книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

Постоянные Vi,ft и ТМ определены в (6.14) при е = 1 и е = —к.

соответственно.

После определения .42,- (/ = 1, 2, ...) из системы уравнений: (8.14) по формулам (8.13) и (8.12) находим константы Ао, Л_2,-.

и (8.15) вычисляются величины оса,-, p2J и А - 2). Комплексные по­ тенциалы для включения определяются из (8.2) с учетом соот­ ношений (8.4). Комплексные потенциалы решетки вычисляются по формулам (6.10).

§ 9. Об одной контактпой задаче теории упругости, разрешаемой в замкнутой форме

Рассмотрим тонкую пластину, ослабленную двоякопериодиче­ ской системой одинаковых криволинейных отверстий с границами Lm „s L(mod ©i, ©2), в которые с одинаковым патягом запрессо­ ваны шайбы из того же материала. Предположим, что в пластине

в , щ - ~ ш

Таким образом, дело сводится к построению кусочно-анали­ тических функций ф(г) и -ф(и), удовлетворяющих краевым усло­ виям (9.2), условиям групповой симметрии (1.7) и (1.8) и обес­ печивающих существование в структуре заданных средних папряжений.

Квазипериодическую ъ 2Ь~ функцию ф(г) строим по заданно­ му скачку. Имеем с точностью до несущественной аддитивной по­ стоянной

L

причем направление интегрирования — против стрелки часов. Функцию Tjj(z) построим двумя различными путями. Первый

путь заключается в использовании схемы В. Койтера [88, 89]. Введем вспомогательную кусочно-регулярную квазинериоди-

ческую функцию

где %(z) — произвольная куоочно-регулярная квазипериодическая функция, причем % (z+ ю„) — %(z) = — шР (р = 1, 2).

*) Для простоты рассматриваем случай, когда в пределах ячейки име­ ется только одно включение.

52

Из условий инвариантности (1.5), >(1.8) следует квазипернодпчность Q (z). Скачок йо = Й+ — Я- на L известен, в силу (9.2).

Восстанавливая Q(z) по известному скачку, получаем с точ­ ностью до несущественного постоянного слагаемого

Постоянные А и С находим, как обычно, из условий суще­ ствования в структуре заданных средних напряжений <о<к>.

Решение построено. Функцию x (z)i фигурирующую в (9.6), можно, например, взять в виде

Здесь хо(0 — непрерывная по Гельдеру функция, удовлетворяю­ щая условию

[ %о (0 dt = 2»©! lm ©2.

ные А и В определим из (1.17). Получаем после преобразований

53

Представления (9.3J и (9.8) в совокупности с формулами: (9.9) дают решение поставленной задачи. В силу теоремы един­ ственности, функции (9.6) и (9.8) могут отличаться лишь на константу. Это можно показать и непосредственно [69].

В качестве примера рассмотрим пластину с круговыми отвер­

Подставляя (9.10) в формулы (9.3), (9.8) и вычисляя входя­ щие туда интегралы, находим функции <p(z) и i|)(z). Затем по формулам (1.4) вычисляем напряжения в области

54

на контуре отверстия для квадратной решетки в функции от п а­

полярный угол , отсчитываемый от оси Ох\).

§10. Методы анализа напряжений:

врегулярно перфорированных пластинах.

Обзор результатов

Эффективное решепио двумерных краевых задач теории упругости для •сложных многосвязпых областей опирается па методы, развитые в работах Г. В. Колосова, II. И. Мусхелишвили, И. Н. Векуа, Д. И. Шермапа, С. Г. Михлииа, В. Т. Койтера и др.

Для областей с круговыми границами решения краевых задач строят- •ся обычно и стеленных рядах. Если границы области отличны от круговых, то применяется метод интегральных уравнений или метод рядов в соче­ тании с конформпымн отображениями рассматриваемой области иа неко­ торую каноническую область в параметрической плоскости.

В последние годы для исследования напряженного состояния в решет­ ках применяются чнслениыо методы.

Метод рядов был прнмепен В. Я. Натапзоыом [48] для исследования растяжения пластины с круговой перфорацией при расположении отверс­ тий в шахматном порядке. Аналитические функции, описывающие решение, представлялись в виде рядов по эллиптическим функциям.

В [48] введена новая специальная функция, позволившая автору по­ строить решения, удовлетворяющие условиям групповой симметрии.

Впоследствии этот метод был обобщен в различных направлениях в ра­ ботах Э. И. Грнголюка, Л. М. Куршипа, Л. А. Филыптипского [5, 6, 8, 20, 61, 62]. Оказплось, в частности, что идея В. Я. Натанзона о построении бнтармонпческой функция, автоматически удовлетворяющей условиям перио­ дичности по периодам йц и а)2, может быть обобщена ва случай полвгармоннческой функции любого порядка. Этот вопрос рассмотрен в статье В. Е. Каца н Л. А. Фплг.штипского [20], где введена система новых специаль­ ных фулкцин Wi (z) (i — 1, 2, . .. ) , позволившая построить некоторые обоб­

щения эллиптических функций— «эллиптические» полпгармонические функции.

Из других работ этого цикла укажем на статью Яна Дворжака [83], в которой рассматривается задача о растяжении квадратной решетки с кру­ говыми отверстиями, и па работу П. Мейерса [91], где исследуются задачи о растяжении, изгибе и кручении двоякопериодических решеток с круго­ выми и некоторыми иекруговымн отверстиями.

Метод рядов в сочетании с конформными отображениями (без явного •использования эллиптических функций) разрабатывается А. С. Космодамианекпм и его учениками для исследования напряженного состояния в решетках с различными типами свободпых и подкрепленных отверстий [27—30]. В частности, в [27] решены задачи о растяжении решетки с эл­ липтическими отверстиями, а также отверстиями, близкими к прямоуголь­ ным. Задачи теории упругости для толстых пластин, ослабленных регу­ лярными системами полостей, рассмотрены в [30].

К этому же кругу вопросов примыкает статья X. Санто [941 о растя­ жении квадратной решетки под углом к оси Охх и работы Гриффила [86, :87], в которых собрал богатый фактический материал о концентрации на­ пряжений в регулярно перфорированных пластинах.

Бейли и Хикс [81] при последовании напряжений в правильных ре­ шетках записывают, с учетом симметрии, граничные условия на сторонах •трансляционного элемента. Эти условия выполняются приближенно (ме­ тод коллокаций), в то время как граничные условия на контуре основного отверстия выполняются точно. Аналогичная схема использована в [96] при

55

изучении деформпровапия гексагональной решеткп под действием прило­ женного к отверстиям гидростатического давления.

Метод граничной коллокацин применяется также в работе [92], где проводится чпслешши апалпз напряжении в решетках с эллиптическими отверстиями.

Г. Н. Савин, А. II. Гузь, В. Т. Головчан [55] рассмотрели граничную задачу теории упругости для пространства с двоикопернодическон систе­ мой круговых цилиндрических полостей, когда заданные па поверхности полостей напряжения или смещения периодически меняются вдоль оси

цилиндра.

Некоторые задачи термоупругостн для гексагональной решетки с кру­

шестиугольная фундаментальная ячейка отображалась конформно на кру­ говое кольцо, причем краевое условие па внутреннем контуре кольца удов­ летворялось точно, а на впекшем — прпближепно (в смысле Сен-Венапа).

Стацпопарпые температурные напряжения в квадратной решетке с круговыми отверстиями изучались также Яном Дворжаком [84].

В связи с расчетами тепловыделяющих элементов ядерпых реакторов были выполнены исследования некоторых неоднородных задач термоупругостн для решеток. Так, С. Л. Соболев п Г. В. Мухина [59] (см. также кни­ гу [4]) рассмотрели двумерпую задачу термоупругостп для неограничен­ ного пространства с двоякопериоднческон системой одинаковых цилиндри­ ческих полостей кругового поперечного сечения при условии, что в обла­ сти равномерно распределены тепловые псточппкп, а теплоотвод осуществ­ ляется через поверхпостп полостей наружу. Исследование выполнено ва­ риационным методом Ритца с использованием симметрии правильных решеток.

Аналогичная задача решепа Л. А. Фильштппскнм [02] с привлечением аппарата эллиптических функций. Было отмечепо, что с 'уменьшеннем ра­ диуса полости условия стационарного теплового режима становятся всеболее напряженными. Так, температура на границе полости растет как In К, где Я — отношение диаметра полости к шагу. При этом концентрация напряжений резко возрастает.

Эффективным инструментом исследования плоских двоякоперподических задач теории упругости является метод интегральных уравпеппй.

Впервые этот метод был пспользовап В. Т. Коптером [88, 89] при ис­ следовании цервой основной краевой задачи для решетки. В работе [88] развивается аппарат представлений двоякоперподических и квазиперподнческих аналитических функций контуряыми интегралами1). В [89] авторсводит первую основную задачу к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Следуя [89], Ж. С. Ержанов и М. Т. Тусупов рассмотрели вто­ рую основную двоякопериодическую задачу теории упругости [13, 14].

В дальнейшем оказалось, что общую теорию решеток можпо эффектив­ но построить, используя идеи, развитые Д. И. Шерманом [76— 80]. Соответ­ ствующие исследования были проведены Л. А. Филыптинским. В работе- [64] рассмотрена первая краевая задача для решетки, в [65] — контактная двоякопериодическая задача для кусочно-неодпородной структуры.

Некоторая частная задача о растяжении пластины с двоякопериодипоской системой запрессованных включений из того же материала, что и пла­ стина, решена в замкнутой форме М. Г. Грингаузом и Л. А. Филыптинским [68]. К работам этого направления следует отнести также статью Б. Крузика [90], в которой исследовапа вторая краевая задача для решетки.

К рассматриваемому кругу вопросов близко примыкают сингулярныедвоякопериодические задачи об определении полей напряжений в изотроп-

J) Отметим, что интегралы такого типа применялись ранее Л. И. Седо­ вым при исследовании обтекания двоякопериодических решеток [57]. Ин­ тегралы более общего вида с автоморфными ядрами рассматривались Л. И. Чибриковой [74] в связи с построением теории сингулярных инте­ гральных уравнении с автоморфными ядрами.

56

лых пластинах, ослабленных регулярными системами разрезов. Наиболее эффективным инструментом исследования здесь является аппарат сингу-

.лирных пнтсгральпых уравнении [3, 47].

Порван основпая задала .для изотропной среды с расноложепньгми в шахматном порядке прямолинейными разрезами рассмотрена В. 3. Партоном в [53] (см. также [54]). Далее зта задача была обобщена Б. А. Кудряв­ цевым и В. 3. Картоном в [31] на случаи двух прямолипенных разрезов в пределах трансляционного элемента.

13 этих работах исходная краевая задача впачале сводится к вспомо­ гательной задаче Римана [3, 47), решение которой разыскивается в классе

.двоякопериодических функций. Замыкается алгоритм нвтегральпым урав­ нением Фредгольма второго рода.

Более простое решение аналогичной задачи иолучепо Л. А. Фплып- тиискнм в [66], где указан сиособ непосредственного сведения краевой за­ дачи к сингулярному интегральному уравнению первого рода. Последнее приводится к бесконечной системе лииейпых алгебраических уравнений.

Ситуация, когда в пределах параллелограмма периодов имеется один или несколько произвольно ориентированных прямолинейных разрезов, рас­ смотрена 13. 13. Панасюком, М. П. Савруком п А. П. Дацышиным в [50, 51], а также в статье А. П. Дацыышн н М. П. Саврука [12]. Краевые задачи сводятся к системам сингулярных интегральных уравнений первого рода, причем длн больших расстояний между трещипамп авторы записывают приближенное асимптотическое решение этих уравпеппн. Численные ре­ зультаты. полученпые в [51], подтверждают эффект взаимного упрочнения трещин, отмечепиый в [53]. •

А. М. Линьков [3G, 37], сочетая подход В. Т. Контера [88] с известным методом II. И. Мусхелшшшпн [46], рассмотрел задачу теории упругости о плоскости с двонкопернодической системой одинаковых криволинейных раз­ резов, нагруженных самоуравновешоннымн спламп.

Иной подход развивается в работе Л. А. Фпльштпнского [67], где двоякоперноднческая задача для изотропной среды с трешпнамл рассматрива­ ется как некоторый предельный случай соответствующей краевой задачи для анизотропной среды. Иптероспо отметить, что результат такого пре­ дельного подхода к изотропной среде с трещинами совпадает, по существу, с известным решением Д. И. Шермана плоской задачи для области с вклю­ чениями [79].

Впоследние годы выполнепы исследования ряда геометрически п фи­ зически иелнпейпых задач.

Вработах [21—24] нелинейные двоякопернодпческие задачи для ре­

шетки методом малого параметра сводятся к последовательности линейных задач. Расчеты показали, что при увеличении относительных размеров от­ верстия в ячейке влияние нелинейности на концентрацию напряжений воз­ растает, причем пелинейность уменьшает эту концентрацию. Аналогичные результаты для решетки из физически нелнпепного материала с подкреп­ ленными отверстиями получепы Г. Г. Кулиевым [32] и Г. Г. Кулиевым и

И. А. Цурпалом [33].

Ряд упруго-пластических задач в постановке Л. А. Галпна [2] рассмот­ рен А. С. Космодамнапским [26], Г. П. Черепановым [70], Л. М. Курппгаым и И. Д. Суздальппцкпм [34], В. М. Мпрсалпмовым [40, 41]. Предполагается, что пластические области пе пересекаются п целиком охватывают отверс­ тия, причем граппца раздела пластической и упругой областей зараиее пе-

нзпестна.

Аналогичные обратные задачи об определения формы равнопрочных отверстий рассмотрены Г. М. Иваповым и А. С. Космодамнапским [16]. Ме­ тод решения обратной задачи теории упругости для решеток предложен

Г.П. Черепановым [71].

В[10, 11] рассмотрены некоторые плоские задачи дифракции упругих

волн па решетках.

Впервые, по-видимому, эксперимент по определеппю напряжений в рав­ номерно перфорированных круговыми отверстиями пластинах описан в ра­ боте [95]. В пей Е. Зибель и Е. Корф провели экспериментальное исследо- !вапие деформаций в перфорированных круговыми отверстиями пластинах

57

Г л а в а 2 ИЗГИБ РЕГУЛЯРНО ПЕРФОРИРОВАННЫХ ПЛАСТИН

При оценке прочности и жесткости днищ теплообмепных ап­ паратов, различного рода трубных решеток возникают задачи об изгибе пластин, равномерно перфорированных большим количе­ ством отверстий.

В этой главе построена теория изгиба пластин, перфориро­ ванных двоя коиериодпческой системой одинаковых криволиней­ ных отверстий. При этом рассматриваются напряженные состоя­ ния с той же группой симметрии, что и у решетки.

§ 1. Постановка двоякопсриодичсскои задачи изгиба пластин

Общие соотношения. Рассмотрим неограниченную изотропную тонкую пластину, ослабленную двоякопериодической системой одинаковых отверстий L mn = Z/(mod ©i, ©2), где ©i и ©2 (Im ©1 =

односвязную область, ограниченную контуром L, через Si. Будем предполагать, что L — простой замкнутый контур с непрерывной по Гельдеру кривизной [21]. Начало системы координат Охухч поместим в области Si.

Согласно теории изгиба тонких пластин Кирхгофа [17, 22], нее кинематические и статические величины в решетке выража­ ются через прогиб срединной поверхности w в виде

Здесь Mih, Qk — соответственно удельные изгибающие и крутя­ щий моменты и перерезывающие силы, Е и v — модуль упруго­ сти первого рода и коэффициент Пуассона материала пластины, iZ> — цилиндрическая жесткость, ик — тангенциальные смещения,

59

где q{xh хч) — интенсивность нормальной нагрузки, действующей:

на пластину.

Из (1.2) непосредственно видно, что прогиб в пластине,, а также тангенциальные смещения, момепты и перерезывающие'

Рис. 2.1.1. К изгибу регулярно перфорированной пластины

сплы можно выразить через произвольные аналитические в об­ ласти 2 функции и некоторое частное решение этого уравнения^ Для случая, когда q {х\, хг) — 0, соответствующие представления имеют вид [19, 23, 26]

w = Re {z<p(z) + x (z)), z — xi + ix4,

Главный вектор Q и главный момент М всех сил, действую­ щих вдоль некоторой дуги С в области 2, определяются соот­ ношениями

60