книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

Т а б л и ц а

6.7.1. Эффективные упругое

постоянные

композиционного материала с двумя типами волокон в ячейке

RK

j

Л1 = 0,3

|

/?2 — 0,3

RJ

0,4

0,2

R 4

0,2

0,3

0,4

0,2

0,3

0,4

(/<1>/Л

1,348

1,429

1,510

1,230

1,267

1,303

{E ,)!E

1,304

1,398

1,528

1,236

1,279

1,345

(E*)!R

1,534

1,600

1,785

1,408

1,471

1,534

<C12)/G

1,247

1,320

1,395

1,187

1,218

1,249

(G»)iG

1,349

1,422

1,484

1,225

1,255

1,282

(G»3)iG

1,284

1,377

1,507

1,233

1,284

1,351

R i

R i = 0,4

Л. = 0,2

R*

0,4

0,2

R\

0,2

0,3

0,4

0,2

0,3

0,4

( E J / E

1,361

1,455

1,526

1,233

1,270

1,307

(E *)/E

1,266

1,359

1,496

1,200

1,249

1,314

V h )/E

1,503

1,628

1,754

1,377

1,440

1,503

(Gl2)IG

1,230

1,308

1,398

1,169

1,200

1,229

<G13VG

1,370

1,445

1,509

1,239

1,270

1,297

(Gv>)/G

1,234

1,330

1,460

1,187

1,238

1,304

6.7.4 — отношенпю, равному 1,29 X 102

(бороэпоксид). Рпс. 6.7.1,

6 7 3

относятся

к

случаю

квадратной

решетки

(‘2/м — 1),

рис.

6.7.2,

6.7.4- к случаю'прямоугольной

(«/*}"

ечнках введены обозначешш: (pi<as5>)—1—

<Gi3>, штриховые —

= <G23>/G. Сплошные

лпшш

соответствуют

•содержание

работ [4—6], в

§ 7 излагается материал статей

[17, 18], в

§ 2, 4 — материал

неопубликованных исследований

3. При нагружении в плоскости поперечпого сечения ЛКМ

лента

работает лишь

на растяжение — сжатие, причем жест­

кость

ее значительно

превышает жесткость матрицы. Напряже­

ния Оц,

022 и смещения

щ, и.2

непрерывно продолжимы через--

L

— UL h

a 0i2 претерпевает скачок.

4. В области 2D на плоскости Х\Хг, занимаемой матрицей,

имеют место средние напряжения

<о,А>

(£, к — 1, 2).

В рамках указанной

модели

передача нагрузки

от матрицы

к

ленте

осуществляется

с помощью

касательных

напряжении

?о (0 е С а ф -*£ (« )•

(1.1)

усилие в сечении ленты х\ — Re

через контактное усилие

qo(t)

bJ

<7о(0 d t, 4е L j.

Р (Ч) = — J

(1.2)

*0

Напряжения п смещения в области 2D выражаются через ана-

литиче^ские^функции <р(z)

и -ф(г) по формулам

(1.1.3) и (1.1.4).

ф' (2) =

Ф м -

.(« . (0 £ ( < - * ) *

+ Av

(1.3)

¥ (г) ~

* ' <*> = Я Е рГм ) J

ft «

t (* -

1) di -

2 л (x + 1 ) . j * ( 0 № i (2 — -) +

— i ) J & 4- Л ..

L

=ДДС—

-L 2 Г- постояиные)

подлежащие определению;

к —

\

) ( {1 ~гу)

для пластины со стрингерами и к = 3 — 4

$ для

•ЛКМ; v — коэффициент Пуассона

материала

матрицы;

%(%) —

дзета-функция Вейерштрасса [1]

(см. П. 1); (z) — специаль­

ная мероморфная функция (см. II. 2).

Из (1.2) следует условие равновесия включения

J(!а ( 0 dt = 0 (/

= 1,2, .

к).

(1-4)

Ч

Учитывая (1.4), квазпнерподичность дзета-функции

Венер-

Условия существования в <Z> средних напряжений <oifc>

(i,k =

= 1, 2)

приводят к системе уравнений относительно постоянных

Л\ и А2, решение которой дает

R e ^

<°П> + <g22> ■ U (l+ X )

Re6

(1-5)

Л -

- <а„> + 21 <<т12» +

В.

j

% (О К (/0 ~ t)d t + р; (t0) bjf q0 (t) dt + M {q0 (t)} =

Nv (1.6)

1

L

Здесь

t o ^ L j

( / = 1, 2 , . . . , k ) .

К (t0 -

1) = Re

(/„ -

t) -

[(t0 -

Ц V (^ - t )

-

6^(t0- t ) J },

ji/f

f*\\

Г я ( 1

+ к )2

( ^

- l J R

o f i i - R

o T

^

(*

w

M

(1° « > “

[ Т ( Г 3 2 5 Г 7 ----------- « - 2 x ) M.----------J J * *

(‘) й '

8я (1 — v)

E

— для ЛКМ,

U - M ( 8 v - 5)

-для пластинки с ребрами,

8л£б

С1 +

х) ^ п ) !’

Е з ~

2(1 + Vj)(Xj—1)*

=

2 (1 — 2х) К3 ~ Н)

~

1(1 + v) (3v

5) E jFj (t)

[ q0 (t )K (t 0 ~ t ) d t + M { q 0 (t)} = N s (t0)

(/ = 1 ,2 , ..;& ),

(1.7)

L

где

J M O т

f i b

w i

Остальные обозначения те же, что и в

(1.6).

После решения системы (1.7) совместно с дополнительными

условиями (1.4)

толщина ленты d j{t)

(площадь поперечного се­

чения стрингера F } ( t ) )

определяется по формулам

Ч

Ч

? .(» )* .

О-8)

*0

*0

При

о, (£),== Oj = const

приходим к задаче

о равпонапряженпой

ленте

(равнопапряженпом ребре).

(хг =

Если в пределах ячейки имеется лшиь одно включение

= 0, —l< :X i^ l) , то систему (1.6) можно

упростить.' Для

этого

воспользуемся разложениями

входящих в ядро

функций

£(*),

$>(t) и

(<) В ряды Лорана (П.1.11) и

(П.2.23).

Вводя безразмерные параметры

5

- Т -

ь - - § 7 >

(!•«>

приводим

(1.6)

к одному сингулярному интегро-дифференциаль­

ному уравнению вида

1

1

1

J - § § f - +

+

(1-10)

где

*© -£ (- *Г ад- .

j=0

л 0 =

[(2х — 1) Re 6j — Re Yi — % ( 1

+

*)a ]•

H = I “ al sin a,

14 = 4 "

+ d) Re A +3 -

(/ +

1 — *) Re А + г] ( x ) 3+2

(7 = 1 ,2 ,

. .. ) ,

(3 -4 v )(l+ v ) £ “^(6)

— для ЛКМ,

0 ( 0 -

4я/?б/

— для пластинки со стрингерами,

(3 — v) (1 + v) Е /^ 1 )

h =_ 1 + XКЗ — х) <о22> -

(1 + х) <огц>],

q(|) = q0(*i)r

Величины

g l

и glt определены в (П.1.11)

и (П.2.23)

соответ­

ственно.

Для включений с заданным законом изменения напряжений

HJI (|) получаем сингулярное интегральное уравнение

1

1

J y r f

+

| * < Ь - 9 « ( В « - * / ,( Ь ) .

b e ( - 1 .1 ) .

(1-11)

где ядро К(%)

определено в (1.10),

а правая часть имеет вид

(к + 1 )К

(6) 1-Я

/• ® - и -

* ( i + v ) f ; sis « / .

К уравнениям (1.10) и (1.11) необходимо присоединить до­

полнительное условпе

J« (9 < S = 0.

( 1. 12)

В предельном случае (o>i

°°, ©г-*- " )

из (1.10)

приходим

к уравнению для плоскости, усиленной одним ребром

[20].

В другой крайней ситуации, когда волокна смыкаются

(Я =

В этом случае имеем

о11 —

<рп> Q*+ *<*«>

(1-13)

1 + Q*

^22=<(Т22>. СП = <^12>»

причем Q* =

Е |©2 |/(i?5d1)

для ЛКМ

и Q* = Е |©, |б!{EXF^

для

пластины со

стрингерами. Усилие в стрингере определяется фор­

мулой

•Р = 1 ^

0 7 ( ^ п ) ~

v <а22>)-

С1-14)

2 I £ (i+ v ,)(l- 2 v ,)

(1.15)

g (6 № Q- ' M ' - ’ i K ®

'

Рис. 7.1.2—7.1.4 соответствуют гексагональной решетке

(шг —

= (Oi ехр (iJi/З)), рис. 7.1.5—7.1.6 — тетрагональной решетке

(©2 =

нормального усилия

по половине ширины ленты постоянной

Л

толщины di(|) = rfi при <0ц> =

Х-0,8

=

1,

<С22> — 0

для

различных

значений параметра Q.

Форма

сечения равнонапря­

женных

лент

при

|<Ti(|)l=5,

V|=0

и

E / E i=

0,1

приведена

А

иа рис. 7.1.2—7.1.4. Рис. 7.1.3

соответствует

растяжению-

/

ВДОЛЬ

ОСИ

Ох1

(<О ц> =

1,

<022^=0),

рис.

7.1.4 — растя­

А=0,2

жению ВДОЛЬ ОСИ Ох2

(<022> =

= 1, <Оц> = 0). В силу симмет­

рии на рисупках показапа толь­

0,2

ко

четверть

сечения

ленты.

В и д н о , что

при увеличении

от­

носительной ширины

ленты

%■

ее форма приближается к пря­

0,2

0,4

0,6

моугольной *).

Форма

сечения

Рпс. 7.1.2. Распределение погоппого

равнонапряженных

леит

для

тетрагональной

решетки

при

пормального

усилия Р* по

половп-

<Оц> =

1,

< С 2 2 > = 0

II

<022> =

1 ,

пе ширины ленты постоянной тол­

щины d| в гексагональной решетке

<Оп> = 0

указана

на рис. 7.1.S

и 7.1.6 соответственно.

Приближенная схема анализа ЛКМ. Структура ядра в урав­

нениях (1.10),

(1.11)

дает возможность

разыскивать

решения

в ( I ) - 2

( В . « = -г-

0 « « < 0,5.

(1.16),

0

0,2

0,4

0,6

0,8

А £

Рис. 7.1.6. Форма

сечения равно­

прочной лепты п

тетрагональной

решетке при <ст22> = 1, <стп> = 0

О

0,2

0,4

0,6

0,8

А£

?0(Е)4

.

CO jiM ,

Г (7, (6) dl =

1

1

1

Л0 jfefc (&><S,

№)<*!. (1-Ш

-J1 6 - * о

-1

-1

“I

9, (s) dl

л „ , [Е(72(1)^ + Л1

f(S - £ o

=

(А- - °, 1.

- ■-)-

(1.18)

—1

Ниже нам потребуются формулы [2, 13]

f / Т ^ Р ф М ^ - . - n g g n f a ) ,

<и 9 >

■ J

х — х

п

х 0

Г

т

(« )Л *

i

V T = 7

nHn(x0),

H0(x) = - x ,

Нгт (*) = хЯ2ж_х (*),

Я 27П_х(*) = 2

^ - a v ) ! ? ”

-

* *

Г в*"1- 1*

л

Г

*2mrf*

(2m- 1 )!! я .

л 0

ч

. А Т Г ?

'

в-»|

Здесь Gn(z)— главные

части функции (p(z)Vl — z2 в

ее

полюсах,.

z = ah — полюсы функции cp(z)fz2— 1 впе отрезка [—1,

1],

вклю­

1

над, | („к -1,

(1.20)

*Р t*.) — — Г7=— S

( 1 .2 1 >

Интезгрпруя (1.21) по to

в

пределах от —1 до 1, паходпм

1

с =

|

ф(г)<й.

(1.22)

На основании приведенных сведений, ограничиваясь в разло­

жении (1.16)

степенями б не выше четвертой, получаем из

(1.17)

У .

_

■4 U

f o ( S > - V \ - €

q A l)~ 2/ 1- 6*’

( 1 .2 Э ).

[бЛх!3 +

( а * - 4 - Лх)

?, (£) = д9(!)

= 0.

Подставляя (1.16) с учетом равенств (1.23) в формулу (1.8)',.

определяем форму сечения ленты

f s ® „

(l + ^ е * +

[2А .Р +

(Л|+2,5Л1)]-^ -},

(1.24>