книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

Ф (2) = cp'(z)

<qn> +<q22>

aor- +

2

a2fc+2\2,l+-2

S>(2ft)(z)

4

+

I)-1’

k-0

(2A+

Im oc2;t = Im р2Л =

0

(к =

0. 1, . .. ) ,

V W - '!>'W = <Ji8>7 <°">+ РД* +

(6.1 0 )

+

2

Paft+2^2,t+2

( 2)

|p(2ft+l)(^

-

2

<

w

afc+2

(24 +

1)!

(24 + 1)! •

ft=0

fc=0

Постоянные его,

Po

определяем из (6.5),

принимая

во

впима-

пно, что в пашем случае А = аоХ2,

В = $$.2,

А0 = агк2,

В 0 =

Имеем

ею — ЛГоаг + ^Рг,

Ро = К.2<Х2 + ЛГ0Р2,

(6.11)

где

v

п

тг

2я

„

я

Vi — б,

+

=

, . .

7 -

К 1=

2 7 ’

К * =

^ 7

"

Т '

7

coi |©21sin а,

Правую часть в силу силовой симметрии представим в виде

ряда Фурье

/ (* ) -

S

Aihe*m ,

Im А2и =

0.

(6.12)

Подставляя в краевое условие (6.9) ряд (6.12) и

соответст­

вующие ряды Фурье функций (6.10),

приходим

к

соотноше­

ниям *)

р2 [1 - (1 + е) ХЧС,] =

(1 +

е) Х2а 2К , - А ' 0 +

+

(1 + е ) 2

€ы +2 ( у )

« 2* 4-2.

(6.13)

Р2Я-4 = (У + 3) C*2j+2 +

у

(2/ +

24 +

3)1 g2i+2ft+4 I х

+

£

0

(2/ + 2)1 (24 + 1 )1

( д )

*к+я

А - ъ - * '

^ ; =

л - ( 2 + 1) <|,и>^ -<1,?г>

</=о,

1, . . . )

a 2j+2 = 2 a5tha 2fc+2 + bj (/ = 0,1, . . . ) ,

(6.14

fc- 0

a).h =

1V.- 1 q j f + К г +

+ e у

(2m + d)g|

^

1 - 0 + е)ХЯд

j i

j w

T - -----

(1 + e)x 2^ . .

+ 6 2

. £ + !" + < )' ъп и -& т^

, . ^4m+2

"«**1

(2ft+A 1)!(2m)IW

2”h+im+4

- - ^ ± i

«Ф.

,

f2* +

4)! g2b.

„ , Н В « И В Я *

t " " i r ^ s ^ b 5 a i _ .

l 1^ (1 + ^ 3 t 5J?#+a +

«о1

-I

-f e&2

2w

^2т+а^2т4-йj+s . M J -I

m -x

(2/ -f1)| (2m)122j+4m+4

Л

~

— Af + 2

(x)

(2 /+

4)! ^ai+4X,2

_

22j+a

*J +3

2i (2/ -f 2)! 2aj+4

^

.

~ Vj.fc =

7—— H- в)^X ^Tgaj+2g2h+a

[1 —./4 _i. „г p- » 21 л«^Ьо.,

l*

H(1-+t-e;е)/crГ1Х2]2.j _2?+аЛ+4 ~

~ (2j ^ T ~ + 2)1 g^

+a

I

(2/ + 2fe + 4)1 28i+afc+4A.«

+

(2/ +

1)1 <2fc +

D> 22>+2Л+а + l 2T -r2)l(2fc + 2)l22i+ ^+ 4-

+

в V

M

± ± + i ) l

(2^c + 2m +

1)! gai+am+ag2h+awt+3

m=x

(2/ +

l)l(2 * +

l)!(2 m + l)l(2 m )I2 a' +2h+4m+4

Л

•

ebc = л ; _____ _

у

e 2k+^

h+i

2afc+4

a

1—(1+e) K J ?

9.3 t

~ -<4—aft—a>

Л2Я-2

_ (2/ + l) < g2;.+aM \2j +2

1-(1 + е)Л:1Йа \г)

-

I

"хЛ

_ V

(2> +

2fc +

3)1 g2j+afe+4 /^ \2?+2ft+4

.

Д

(2ft +

3)1 (2/)I

V?/

- 4 -2fc-a

(/ = lt2 ,

Вычислив коэффициенты

aih

(А:= 1, 2,

N)

из

(6.14),

находим затем .{Ьь из (6.13),

после чего искомые

функции опре­

деляем по формулам (6.10).

§ 7. Напряжения в правильных решетках

Под

правильными

понимаем

гексагональную

(ш1= 2, со2 =

= 2е<я/3)

и квадратную

(«и = 2,

0J2 = 2t) решетки

(рис.

1.7.1).

ф (s )" Т + д т г р* + 2

W = W ’

(7.1)

(6ft+

1)1

(6ft - 1)1 *

Ф (в) « 0 ,5 + -2 £ = р2, У (z)« Р * ^ (z)-

(7-2)

41/3

^ М = 2- ^ а г - 1 + 2 М . 2‘ 123ГП )Г

(7.3)

о . - Ь м . - 0 ( * - 1, 2. . . . ) .

ного напряжения

ое вдоль контура

контура кругового отверстия в гек-

кругового отверстия радиусом R в

сагопальной решетке при

<Оц> —

гексагональной

решетке

(<о2 =

= — <сг22> = 1, <о]2> =

О

= ©1 ехр (йг/З))

при

<оп> =

= <022> =

1, <<Ji2> =

О

3.

Всестороннее

растяжение

квадратной

Предпола-

решетки.

гая, что отверстия свободны от сил,

<о,.>.= <022^ = 1,

^0|2^ = О,

получаем функции (6.10) в виде

ф «

=

т +

+ 2 ■

VUh) (*)

(7.4)

ЦТ М

=

У ft . .

V

,4Ь^(14Ь_1)(2)

Г ( )

-W = T )г

Рис. 1.7.4. Йзмепенпе коэффициентов

Рис. 1.7.5. Распределение <х0 вдоль

концсптрации напряжении в гекса-

контура кругового отверстия в квад­

топальпон решетке с

круговыми от­

ратной решетке

(шг =

при

верстиями радиусом

Д

в функции

<Оц> = <022> =

1, <<Ч2> =

О4

от Я =

2Л/со|.

Кривая

1 — Oo>do:

■2— всестороннее

растяжение

(<СГП> =

<022>,

<<Х|2>

=

0);

3 — од­

ноосное

растяжепие

вдоль

оси хг

4ft{?(4ft-2)(z)

т< *)' = ( т + т ) а^ - 1 + 2

р ^ '

(4ft -

1)!

V

„

I 4ft+*^i4fc+1>'(*)

„

5

Z l

a 4ft+2^

(4A + 1}, .

Tl —

2я

Рис. 1.7.6. Коэффициенты концентра­

Рис. 1.7.7. Распределение ов вдоль-

ции напряжений в квадратной ре­

контура кругового отверстия в квад­

шетке. Кривая 1 — OSKB/O; 2 — всесто­

ратной

решетке

при

<сги> =

роннее растяжение;

3 — одноосное

=

— <o»> =

1, <о12> = О

растяжение вдоль оси хг; 4 — чистый

сдвиг под углом 45° к координатным

осям; 5 — чистый сдвиг [81]

5. Всестороннее

растяжение

гексагональной решетка

со впа­

чае

имеем вторую основную задачу (й г= К 2= 0 ). Средние на­

пряжения <0ц> *= <022> ■= 1» <012> ^

0 .

Аналитические функции Ф (я),

^ (z) определяются формула­

ми

(7.1). Коэффициенты аз*, Цл,, входящие в (7.1), вычисляются

из

(6.13), (6.14), где необходимо положить г — —х.

6. Растяжение-сжатие гексагональной решетки со впаянными

абсолютно жесткими шайбами. В этом случае й\ =

йг '= 0, <Дц> *=

= —<022> = 1, <ai2>e 0, г = —х. Представледия

функций Ф (г),

Ч' (z) имеют вид (7.3).

система усилий N — iT.

Поместим начало координат в центре включения

с

гра­

ницей L , находящегося в основном параллелограмме периодов По

Предполагая, что неизвестная пока нагрузка N — iT на L

разла­

гается в ряд Фурье, запишем

N — iT =

A2he2kie.

(8.1)

Функции ®i(z) и V i (в),

определяющие напряжения в

обла­

сти £D\, занятой шайбой, представим рядами Тейлора

® i (г) = S

% » -

S

(8 .2)

fc= 0

fc- 0

Подставив ряды (8.1) и (8.2) в граничное условие первой

основной задачи на контуре шайбы

® i(() + $ r W - [ i ® ;( i ) +

'*ri(0 ]« MO =

f f - i r , < -W > ,

(8.3)

fo -

i и2) = Xj 2

^-afc6_2fti0 -

as

Л=1

•—

** “ г т т ’ <8-5>

fc=i .

1

ние в решетке, определены

в (6.10) и должны удовлетворять

граничному условию первой

основной задачи в форме (6.9), где

f(t) —N — iT задана рядом Фурье (8.1).

Считая коэффициенты

заданными, приходим, таким об­

(6.10) определены системой

(6.14)

при е =

1 и

следующих пра­

вых частях:

Ь0 — А2 — AQ—

- 2

22Л+4

" -^1—2/—2i

bj — A 2j +2

(2/+l).C2j+2

(8.6)

2 2j+2

1 -

2%ГКЛ

j g

A—2ft—2

(/ = 1, 2, . . .),

(2/)! (2k + 3)1 2^'+2,l+ 4

A ’

—

A

<CTn > + <CT22>

, A2 — A2 +

<g2 2 > - < gll>

"о

----------------------2

2

- хФ (*) + Ф (<) -

[*Ф' (<) + 'F (*)] *2ie = ^ 2 B 2he*hi*, (8.7)

где

=

В а - ^ - А а (к = 1, 2, . . . ) ,

- х Ь о = 4 - ^ -

Ц щ Л ***4 Л»

g

22Л+4 Л “ 2)

1 + ( х - 1)Х -^ - 2

— кЬ* = A2j+2 — (2/

+ 1) g2j +2

A*0l 2i+2

(8.8)

22j +2

1) X %

•1 -!- (у. -

V

(2/ -f 2/c -f- 3)! » .

л2,+2'|+4л*„ь

a

— i

9

\

--- У , ---------------- 1----Lf2H 2h+4_

(2/)!

(2k Л.

3)122i+2/.+4

K

А - м - г

(1 —

A,

. . . )

Здесь

Л ! - Я „

+ ( х

- 1)<Ъ > + <!!">,

а :л - В № (4 =

2 , 3 , . . . ) ,

"1;

-

Д» +

^

г>Г <°"~,

( 4 = 1 , 2 , . . . ) .

Постоянные ct2j+2, определенные из системы

(6.14) при е = 1

с правой частью вида (8.6), должны,

очевидно,

совпадать

с со­

ответствующими

постоянными cs*j+2,

найденными

пз

системы

(6.14)

при е = —к

с правой частью (8.8).

Равенства ^ a 2j+ 2

=

a 2j+ 2 = a 2j+2 (j = 0, 1 ,...)

определяют уси­

лия взаимодействия в системе решетка — шайбы.

Запишем системы для оса;-+2 и ос2;-+2 в виДе

a 2j+2 — 2

aj,fca2ft+2 +

bj,

fc=o

(8-9>

a 2j+2 =

S

<4,l& 4h+2 +

b*

(/ = 0, 1,

ftsQ

где

и aj,ft определяются формулами (6.14)

при e =

1 и e =

4 Э. И. Григолюк, Л. А. ФильштипскиЙ

49