книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

Потенциалы для матрицы запишем в виде [10]

Здесь I, Ь — горизонтальная и вертикальная полуоси эллипса, Ат и dm — постоянные, зависящие от <оЛ>, упругих и геометри­ ческих характеристик матрицы и включения.

Переходя в (5.1) к пределу при Ъ-*• 0, получаем решение для анизотропной среды с упругим линейным включением, за­ нимающим отрезок [—I, Z],

Ф т (zm) — Ат—

где dm = П т dm при Ь->0.

Скачок касательных напряжений оц на включении, вычислен­

Компонента X главного вектора усилий, действующих со сто­ роны матрицы на часть включения, занимающего отрезок [t, 1}, такова:

Возникающая в (5.4) постоянная интегрирования исчезает за счет условия равновесия включения.

Таким образом, функция qo{t) в точном решении имеет те же корневые особенности и тот же характер, что п в модели контакта по линии. Кроме того, как следует из (5.4), в точном решении не возникает сосредоточенных усилий на концах вклю­ чения, что также свидетельствует в пользу модели контакта по линии. Аналогичный результат получен в [25].

§ 6. Макромодель ЛКМ

Изотропный ЛКМ. Определение макромоделп регулярно ар­ мированной среды дано в гл. 4, § 1. Средние деформации <eik> определяются формулами (6.5.1) и (4.1.2).

231

Соответственно (6.1) функционал В из (1.5) примет вид

( 6.2)

ь= .f 4 i (t)dt-

Вычисляя средние деформации <е,*> (г. к — I, 2) по форму­

Из (6.3) следует, что наиболее сильно изменяется макропа­ раметр <Пц>, величина <а|2> существенно меньше <«ц), пара­ метр <а22> изменяется как l + o(v2), <аес) вообще не зависит от

структуры ячейки.

Состояние продольного сдвига ЛКМ рассмотрено в § 2. Вы­ числяя средние деформации <£|з), <егз) по формулам (7.8.1) и учитывая при этом (2.4) и .(2.6), находим

держится в (2.6).

Соотношения (6.3) и (6.4) вполне описывают макромодель ЛКМ с изотропной матрицей. Величины <а,л> представляют со­ бой эффективные (макроскопические, осредненные, приведенные)

параметры структуры.

Приближенная оценка макропараметров J1KM. Используя разложение (1.16) и формулы (1.23), запишем приближенное (с точностью до е4) выражение для функционала &ц, фигуриру­

Аналогично из (2.10) и (2.6) находим прполиженное выра­ жение для фигурирующего в (6.4) функционала Ь. Оно имеет

232

соответственно, получаем приближенные формулы для оценки макропараметров ЛКМ.

Штриховыми линиями нанесены результаты, полученные с по­ мощью замены в (6.3) точного значения функционала Ь\\ его приближенным выражением (6.5). Эти результаты при СК X < < 0,8 отличаются от точных не более чем на 1 %. Для X= 0,9

шеток соответственно. Сплошные линии относятся к ленте по­ стоянной толщины, штриховые — к равнонапряженноп ленте,

напряжение в которой |oJ3 |= 5. Форма сечения ленты показана на рис. 7.2.3 и 7.2^6., -

Макромодель анизотропного ЛКМ. Состояние плоской дефор­ мации ленточного композиционного материала с анизотропной матрицей описано в § 3. Вычисляя средние деформации <е,*> по

232

о /

Е/ЕГ 0"

штриховые линии построены по при­ ближенной формуле (6.5)

234

формулам (4.1.2) с улетом приращения функций Фт{гт) из (3.1), получаем

=0. Связь между В и Ьц задается формулой

В= Ъп ^<Оп> + jj^<022> + ^ < n 12)j«

Апалогичпым образом получаем макропараметры, соответству­ ющие продольному сдвигу ЛКМ с анизотропной матрицей

( Д44) :

(6,8)

Йа4Ъ(l + j ) .

<а55> = ь ( 1 + ? ) ’ <а45> » <«54> i

Здесь Ь равно функционалу 4лВ, определенному в (4.1) на решениях интегральных уравнений (4.4) пли (4.5) при <013) 1, <02з> = 0. Имеет место связь

В = ^ (<СТ13> + ^3 <а2з))-

Таким образом, макромодель ЛКМ с анизотропной матрицей описывается уравнениями состояния

(366 = 0,2381 •10-9 м2/Н (щ = 2,1275/, ц2 = 0,5385/). Решетка пря­ моугольная ((02 = 2/COI), а ленты абсолютно жесткие. На рис. 7.6.8

нанесены зпачения Е\ = ( Е Л')!Е1 (верхнее поле рисунка) и

v12 = <v]2>/v12 (нижнее поле рисунка), полученные в результате численной реализации интегрального уравнения (3.9). На этом же рисунке нанесены результаты, полученные по теории КМ с волокнами произвольного поперечного сечения. Штриховые линпи соответствуют жестким включениям эллиптической формы

кой волокон. Сплошные липни соот­ ветствуют ленте постоиипой толщи­ ны, штриховая — равнонапряжен­ ной ленте, напряжения в которой

К 1 = 5

с отношением полуосей А.* = /?.,//?, = 0.1 . Результаты для ос­ тальных макропараметров при А = 0,98 отличаются не более чем па 3,8% .

Таким образом, использованная при построении ЛКМ модель контакта по линии дает удовлетворительные результаты даже и для не слишком тонких включений.

Пусть теперь .матрица армирована под углом в 30° с направ­ лением наибольшей жесткости. Характеристики матрицы в коор­

236

На рис. 7.6.9 показано изменение макромодулей Е { — (Е 1}/Е 1 (верхнее поле рисунка, сплошные липни), E t = (E 2')!E2 (штриховые линии). На пшкнем поле vj2 = <v12>/v12 (сплошные

§ 7. Влияние края на напряженное состояние ЛКМ

Для исследования влияния края на распределение контакт­ ных усилий, на напряженное состояние включения и матрицы рассмотрим простейшую модельную задачу о передаче нагрузкп от упругого топкого ребра к анизотропной полуплоскости.

Сосредоточенные сплы в анизотропной плоскости» Решение этой задачи для случая, когда в точке zo'-= яю + Одо приложена сила Р = Р[ + iP2t имеет вид [10]

*т то

Здесь Zmo=a:io+ ЦтЯго; Постоянные Ат определяются нэ двух условий однозначности перемещений и двух статических усло-

23Т

вий, заключающихся в том, что главный вектор усилий, дей­ ствующих на границе вырезанной окрестности точки zо, равен = Р .

Указанные четыре условия приводят к системе уравнений (А — толщина пластины)

решение двумерных уравнении теории упругости для' анизотроп­ ной среды.

Функция Грипа для анизотропной полуплоскости [17]. Пусть

Здесь первые слагаемые дают фундаментальное решение в анизотропной плоскости, постоянные Ат определены системой (7.2), добавки учитывают влияние границы полуплоскости.

238

Функции Qv(xi) подлежат определению (предполагаем, что они затухают при Ixil -*-<» пе медленнее чем 1/lxjl п удовлетворяют

| i s ( —оо, оо) в краевые условия (7.4) и исключая в получен­ ных равенствах функцию £h(xi), приходим it сингулярному ин­ тегральному уравнению на оси относительно функции &i(xi)

Подставляя сюда выражение для /(*,) из (7.б) и выполняя необходимые квадратуры, находим после преобразований

Наконец, вставляя плотности •(7.9), (7.10) в представления искомых функций (7.6) и выполняя необходимые квадратуры, получаем решение поставленной задачи

Функции F n (zm] xio, хго) определяют функцию Грина второй основной задачи для анизотропной полуплоскости.

Решение для сосредоточенной силы в полуплоскости со сво­ бодной от сил границей строится аналогичным образом и имеет вид

Построенные фундаментальные решения оказываются полез­ ными прп конструировании общих представлений решений крае­

полуплоскости. Пусть граница полуплоскости свободна от .сил, а нагрузка передается через тонкое упругое ребро, занимающее произвольно ориентированный отрезок длиной 21 (рис. 7.7.2).

') После того как функции (7.11) или (7.12) построены, становится яс­ ным, как следует применять известный метод отражеппя при построении функций Грипа в полубескопсчных областях для эллиптических уравнений, не разрешенных относительно стопеней оператора Лапласа.

2 4 0