книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

§6. Некоторые приложепвя теории гармонического регулярного поля

Продольный сдвиг лиленно армированной среды (композици­ онного материала) с анизотропными (изотропными) компонен­ тами. Рассмотрим анизотропную среду, армированную двоякопериодической системой групп волокон, каждое из которых может быть в свою очередь армировано несколькими инородными во­ локнами так, чтобы поперечное сечение такой среды имело

описанную в § 1 структуру.

Если материал каждого компонента структуры имеет плос­ кость упругой симметрии, перпендикулярную оси волокна, то паиряженпос состояние среды при действии средних напряже­ ний <Пц>, <0i2>, <022>, <Oi3>, <02з> распадается на два незави­ симых двумерных состояния — плоской деформации и продоль­

ного сдвига.

В атом последнем случае смещения Щ = U2= 0, из = щ (хи х2);

(6.1), приходим с учетом (6.2) к однородному дифференциаль­ ному уравнению второго порядка относительно из

Здесь ф (z) — произвольная аналитическая функция переменной z.

181

Сдвиговые напряжения на площадке с нормалью п (cosi|), sinvf). очевидно, имеет вид

Переходя теперь к описапнон в § 1 регулярной структуре» потребуем, чтобы в ней имели место средние сдвигающие напря­ жения <01з») и <02з>. Это приводит к условиям

Наконец, условия сопряжения компонентов среды по пере­ мещениям из и усилиям 0„з, очевидно, совпадают с краевыми условиями (1.5), в которых необходимо положить gh(t) = 0 ,

gkm(t) = 0 1).

Таким образом, продольный сдвиг многокомпонентной сре­ ды, поперечное сечение которой имеет описанную в § 1 регу­ лярную структуру (при условии, что в среде имеют место сред­ ние напряжения (013) и <02з^), полностью описывается теорией регулярного гармонического поля.

') Предполагается, что между компонентами среды соблюдаются усло­ вия идеального контакта.

182

При этом необходимо иметь и виду следующие формулы пе­ рехода:

Аналитические функции, описывающие перемещение ц3 в раз­ личных компонентах среды, задаются интегральными представ­ лениями (1.12). Фигурирующие в пих плотности определяются

отпосятся к матрице.

Результаты расчетов контактных сдвиговых напряжении и макропарамстров <aih> для армированных сред с изотропными компонентами по несколько более простым алгоритмам приведе­ ны в гл. 6.

Поперечная теплопроводность армированных сред (КМ). Пусть анизотропная среда, армированная копгруэптнымп группа­ ми ппородиых анизотропных волокон (которые в свою очередь могут быть армированы инородными волокпамп, так чтобы поперечпое сечеппе такой среды пмело описанную в § 1 структуру), пронизывается нормальным к оси волокна стационарным тепло­ вым потоком со средними значениями в каждой ячейке <qi> и

q2 — — ^'21^1^' — ^22^2^i A M ~ ^п^аг ^та ^

где h j — тензор теплопроводности, причем в силу принципа сим­ метрии кинетических коэффициентов Х\2 = Х2\\ Т = Т (хи х2) — температура. Очевидно, в каждом из компонентов структуры принимают свои постоянные значения, а температура описывает­ ся различными функциями {Т-, Тк, Т ^ ).

183

температур и, следовательно, к формулам (1.7).

Потребовав существование в среде средних потоков <qi>, <g2>, приходим к дополнительным условиям (1.10). Наконец, усло­ вия сопряжения компонентов среды по. температурам и потокам приводят к краевой#задаче (1.6).

Связь между абстрактным гармоническим полем, продоль­ ным сдвигом и поперечной теплопроводностью армированной среды устанавливается формулами перехода

Результаты расчетов осреднеппых теплофизических характе­ ристик армированной среды представлены па рис. 5.6.1—5.6.4. Материал матрицы и включений изотропен в смысле теплофизи­

ческих свойств, причем А»11А п = 20 (А,пД п — коэффициенты теплопроводности матрицы и волокон соответственно). В преде­ лах ячейки имеется одно волокно эллиптического поперечного сечения с полуосями Ri и R 2, ориентированными вдоль осей

Х\ И %%•

На рис. 5.6.1, 5.6.2 покаэапо изменение величин 4п/<4п> и

ние которого имеет описанную в § 1 структуру, пронизывается перпендикулярным оси волокна стационарным электрическим

184

185

тенциала поля в каждом из компонентов структуры справедли­ вы формулы (1.7).

Характеристическое число |х определяется формулой iУ Ш —е

а условия квазипериодичности ср (яо) — (1.10).

Электрические краевые условия на границах раздела диэлект­

Средние значения вектора напряженности электрического по­ ля задаем формулами

<а > - <«,/>=

(6.23)

86

Таким образом, поперечное электростатическое поле в арми­ рованных диэлектриках описывается изложенной выше теорией

регулярного гармонического поля. Уравнение состояния макромодели имеет вид

< * „ > - 8 « [ l - £ R » ( i ) ] .

Формулы перехода, например, к продольному сдппгу армировапной среды таковы:

Потенциальные течения в анизотропных пористых средах. Пусть имеет место потенциальное плоскопараллельное течение жидкости в кусочно-однородной анизотропной пористой среде, поперечное сечение которой представляет регулярную область

где a ih— коэффициенты фильтрации, а « > 0 и a i2 = a 2i, р — плот­ ность жидкости. .

Обратный закон Дарси имеет вид

187

Г л а в а 6

ТЕОРИЯ РЕГУЛЯРНО АРМИРОВАННОГО ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА

С ИЗОТРОПНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ СТРУКТУРЫ

Вес расширяющееся применение композиционных материа­ лов вызвало к жизпи методы расчета, позволяющие учитывать структурную неоднородность таких материалов и в то же вре­ мя не требующие решения краевых задач для областей очень большой связности. Одной из п о я в и в ш и х с я на этих путях расчетных моделей является модель регулярно армированного композиционного материала, геометрия и папряженпос состоя­ ние которого полностью определяются микроструктурой фунда­ ментальной ячейки (трансляционного элемепта).

Пусть упругие и геометрические свойства трехмерной изо­ тропной кусочно-однородной среды, отнесенной к некоторой пря­ моугольной системе координат О х&^х3 с единичными направляю­ щими векторами эц Э , э3, неизмеппы в направлении 0х3. Распре­ деление упругих и геометрических свойств в плоскости Ох2 предполагаем двоякопериодическим.

Как следует из результатов [1, 2], важную роль при построе­ нии осредненных уравпепий, описывающих упругое поведение такой структуры, играет двоякопериодическое решение, когда компонента деформации е33 не зависит от всех координат, а ос­ тальные компоненты деформации— от координаты х3.

Такое напряженное состояние распадается на два линейно не­ зависимых [18]: обобщенную плоскую деформацию

Он 012 — 022 — 033 = 0.