книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

<*1з — га2Я = вФ (г), M3 =

Re<p(z),

Ф(г) = -~ф (г),

(2.1)

где G — модуль сдвига матрицы.

4

Вследствие малости толщины ленты примем, что из п 0|з не­

прерывно продолжимы через включение.

Введем обозначение

aiiW — *и (0 -б 9 в № * * e L = U Lr

(2.2)

Из условия равновесия элемента ленты получаем выражение-

для среднего по толщине напряжения в ней

( V — 3 ^ 3 J «оЮЛ.

« . e l ,

( / - 1 .2 .

(2.3>

bj

Ф (г) -

J (70 (*) £(*-*)<& + A, Im g0(t) = 0,

(2.4)

ь

ловия

J Яо (0 dt = 0

(у = 1, 2, ..., к).

(2.5)

Ч

B “ S

, f

^ “ ш>1

Re f д0 (i) I (I -

О dt +

(5* (Q f q0 (!) dl 4- М {q0 (t)} =

N V (2.7)

L

‘o

Здесь

N x = -

Щ

]з>1

F

=> “ i Im c°2

(7= 1 , 2 , . . . ,

к ),

G, Gj — модули

сдвига

матрицы и у-го

волокна, rfj(i) — толщина

гральных уравнений первого рода

Re Сд0(О С(t - <о) dt + м {9о W> = X* (*„), <0 е L,

(2.8)

ь

N 2 (t) = 2л J

sign <aJ3> -

.

Решепие систем уравнении (2.7) и (2.8) в классе h0 фикси­

руется при помощи дополнительных условий

(2.5). Закон изме­

нения толщины лепты определяется формулами (2.3).

Так же как в § 1, интегральное уравнение для случая, когда

в пределах ячейки имеется одна лепта (—1 < х \ < 1 ,

х%= 0), при

заданном законе

изменения

ее толщины

имеет

вид

(1.10),

а при заданном

напряжении — вид (1.11).

Необходимо

только

доложить в них

Л , = Ш1Н е(б1_ £ ) ,

Л , - ф ) “

•Re^+2.

2яIG

2

JV, (0

(2-9)

Р (0 - Ч ® * /

<"«>•*«----- 1 Г

0 =

1,2 ----- ).

Дополнительное условие имеет вид (1.12).

Приближенное

решепие. Действуя до

схеме

§ 1, получаем

разложение q (|)

по малому

параметру

е

для

случая, когда

Рис. 7.2.1. Распределение папряже-

Рпс.

7.2.2. Распределение напряже­

ний

crj3 в ленте постоянной толщи-

ппй

с^3 в лепте постоянной толщи­

ны d,

в гексагональной решетке прп

ны d, в гексагонально!! решетке при

lid, =

20, G/G, = 0,1 (G, с ,-м о д у -

l/d, = 20, G/G, = 0

i

/ T ^ p { l +

+ т [2Л‘?

+ (л « +

4 л ‘)]}' <2Л1>

Постоянные Ло и Ai заданы в

(2.9).

Сдвиговые усилия в ленте. В результате численной реализа­

ции (2.7)

для случая, когда

в пределах

ячейки

имеется одна

лента

(—К х \ < 1 .

Х2 = 0) были

получены

контактные

напря­

жения,

а затем по

формуле (2.3)

средине

по толщине

ленты

К - 0,2 0,4

0,6 (198

Рис. 7.2.3. Форма сечения равпо-

прочпой

ленты при продольном

сдвиге ЛКМ с гексагопальпой ук­

ладкой

волокон

при oJ3 = 5 и

G/G, = 0,1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

А £

Рис. 7.2.4. Форма сечения равно-

папряженпой ленты при продоль­

ном сдвиге ЛКМ с тетрагональ­

ной укладкой волокон при oj3 =

=

5 и С/С, =

0,1

0

0,2

0,4

0,6 .

0,8

А £

Л

0,2

0,4

0,6

0,8

f

Рис.

7.2.5. Распределение

напряже­

Рис. 7.2.6. Распределение иапряже-

ний aj3 в ленте постоянной толщи­

ний a j3 в лепте постоянной толщи­

ны dt в

тетрагональной

решетке

ны <?, в тетрагональпой решетке при

(©2 =

<о>|) при G/G, = 0,1; l/di =

20

С/С, = 0, l/di = 20

На рис. 7.2.1, 7.2.2 даны графики распределения

напряжений

в

лепте постоянной толщины

dt для l/di = 20 в

гексагональ­

ной решетке

(02 = ©i ехр(/я/3)). Форма сечения равнонапряжен­

f ft(0*- 0

(/= 1 .2 ..........

к).

(3.5)

Ч

ьз

f q0(t) К (i0 - t ) d t + р; (*0)

|q0(t) dt +

M {q0(<)} = N v (3.7)

L

10

где

К (<o - 0

= -3 Re (PA? (<io - У + flftC ((„ - У1, '

М { ь (<)} - 2 ^ 5 f ?

+ 2

- 25( P u <ffn> + Э .» < ° « >

+

P „ < a „ > } ,

E )

f

6

— для пластинки с ребрами,

^ ( < ,,- ! ) ? .« ‘й + л/ Ы 0} = лг! (*,),

*.=1,

(3.8)

L

где

JV2^)==' " 2 ^ Sign^ 1_iVl'

Остальные величины определены в (3.7).

классе ho

Решения интегральных уравнений (3.7), (3.8) в

функций, неограниченных на концах Ls (/ = 1,

2,

к),

фик­

сируются дополнительными условиями (3.5).

{хг —

Если в пределах ячейки имеется лишь одно включение

= 0, —1 < х \ < 1 ), то, разлагая ядра интегральных уравнений в

«степенные ряды, паходим:

а)

задан закон изменения толщины ленты (площади попереч­

ного сечения ребра)

1

1

1

$ ! ^

+

j Jr(b -!> « « K -f> (u J« ® < f| -*/ i.

(3-9)

<б)

задано распределение напряжений во включении

1

1

+

J-* < * .- !) J

{.^ (-1 ,1 ).

(3.10)

Здесь

Х (& - = 2 ( 4 ) м+гл ;|«+1,

г - ’i

,

j-o

’

Л0 == ^

[ i r +

2 R e (Pici6iX) +

Р Л 6? 1)].

Aj = ^

(-g1)

•Re(p1c1g2j+2 + Рг^н-г) (/ = 1. 2),

- — для пластишш с ребром,

2<?Vi(D

р ®

- { _

± _

— для ЛКМ,

N . .

.

|от,(6)| . .

~ ~п'

А

- Л —

i i ;

S16n/"

Постоянные

gif+2

(m. = 1,2)

совпадают

с константами g2j+2 из

45*

227

Пример расчета. Пусть

матрица характеризуется упругими

постоянными Рп = 0,4762 •10_,° м2/Н, Р22 = 0,625 •10“'° м2/Н,

р12 = - 0 ,3 3 5 -1 0 -“ м2/Н,

Рее■= 0,2381 ■10-9 м2/Н (ц, = 2,1275/,

прямоугольная

(©2 =

1,351(0!).

Рассмотрим

пример

армирова­

ния указанно!’! матрицы в на­

правлении,

составляющем

угол

30°

с

направлением

наиболь­

шей

жесткости. Характеристи­

ки матрицы в координатной си­

стеме, связанпой с лентой, та­

ковы:

Рп =

0,7369 •10_1°

м2/Н,

р22 =

0,8183

10 -10

м2/Н,

р,2 =

= -0,2673 -10 -'°

м2/Н,

р66 =

= 0,1487 -10 -9

м2/Н,

pIG=

= 0,328 -10 -'°

м2/Н,

р26 =

=

-0.1937 •10-'°

м2/Н,

ц, =

= -0,3738 + 0,6547/,

р2 =

=

0,8165 + 0,1131/.

Распределение погопны х уси ­

лий

Р * (q' (£) =

— Р * )

по поло­

вине

ширины’ ленты

в аави сп -

Рис. 7.3.1. Распределение погон-

мости

от

параметров

Я =

2 1/а>\

них усилий -Р* по половине ши-

и

Q

,

_ . г

рппы лепты в ЛКМ с анизотроп-

при <Оц) =

нон

матрицей

при

Q = 0 25,

=

^

<

у =

<0

> =

0

п оказапо

<0|1> =

<0г2> = <0,г> =

0

иа рис. 7.3:1.

Одиночный тонкостенный стержень в матрице. Устремляя в

(3.9)

периоды ©1, ш2 к бесконечности, получаем уравнение

1

1

J ? + - # - №

)

№ ) « - " / .

(З.и>

-1

0

i0

где р(|)

и / определены в (3.10) для анизотропной и в

(1.10) —

для изотропной

матрицы. Дополнительное

условие

имеет

вид

( 1.12).

Пусть

толщина включения

постоянна. В этом случае Р(£) =

= (}•= const. Для

относительно

жесткого

включения

величина £

мала.

В

предельном

случае

бесконечно

жесткого

включения

Р = 0 и'решение

уравнения

(3.11)

при дополнительном

условии

(1.12)

имеет вид

V

i - r

.Р ®

=

! / / ! = ? ,

(3.12)

где р(%) — усилие в ребре.

Получим

приближенное

решение

уравнения

(3.11), прини­

мая за малый параметр величину р, для этого положим

9 ( 5 ) =

S

Г 9 т ( 5 ) .

(3.13)

т=0

Подставляя (3.13)

в интегральное уравпенпе (3.11), а также

в условие (1.12),

и приравнивая коэффициенты при одинаковых

степенях р, приходим к рекуррентному процессу

1

1

1

J pqr« " */•

j

= \ Ч ш - г ( т =

1 ,2 ,...) ,

(3.14)

—1

—1

Ё0

1

l'? m(D<*£ =

0

( m -0 ,1 . ...) .

—1

Ограничиваясь в разложении

(3.13) степепыо р не выше пер­

вой, получаем приближенное решение

' ' ® ~ т

^ М

[ 2?+(5г- Ч

Ш

<ЗЛ5>

При р = 0 приходим к решешпо

(3.12). Формула (3.12) совпада­

ет с рсчисчшсм, полученным в

[20].

J

+

(4.1)

где

L<3)

A =

i \ В

< ^ >- +

<g^ > 1

В =

Ш

lm q0{t) = 0,

Рз —1ш (х3.

L

включений

(2.5).

Из (2.1)

и (4.1) следует выражение для скачка касательных

напряжений па L

<Тад(0 — а«(*) = ?о(9.

=

(4.2)

Среднее

по толщине лепты d}(t)

касательное напряжение

Охз (t) определяется формулой

Ч

0 - 1 , 2 ........ к).

(4.3)

Re J I («, - tM) q0(t) dt +

pj (t0) j

q0 (t) dt + M {q0(i)} =

N v (4.4)

P i

“

wi

;

< w *> V A'

^1 = -^ (< ^ 1 3 >

+ Из<<*2з>).

д = P44P55 - P L Из — R e Из-

Если

задано

распределение папряжеппй о{9 (t)

в

лепте, то

приходим к сингулярному интегральному уравпеппю

ке J

д, (I) £ (t, -

tM) dt +

М {д0(<)> =■ ЛГ, ((„),

(4 5)

где

N 2 (t) = N X—

sign AV

нительные условия

(2.5).

Если в пределах ячейки имеется одна лента, занимающая па

оси Xi

отрезок [—I,

I] , то из (4.4)

получаем соответственно урав­

нения (1.10) или (1.11), где следует положить

A. = » . ( R e 6 « > - 2^ ) ,

Я - | .

6 , 1 ,

Л; =

( т Г +а1и* « «

( / = 1 ,2 , ...) ,

(4.6)

6 ®

2п1

0L

у

G & (I) 1/Д’ /1

л

я ’

*2

Здесь ggi+2 — константы g£J+2, построенные на основных

периодах

©i3) =

и (0г3) = Re со2 + jig Im a>2;

G1 и d x(£)

— модуль

сдвига

и толщина ленты.