книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры
..pdfТак же как и ранее, считаем, что ребро непрерывно скрепле но с пластинкой, расположено симметрично относительно ее средшшой плоскости и работает лишь на растяжение — сжатие.
Аналитические функции, описывающие напряженное состоя ние в матрице, представим на основании (7.12) в виде
|
|
( * = 1 ,2 ) , (7.13) |
|
|
|
- V-г ' |
|
(j(s) — погонпое контактное |
усилие, передающееся от ребра |
к |
|
пластине, tk = Be t + p* Im t, |
t^ L , |
ds — элемент дуги контура |
L. |
По построению функции |
(7.13) |
обеспечивают выполнение на |
|
границе полуплоскости х2 = 0 краевых условий 022= 012 = 0 неза висимо от выбора д($).
Условие совместности деформаций пластинки п ребра на L таково:
|
|
|
|
( „ - ( W e i , |
(7.14) |
где |
|
|
О О |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N (so) = f q (s) ds, N (—1) + P = 0, |
|
|||
E 0, /'0, |
N (s) — соответственно |
модуль упругости, площадь попе |
|||
речного |
сечения |
ребра и усилпе в нем, е(г) — деформация пла |
|||
стины вдоль L, s |
ж so — координаты вдоль оси ребра. Деформа |
||||
цию в пластине представим в виде |
|
||||
|
e(t) = 2 Re |
2 |
а* (ф) Rk (г|>) Фк (tk), |
(7.15) |
|
|
|
|
к=1 |
|
|
где ак(тр) = (ДаCOS I|>— sin ф, |
Rk(i|:)= qk cos -ф- pKsin -ф, a |
ф — угол |
|||
между ребром и осью Охч. |
|
|
|
||
Подставляя в |
(7.15) полусумму предельных значений функ |
||||
ций (7.13) п привлекая условие совместности деформаций ребра н пластинки (7.14), приходим к сингулярному пнтегро-дпфферен-
цпальному уравнению |
относительно |
контактного усилия q(s) |
||
2 Re 2 |
R» (* ) fa» (* ) 2 |
«Р .А . f r f f |
- + |
|
k = l |
l |
m=l |
L |
lh0 |
16 9. И. Григолюк, Л. А. Фильштлиский |
241 |
К уравнению (7.16) необходимо присовокупить дополнитель
ное условие (равновесия ребра) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
[ |
q (s) ds = |
— Р . |
|
|
|
|
(7.17) |
|||
|
Е сли |
ребро не выходпт па границу |
полуплоскости, |
то |
кон |
||||||||||
тактное усилие |
q(s) имеет корневые особенности |
на концах L. |
|||||||||||||
Анализ влияния границы можно провести обычным образом. |
|||||||||||||||
|
Рассмотрим наиболее интересный случаи, когда нагруженный |
||||||||||||||
конец ребра выходит на границу полуплоскости. Тогда |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
t = |
i(l cos it + se**), |
to = i(l cos i|>+ |
soe,’,,), |
|
(7.18) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
th — l[ih cos ij) + sah(ij)), |
ffcO= ^cosT|: + soMiJj), |
|
|
|
|
|||||||||
н уравнение (7.16) можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
W |
|
+2* i |
*4 * |
|
^ |
- 4 *®*-°-(7Л9) |
||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ак ("Ф) Rk (Ф) |
! |
_ |
2яlh |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
" |
«ТоВт |
’ |
- |
TV |
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ат №) |
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = |
|
2 Re 2 |
8kRh ('Ф)» |
|
|
s0 = l ^ t |
- K |
^ |
C |
l , |
|
|||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
» ( * ) - » © • |
|
|
|
|||
|
|
|
|
am W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наряду с подвижной особенностью типа Коти, интегральное |
||||||||||||||
уравнение |
(7.19) имеет неподвижную особенность |
в точке |
| — |
||||||||||||
= £о = —1. |
Уравнения |
подобного |
типа |
описаны |
в |
[7, |
13, |
23, |
|||||||
25, |
27]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения порядка особенности функции о>(£) в точке |
||||||||||||||
%= —1 положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < R e p < l , |
|
|
* (7.20) |
||||
где ©о(£) |
ограничена в окрестности точки £ = |
—1. Согласно |
[12] |
||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д(6) |
d i- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Js — io |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.21) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
|
. < 0 « |
(1 + 5 / |
|
|
|
|
+ |
C2 (io)i |
|
||||
|
|
|
.(У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
причем lim (l + 6)*c,U )— 0 |
( i - 1 . |
2). *Р И |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляя вместо интегралов, фигурирующих в (7.19), их асимптотические выражения (7.21), приходпм после обычной в таких случаях процедуры к трансцендентному уравнению отно сительно 0
|
|
2 |
|
|
ctgnp + |
2 Re |
sin яр |
0. |
(7.22) |
|
|
|
|
|
Уравпепие (7.22) |
не может иметь комплексных |
корней, так- |
||
как из равенства Im ctg z = 0 следует, что Im z = 0.
Численный анализ этого уравнения показал, что при 0 ^ ф < < я/2 оно имеет вещественные корни в интервале 0 < 0 < 0,5.
На рис. 7.7.3 приведены графики 0=р(ф) (ср — угол накло на ребра к оси Ох|) для текстолита (кривая 7), стеклопластика
О
Рпс. 7.7.3. Зависимость порядка особенпости в контактных усилиях на выходящем к свободной границе копце ребра от его ори ентации
Рпс. 7.7.4. Распределение вдоль реб ра контактных усилий и усилия в ребре для пластиики из текстолита
АГ-4С (кривая 2) и фанеры (кривая 3). Механические характе ристики указанных материалов содержатся в табл. 3.1.1.
На рис. 7.7.4 приведены элгоры распределения вдоль ребра контактных усилии q(s) — ®(%)JP (кривая 1 соответствует значе нию А, = 0, кривая 2 — X= 0,4) и усилия в ребре N(\)l(Pl) (кри вая 3) для пластинки из текстолита при <р = 90°.
Расчеты показывают, что усилие в ребре слабо зависит от его ориентации. Контактные усилия, особенно в концевых зо нах, существенно зависят от ориентации ребра п его относитель ной жесткости. В достаточно малой окрестности любого конца контактные усилия неограниченно возрастают, однако в силу того, что порядок особенности на выходящем к границе концеребра ниже, зопа проявления этого эффекта здесь меньше.
Порядок особенности 0 существенно зависит от ориентации ребра. Так, при угле наклона ф « 45°—60° концентрация напря жений исчезает почти полностью (величина 0 близка к нулю).
16* |
243- |
§ 8. Модели КМ, армированных тонкими лентами. Обзор результатов
По-впдпмому, впервые исследование ирочпостиых и жесткостиых свойств КМ, армиропаниых лентами, провели П. Чен и Л. Нильсон ("21]. Опи рассмотрели изотропную среду, армпроваппую регулярпой системой лент прямоугольного сечении (размером d X 0 > применив метод конеч ных злемептов. Из результатов этих авторов следует, что цри отноше ниях к = d/l > 20 макромодули практически пс зависят от к. Этот вывод свидетельствует в пользу модели контакта по линии.
Исследование напряженного состояния и жесткостпых свойств КМ, армированных тонкими лептами, с использованием модели контакта по ли нии провели методами теории регулярных упругих структур В. Н. Долгих
и Л. А. Фплыптинскии [4, 5]. |
В. [4] |
изучены КМ с изотропной, а в |
[5] — |
с анизотропной матрицами. В |
статье |
В. Н. Долгих [6] рассмотрен |
вопрос |
о выборе равнопрочной армирующей лепты, здесь же предложена прибли женная схема представления решения в виде ряда по малому параметру.
Обсуждаемые вопросы тесно евлзапы с так называемыми задачами включения. Обзор исследований и. результатов в этой области можно
найти |
в работах Э. И. Григолюка и В. М. Толкачева [3], А. И. Налаидпя |
£9], В |
С. Саркисяна [15], В. Койтера [23], Е. Стерпберга [25]. |
П р и л о ж е н и е 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В книге систематически используются эллиптические функции Вейерзптрасса [10]
|р(г)=^ '+ 5 ( ( ' - п 2 - ? } ’
|
U>)“ V + 2 |
|
+ T + |
|
( 1) |
||
|
|
771,П 1 |
|
> |
|
|
|
|
a (z) = *П#(l - |
|
exp ^ |
+ ^з-j, |
|
||
|
P = 771CO1 + TZ(i>2 |
(771, П = 0, |
•••)• |
|
|||
Здесь |
(0) и co2 (Im(cos/coi) > 0) — осповпые периоды, штрих пад симво |
||||||
лами суммирования |
и произведения указывает на то, что член, соответст |
||||||
вующим значениям m = 0 и л = 0, опускается. |
|
обладающая свойст |
|||||
Функция S' (z) — четная эллиптическая функция, |
|||||||
вом периодичности по основным периодам coi и со2: |
|
|
|||||
|
IP (z + |
сох) — fS° (z) = 0, |
Р ( Н - « ,) - Р ( * ) |
= 0. |
(2) |
||
Таким |
образом, |
IP (z) инвариантна |
относительно |
группы |
трансляции |
||
Т (г) = z + |
P, она принимает все свои значения в фундаментальной ячейке |
||||||
(параллелограмм периодов, трансляциоппый элемент). |
|
|
|||||
Ниже под осповпой фундаментальной ячейкой П0 будем понимать па раллелограмм периодов, содержащий внутри себя пачало координат.
Эллиптическая |
функция |
IP(z) |
является решением дифференциального |
||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Р' (z)]2 = |
(z) — f Jp (z) + |
g*, |
(3) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
V '/2^4 |
|
X ' f 2)' |
* |
15 |
|
* |
35 |
|
|
*•= |
||
Si = |
j e v |
S* |
=16^6 *4 = |
(pj ’ |
1*7 • |
||||
Дзета-функция £(z) связапа с фупкцией IP(z) соотношением |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
— |
P(*)- |
|
(4) |
Интегрируя равенства |
(2), учитывая (4) и нечетность £(z), получим |
||||||||
£(z + |
© i ) - £ ( z ) |
= S t, |
£(z -f- ©г) — E(z) = |
(5) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ,= 2 E f - J ) .
Функция, удовлетворяющие соотношениям (5), называются квазипериодическими. Константы б| п б2— так называемые циклические веса дзе-
245
та-функцип Венерштрасса. Опи связаны между собой соотношением Ле жандра
|
|
|
|
6i<i>2— 62<0i = 2ni. |
(6)- |
||
Функцнп |
(z) n |
£ (z )— мероморфпые аналитические функции, сигма- |
|||||
функция |
о (s) — целая |
аналитическая функция. Имеет место равенство |
|||||
|
|
|
|
^ |
In а (г) = £(г). |
(7). |
|
Учитывая |
(7) |
и нечетность а (з), находим, интегрируя |
(5), |
||||
|
|
а (г + |
со ) = |
- о (г) ехр |
бх (г + -j-j |
, |
|
|
|
|
|
|
Г |
/ |
(8): |
|
|
• ° ( * + ® а) = |
“ |
+ |
|
||
Для вычисления функций Венерштрасса весьма удобно использовать тэ |
|||||||
та-функции Якоби |
|
|
|
|
|
||
|
61 (и) = i |
2 (— l)n-tf(w °’3^" exp [in (2я — 1) а], |
|||||
|
|
б2(1’) = |
2 |
7(а-°,5)2ехр[{я(2га — 1)у], |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ДО- |
|
|
®з (v) = |
2 |
|
exp (2innv), |
|
|
|
|
64 М = |
2 |
M |
) V * ехР (2^ну), |
|
|
|
|
у = |
Z |
|
т = |
|
|
|
|
— ,<7= е х р (£ л т), |
|
||||
Ряды в (9) быстро сходятся благодаря наличию множителя qn . Соответствующие функции Венерштрасса выражаются через тэта-функ
ции следующим образом: |
|
|
|
|
|
01 (у) |
/ V ) |
||
‘ (Ж)вв* в ^ |
” Р № |
7 ' |
||
|
|
1 |
0^(у) |
(io> |
^(Z) = 6jV-\-— |
Qi{vy |
|||
|
|
i |
K (o )-e 4 (y) I 2 |
|
|
f |
(0) |
, |
d |
1 |
ж |
- |
|
* T eiW - |
З со ^ м |
|
|
||
— |
[» }<°>+ Ч (o)]- |
<f w = f k (*>• |
||
246
В пекоторых случаях полезно использовать разложения эллиптических функций и производных от них в степенные ряды
jf>(fc) (Л) |
(_ 1 )Л |
|
|
(11) |
||
|
|
|
||||
(* + |
1)1 ” |
2*+2 + |
|
(А— 0,1,2, |
||
где |
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft |
[i , / |
^fc+ljf* + f + |
1)! gft+j+g |
л + />1. |
||
г* ,-Ч + ( |
« |
J /I (к + 1)12*+!+» |
+ |
|||
г2° = 0, |
g0oh = g2k= ='£ ( у ] 2к, |
4 + 1 = 0 (А>2), |
||||
Р = пт 1 + |
ге©2 (m, п = 0, |
± 1 , |
± 2 , ...), |
|||
|
|
|
ipW(2)=^ |
S>(z)- |
|
|
Очевидно, ряды в (И ) абсолютно сходятся в круге \z\ < Я 0, где А,0 — расстояние между двумя ближайшими конгруэнтными точками.
Для вычисления копстапт gn следует воспользоваться рекуррентным соотношением
ft—2
(* ~ 3) (2к + 1) ек = 3 2 V f t - ;’ ск = (2* ~ « ^ft- |
(I2) |
1=2
Здесь все константы ga, начипая с к = 4, вычисляются через g4 и g*. Для правильных решеток значения g, приведены в табл. 1 я 2.
|
Т а б л и ц а 1. |
Значения |
gj для гексагональной решетки |
||
|
|
(©! = 2, |
ю2 = 2 exp (in/3)) |
|
|
к |
■ |
2 |
3 |
4 |
>5 |
|
|
|
|
|
|
|
5,863032 |
6,009640 |
5,999718 |
6,000012 |
6,000000 |
Остальные константы gj = 0.
В краевых задачах, связанных с неоднородным бигармоническим или лолигармопическим уравнением, приходится использовать функции, разность значений которых в двух соседних конгруэнтных точках представляет собой многочлен. Ниже мы рассмотрим две такие функции, которые использу ются в гл. 2.
Введем функции
v(z) = |
lnz + 2 |
М |
1 ~ Р ‘) + ? ' + яр5"}' |
|
|
|
|
л»,л |
I |
J |
г |
з |
(13) |
i (z) = |
zInz- Z + |
2 |
{(г“ lnf1 - F ) “ z+ 2В + бР5-}* |
|
||
247
|
Т а б л и ц а |
2. |
Значопня g- |
для тетрагональной |
решетки |
||
|
|
|
|
(©! = 2, |
ш2 = 20 |
|
|
ft |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
g4k |
3,151211 |
4,255773 |
3,938849 |
4,015695 |
3,996097 |
4,000977 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft |
7 |
8 |
|
9 |
10 |
> « |
|
B4k |
3,999756 |
4,000061 |
3,999985 |
4,000004 |
4,000000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остальные константы |
gj = 0. |
|
|
|
|||
В силу теоремы Миттаг-Лефлера |
ряды.в (13) сходятся равномерно в- |
||||||
любой замкнутой области, не содержащей точек з = |
Р. |
|
|||||
Очевидно, эти функции связаны с дзета-функцией Венерштрасса соот |
|||||||
ношениями |
|
|
|
|
|
‘ |
|
-S -v (*)= C W . -Jr 6 М
Отсюда, с учетом (11), получаем разложения
“ |
* |
|
,АЧ! |
|
g2j+2 |
2 |
|
у (г ) = 'п г' 2 ^ |
т |
|
|
Й (2/ + 2).2^+2 |
|||
|(з) = г Inг — з — V |
- |
g2j+22 |
|
|
|||
|
Д |
(2/ + 2)(2/ + 3)2*i+* ‘ |
|
Интегрируя соетпошення (5) и учитывая четность -v(z) — In
(14)
(15>
получаем
v (z + |
wi) - v W = ni + 6i (* + |
Y ®i)‘ |
|
|
(16) |
v (3 + |
c)2) - v (з) = ni + 62 + |
i- a2j, |
причем
Аналогично находим
i (Z+ (Dx) -| (z) = A (Z+ CO,)+Z niz +
(17)
£ (z + ©2) — £ W = Ф" (г + “г)2+ “** +
Из (15) имеем
£ (z )+ £ ( - * ) = -> я з .. |
(18) |
Отсюда, учитывая нечетность функции | (z )— zln z, определяем кон станты li и |2
Е. = 25Ш |
+ Т |
6^ |
|
5==2E(Jr ) |
|
(19) |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
П р и л о ж е н и е 2 |
|
|
|
||||||
|
|
НОВЫЕ ФУНКЦИИ iPj (z) |
|
|
|||||||
Мы вводим здесь систему специальных мероморфпых функций [8], иг |
|||||||||||
рающих важную роль при построении теории регулярных структур. |
|
||||||||||
Рассмотрим выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
« • *(* > = 2 ’ (*-Р )а |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функции (1) определены и апалитичны при любом z Ф Р = ШВ| -}- п®2 |
|||||||||||
(т, п = ± 1 , ± 2 , |
. .. ). В точках z = |
Р они имеют полюсы второго порядка. |
|||||||||
Например, при i |
= 1 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ г)= Ж |
к - |
ру |
|
|
|
|
|
|||
Для изучения свойств функции (1) |
продифференцируем функции |
(z) |
|||||||||
.последовательно к раз. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(*) = ( - l)h (А+ 1 )! 2 |
----- (*> |
* + |
!.« = !. 2 . - .) . |
(2) |
|||||||
|
|
|
(z - |
|
P)h+- |
|
|
|
|||
]fW (*) =*><«(*). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.Далее, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ <ov) = ( - l ) 'l (A+ 1)1 2 |
* 1(г + |
“ v) ~ |
•Н |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
( - |
l)ft (Л + |
1)! 2 |
( Р + < ? |
|
||
|
|
|
|
(г - Р ) н+2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрывая бином в правой части (3), находим |
|
|
|
||||||||
|
( * |
+ ® v) - |
> (Z) = |
2 |
< Х |
& 1 - (z ), |
|
(4 ) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
i=x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 = Т Щ = Я ( t > H - l ; v = l , 2 ; i = l , 2 , . . . ) . |
|
||||||||||
Из определения |
функции jp(z) |
u 5Pi |
(z) |
следуют условия симметрии |
|
||||||
|
|
V\h) ( - |
z) = |
( |
- |
l ) i+ fc|p(fc> (z ). |
|
(5 ) |
|||
Учитывая их, находим, положив в (4) |
|
z == —0,5шу. |
|
|
|||||||
[1 - ( - 1)Л+*] s f > |
= |
2 |
|
(~ v k+j+icH v &{ (-у1)- |
^ |
||||||
249
Отсюда получаем связи между значениями введенных функций в полупе-
рнодах
2i?(2h+i+l) |
= 2 ( - i |
4 = 0 , 1 , 2 , . . . ) . (7)
В час1постп, прп i = 1 имеем связи в полупериодах
25,(24 ^ j = |
( |
v |
= 1, 2; 4 = 1 ,2 , . . . ) . |
Можно показать при помощи (7), что соотношения (4) справедливы и для случая к = i. Соотношения (4) будем называть обобщенными условия ми инвариантности относительно группы трансляции T(z) = z + P. В част ности, при £ = 1 получаем из (4)
(г + (ov) - |
(г) = |
(з) (v = 1, 2). |
(8> |
Интегрируя (8), находим
* х(* -1- %) - f x(2) = |
(2) + Yv. |
(9> |
Полагая в (9) z = —0,5tov и учитывая условия симметрии функций определяем постоянные fv
,10)
Беря питеграл от функции 8^ (z) по контуру параллелограмма перио дов П0, учитывая ее регулярность внутри П0 и формулу (9), приходим к соотношению, связывающему fi и Ъ>
Y2®1 — = 6l(l)l—62(Dl, <11>
вполне аналогичному соотношению Лежандра в теории оллпптпческих фуНКЦПЙ.
Функция JPj (2) систематически используется в книге при построения теории изотропных регулярных структур. Рассмотрим ее несколько под
робнее. |
|
|
IPj ( 2) и функциями Вейерштрасса |
1Р(2> |
||||
Для выяснения связи между |
||||||||
и £(z) введем функцию |
|
|
|
|
|
|||
|
/ (z) = с# ;(z)+ ргГ (*)-£ (*) Г |
(*)• |
(12> |
|||||
В силу равенств |
(8), |
(П.1.5) и периодичности IP' (2), находим |
|
|||||
/ |
(2 + |
CDX) — / (2) = |
((XWj + |
|
|
IP' (z), |
(13> |
|
/ (z + |
юг) - / (2) = |
(аш2 + |
PCD2 - |
б2) Ip' v*). |
||||
|
||||||||
Из (13) следует, что условия периодичности /(z) |
имеют вид |
|
||||||
|
awI + pwi = |
61, 0Ш2 + Р©2 = |
б2. |
(14> |
||||
Отсюда |
|
|
|
_ |
|
_ |
|
|
|
|
2я£_____ |
68<°1 — 61т « |
(15> |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, /(z) — четная |
эллиптическая |
функция. Согласно |
(12) |
|||||
она имеет особенность 2z" 4 - 2pz- 2 в точке 0 и во всех конгруэнтных нулю
250