книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

Иа основании полученных в рядах решений двоякопериоди-' ческих задач исследуем здесь жесткость симметричных решеток с круговыми отверстиями (в которые могут быть впаяны упру­ гие инородные ядра).

Очевидно, общпе формулы (1.7) для осредпепных жесткостных параметров остаются в силе, следует только функционал а

ент Пуассона п модуль сдвига материала пластины, <i?i>, <Ez>, <Gi2> и <V2i^ — эффективные: модули упругости в направлении осей Охь Охг, модуль сдвига и коэффициент Пуассона в направ­ лении Ох2 (от силы, действующей в направлении Ох\); К р — коэффициент перфорации, равный отношению площади отвер­ стия или включения к площади параллелограмма периодов.

В некоторых случаях удобно пользоваться комбинациями ос-

') Ряды (1.6.10) дают только симметричные относительно координат­ ных осей решения, поэтому здесь всегда <ai2> = 0.

5) Формулы (2.2) справедливы для решеток со свободными от сил от­ верстиями, а также для случая, когда в отверстия впаяны абсолютно жест­ кие или упругие инородные ядра. При этом входящие в ппх коэффициенты должны определяться пэ решении соответствующих краевых задач.

гексагональной решетки изотропна и имеет два макропараметра

<Е> и <v>. Получаем из (2.3)

ров гексагональной решетки со впаянными в отверстия инород­ ными ядрами. Параметры упругости пластины и включений рав­

зависимости от тех же параметров представлены на рис. 4.2.2. На рис. 4.2.3, 4.2.4 приведены кривые величин <ЕУ1Е и <v>/v

Из рис. 4.2.4 видно, что эффективный коэффициент Пуассо­ на <v> с увеличение Я. весьма быстро растет и может стать зна­ чительно больше 0,3. Определим предельное значение <v>. С этой

периодически повторяющийся криволинейный треугольник (рис. 4.2.7, а) и подсчитаем (в пределе) его поперечную деформацию. Мы можем здесь выделенный треугольник заменить системой трех стерженьков (рис. 4.2.7, б) . Тогда общая поперечная дефор­ мация элемента АВС будет складываться из деформации, свя­ занной с растяжением стержня АО, и из деформации, связанной с его изгибом.

') В расчетах полагалось v = Vi = 0,3, т. е. G(Gt = Е/Е\.

132

Рис. 4.2.1. Кривые относительного эффективного модуля упругости при все­ стороннем растяжении Q для гексагопалыгон решетки с круговыми ядра­ ми в фупкции относительного размера области Я = 2Я/а>| при различных отношениях EjE\

Рис. 4.-2.2. Кривые относительного эффективного модуля при чистом сдвиге для гексагональной решетки с круговыми ядрами в зависимости от

Я = 2Я/Ш1 и ElEi

133

Рис. 4.2.3. Графики <£>/£ для гексагональной решетки с круговыми ядра­ ми в функция от А, = 2/?/toi п EjE\

<vy/v

Рис. i.2.4. Графики относительного эффективного коэффициента Пуассона <v)/v для гексагональной решетки с круговыми ядрами в зависимости от А = 2Я/а>1 и E/Ei

13^

Имеем

(2.9)

Результаты расчетов для квадратной решетки со впаянными в отверстия инородными шайбами приведены на рис. 4.2.8— 4.2.15. На рис. 4.2.8, 4.2.9 даны зависимости величин fl и й *

135

от Я. Графики <Е>/Е, <v>/v, <G)/G представлены па рис. 4.2.10— 4.2.12 соответственпо. На рис. 4.2.13—4.2.15 показана зависи­ мость этих величин от отношения EjE\ при различных значе­

ниях Я.

"Укажем теперь некоторую приближенную схему вычисления осредненных упругих параметров симметричной решетки (не

Рис. 4.2.7. К выводу предельного зиачеппя эффективного коэффициента Пуассона в гексагональной решетке с круговой перфорацией

обязательно правильной). Она заключается в том, что в точные формулы (2.2) подставляются приближенные значения входя­

щих туда величии а\г, р2г. Последние определяются в явном виде с точностью до Я8 из системы (1.8.14) и первого соотноше­ ния (1.8.15).

Имеем

А2 = А°2 + 0(Х*), а 2 = а% + О (Я8), р2 = р§ + 0(Я8), (2.10)

где

+ ( а г . - п ^ * « ) «!**], «2 -

В качестве примера приведем расчет осредненных параметров для прямоугольной решетки с периодами ол = 2, ©2 = 4i.

1. Для вычисления констант решетки g± и g& воспользуемся формулами (П.1.11)

Затем по рекуррентным соотношениям (П.1.12) находим кон­ станты g2k{k = 4, 5, ...) , а по формулам (П.2.25) — величины

* $ + i(A = 2, 3, ...).

136

Рис. 4.2.10. Графики (ЕУ/Е для квадратпой решетки с упругими ядрами в функции от Я, = 2Я/С01 и Е/Е\

Рис. 4.2.11. Графики <v>/v для квадратной решетки с упругими ядрами * зависимости от X = 2R/(oi и EjE\

138

Рис. 4.2.12. Графики <G)/G для квадратной решетки с упругими ядрами в

функции от К = 2/?/(0i и Е/Е\

<v>/v

139

2. По формулам (П.1.11), (П.1.5), (П.2.10) и (П.2.24) находим

4.Далее вычисляем величины

140