругости и коэффициент Пуассо­ на материала пластины, К р — коэффициент перфорации, опреде­

<М п> = <M22> = о, < M i2 > = 3 > 1) .

Результаты расчетов осредненных изгибных параметров по уравнениям (2.7.12) и формулам (5.4), (5.5) приведены на рис. 4.5.1—4.5.16.

V Эта задача для квадратной решетки также обладает геометрической и силовой симметрией относительно осей Ох\ и Ох^.

151

Рис. 4.5.1. Изменение величины Q для гексагональной решетки с круговыми упругими ядрами в зависимости от К = 2Л/coi

Рис. 15.2. Изменение величины Й* для гексагональной решетки с круго­ выми упругими ядрами от X = 2Л/ш[

152

<Е >/Е

Рис. 4.5.3. Зависимость <£>/£ для гексагональной решетки с упругими яд­ рами от %= 2Л/о)(

<v>/u

Рис. 4.5.4. Зависимость <v>/v для гексагональной решетки с упругими ядра­ ми от %= 2Д/Ш1

153

154

Рис. 4.5.8. Зависимость величины Й для квадратпой решетки с упругими яд­ рами от X = 2Я/Ш1

р ис. 4.5.9. Зависимость величины Й *’ для квадратной решетки с упругими ядрами от А — 2Л/а>1

155

Рис. 4.5.10. Изменение <ЕУ1Е для квадратной решетки с упругими ядрами в зависимости от к = 2Д/©1

<v>/v

156

<G>/6

157

Кривые величин й, Й*, (Е )/Е , <v>/v и для гекса­ гональной решеткп в функции от Я даны на рнс. 4.5.1—4.5.5 соответственно. Графики <ЕУ/Е, (£D')J3) в функции от парамет­ ра Е /Е 1 (Е, Ei — модули упругости пластины п вклгочепий соот­ ветственно) представлены на рис. 4.5.6, 4.5.7.

Осредпенные изгибные параметры квадратной решетки пред­ ставлены на рис. 4.5.8—4,5.16.

Так же как и в § 2, здесь можно построить приближенную

= — л (1 — v)/(8 (1 + v)) для квадратной решетки.

§ 6. Некоторые родственные задачи об определении пзгибной жесткости густо перфорированной пластипы

В расчетах трубных решеток на прочность и жесткость ис­ пользуют различные модели (см. [13, 37]). Наиболее простой апалпз получается в предположении, что прогиб густо перфориро­ ванной упруго защемленной по контуру круговой пластинки юп под действием поперечной нагрузки пропорционален прогибу

158

такой же сплошной пластины, изгибаемой той же нагрузкой, т. е.

жесткости), 2D* — некоторая осредненная цилиндрическая жест­

табл. 4.6.1, Отсюда следует, что коэффициент жесткости ф (для правиль­

ной перфорации) слабо зависит от материала, формы пластины;

в плане и вида сетки перфорации. Существенно зависит ф от сте­ пени перфорации, т. е. отношения диаметра отверстия к расстоя­ нию между их центрами.

На рис. 4.6.1 дано сравнение теоретических кривых для гексагональной н квадратной решеток с экспериментальными

значениями коэффициента ф из [33]. Отклонения невелики, по­

159

этому замена густо перфорированной пластины сплошной, жест­ кость которой равна <S)>, практически оправдана.

Следовательно, в расчетах трубных решеток можно полагать

где <<£)> — эффективная изгибная жесткость гексагональной ли­ бо квадратной решетки.

§7. Осреднение упругих свойств анизотропных регулярно перфорированных пластин

Вданном параграфе рассматриваются вопросы, связанные с ■осреднением упругих свойств анизотропных решеток. Нод этим

понимаем здесь анизотропную пластину, ослабленную двояко­ периодической системой одинаковых отверстий, которые либо свободны, либо подкреплены абсолютно жесткими ядрами. В пер­ вом случае в параллелограмме периодов может быть несколько различных отверстий. Все обозначения и предположения относи­ тельно контуров отверстий Ь} (/ = 1, 2, ..., к ) , принятые в гл. 3,

приращения перемещений через средние напряжения <Oi*>, дей­ ствующие в решетке').

Макромодель регулярно перфорированной пластины. В соот­ ветствии со схемой § 1 построим макромодель анизотропной ре­

1) Все это можно сделать, так как смещения в решетке — квазипериодические функции.

-160