Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

..pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
13.7 Mб
Скачать
☆

Здесь пижпий индекс С показывает, что от выражений, стоя­ щих в скобках, необходимо взять приращение вдоль дуги С.

Ниже будем рассматривать поля усилий и момептов в пла­ стине, обладающие той же группой симметрии, что и сама об­ ласть 2. В этом случае изгибающие и крутящие моменты, а так­ же перерезывающие силы должны иметь двоякопериодическую структуру.

Повторяя рассуждения § 1, гл. 1, приходим к выводу, чтоаналитические функции <p(z) и -ф(г) удовлетворяют условиям ин­ вариантности (1.1.7) и (1,1.8) соответственно.

Квазипсриодпческими функциями будут тангенциальные сме­ щения или, что то же самое, углы поворота решетки.

Обозначим

g (z) = (di-Ид2) = <p(z)+ zO (z)+ -ф(z).

(1.5)

В случае второй основной задачи будем считать, что на гра­ нице области 2 задана квазипериодическая функция (1.5). Тог­ да, так же как и в плоской задаче, придем к краевому условию

на контуре основного отверстия

 

 

 

 

Ф(о + * ф (о + ф (;)= / ( о ,

t = L ,

(ley

где f(t) = (д\ +

idi) w, х\ + ix2 =

t.

 

 

В первой

основной задаче

зададим

на контурах

отверстий

одинаковые в конгруэнтных точках нормальные изгибающие мо­ менты и обобщенные перерезывающие силы. Краевое условие-

представим в виде

[23]

 

 

 

- n c p ^ + ^ ^ + i K O ^ / W + ^

+ Cb

t e L ,

(1.7)'

где

t

 

 

 

/(*) =

+

p W

= Qn - ~ i > r '

Im с = О,

Mn и р (а) — погонные изгибающий момент и обобщенная пере­ резывающая сила па площадке с нормалью п, щ — комплексная

постоянная.

Ниже потребуем, чтобы главный вектор и главный моментвнешней нагрузки на L были равны нулю.

Средние моменты, кривизны и кручеппе. Помимо задания на краях отверстий нагрузки или перемещений, будем предполагать, что в решетке действуют средние изгибающие и крутящий мо­ менты <ЛГц>, <M22> и <Мi2>, смысл которых поясним ниже. Для этого введем величины (рис. 2.1.1, б)

(Ми) = <Л4п> sin2а — <Л^12> sin2а + (М22> cos2а,

(M°2) =

£ -Mg2- sin 2а — <М12> cos 2а,

(1.8)

<Л/21> = <л/21>, (М2°2>= <М22>.

6 f

Затем положим

 

 

 

 

г+“2

< Л Л > - ^ - J М Ж .

<А/?Х> -

J

М Ж

 

Z+a2

 

Л

(М ?,) “ 7 ^ 7

J <Л” -

^

* + Т ^ Р л " (s) “ j 9 * . * ’ (1-9)

 

Z+Mj

 

 

 

J

 

I m y - o ,

где интегралы берутся вдоль сторон параллелограмма периодов •с началом в произвольной точке z ^ S , g — несущественная по­ стоянная, зависящая от положения точки z.

Для обоснования такого выбора средних моментов привлечем энергетические соображения. Предположим, что края отверстий либо свободны от сил, либо в них впаяны упругие шайбы из другого материала. В этом случае энергия упругой деформации фундаментальной ячейки По имеет вид

Э = -----Y j*j*(M u d\w'+

2М хгдхд2и> + M 22d\w) dxt dx2, (1.10)

п0

 

причем интеграл берется по

фундаментальной ячейке (включая

и область, занятую шайбой).

 

Учитывая непрерывную продолжимость величин w, dwfdn, Мп и р через границу контакта, периодичность моментов и квази-

периодичность углов поворота, а также формулы

(1.9)', находим

Э = - 4 К

[<>2а> д2ю +

(М°21) dlW] T 2 +

 

+

I

1((M h ) sin а + (М п ) cos а ) [дуЬ)}*

+

 

+

|ю21

sin а — (М п ) cos а ) [д2ш]*+а>11, (1.11)

тде символ [*)а обозначает приращение величины в скобках при переходе от точки А к точке В.

Средние кривизны

<Хц>, <Н22> и кручение

2 <xi2> в

решетке

имеют вид

[Jdidjwdxj dx2

 

 

 

<Xjj> = — j

(t, / =

1, 2),

' (1.12)

 

4

 

 

 

где F = <DI Im oo2 — площадь фундаментальной ячейки. «2

Используя формулу Грива — Остроградского и квазипериодич­ ность углов поворота в решетке, получаем из (1.12)

Наконец,

преобразуя выражение (1.11)

с учетом (1.13)' и

(1.8), находим

 

5 = 4

{<МП> <хи> + 2 <М12> <х12> +

<М22> <х22» . (1.14)

Следовательно, величины (МцУ, <М\г> и (Мп> можно тракто­ вать как средние моменты в структуре на площадках, перпен­ дикулярных координатным осям Ох\ и 0x2. Связанные с ними формулами (2.2) величины (А/Л) (г, к = 1, 2) — соответственно­ средние моменты, действующие вдоль сторон параллелограмма периодов.

На основании сказанного, с учетом формул (1.7) и (1.9), представим условия существования в решетке заданных средних моментов в виде

[ -

шр(z) +

гФ (z) +

ф(z)]l+a>1 =

^ -(1-- v)

~

*( м «>),

[ -

шр (z) +

гФ Щ +

ф ф ]Г “2 =

д, (1Ю^

{(М°п) +

г (М и )).

§ 2. Интегральное уравнение теории изгиба решеток

Основные представления решений первой краевой задачи. Согласно § 1 необходимо построить аналитические в области 2 функции ip(z), ф(л), удовлетворяющие-условиям групповой сим­ метрии (1.1.7), (1.1.8), граничному условию (1.7) на контуре* основного отверстия и статическим условиям (1.15).

Искомые функции представим в виде интегралов типа Коши с эллиптическими ядрами

L

( 2. 1).

L

z e 2 .

L

63.

Здесь ©(f), А и В подлежат определению, S (z) — дзета-функция Вейерштрасса, (г) — специальная функция (см. приложения 1

и2), направленно иптегрированпя — против часовой стрелки. Легко видеть, что представления (2.1) обеспечивают двояко-

•перподпческии характер моментов п перерезывающих усилий. Определим теперь постояипые А и В из условий (1.15). Приращения соответствующих функций, в силу (2.1)’,

(П.1.5) и (П.2.9), имеют вид

 

<p(z + ©у) —<p(z) =

J4©V+ ябУ

(v = 1, 2),

 

«где

[z<P(s) -f o|)(z)]z+l°v =

Aov -f В 0 V+ 6 6V+ a Yv,

^

 

 

 

 

 

 

 

 

a ------2^£ J® (0 dt,

b =

2^-. J(n w (f)dt — ы (/)dt}.

 

 

L

 

 

 

L

 

 

 

Подставляя приращения

(2.2) в (1.15), получаем систему

уравнений относительно А и В, решение

которой дает

 

А

<*»> + <*«>

+ А а ,

В

<ма8) + 2*<м 18) - < агп)

+ В Ш,

 

22) (1 - v) (1 — п)

 

 

 

22) (1 — v)

 

•где

 

 

 

 

 

(2.3)

 

 

 

 

 

 

 

А®

 

 

 

л (Ь Н- пЬ)

 

 

 

 

 

 

F ( n - - l ) '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bw = -£ а +

 

 

 

 

«L-у

 

 

Следует отметить,

что

представления

(2.1) приводят,

вообще

говоря, к многозначному прогибу. В самом деле, фигурирующая в (1.3) функция %(z) многозначна, ее приращение вдоль любого замкнутого контура С, охватывающего отверстие L, находим с

учетом разложения сигма-функции Вейерштрасса

(П .1.1).

Имеем

 

1%(z)]c = f [woT(fj dt - 0 (t) dt] = 2nib.

(2.4)

L

 

Подставляя выражение (2.4) в приращение функции прогиба

из (1.3), приходим к условию однозначности прогиба

 

Im b = 0,

(2.5)

где функционал b задан в (2.2).

Для удовлетворения этого условия воспользуемся постоянной

с, фигурирующей в граничном равенстве

(1.7). Подберем ее

таким образом, чтобы любое решение вида

(2.1), удовлетворяю­

щее краевому условию (1.7), обеспечивало

выполнение условия

однозначности прогиба

(2.5).

 

 

 

Подставим в (1.7)

предельные значения

функций

(2.1)

при

(z е= 2 ), умножим левую и правую части

на

dt и

проинтегрируем по L. После преобразований имеем

J со Щ dt +

1 + i j<o (<)C(t) dt -

 

 

 

I.

L

 

 

 

 

— 2i (n +

1) AQ + 2 i Im

f {cp“ (t) +

to(f)} dt -f 2cQ = 0,

(2.6)

где

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

G (9 = f £ ( * - * )< £ . Q = - ± \ t d t ^ 0,

 

 

L

 

L

 

 

<p~(t)— предельное значение

функции

cp(z)

па L, когда

z ^ - t

из области 2 .

 

 

 

 

 

Полагая

 

 

 

 

 

с - Т

Г - 1,0{й 1 j “ (0 G (о * } -

(в +

1) Im А,

(2.7)

получаем пз (2.6) условие (2.5).

Таким образом, представления (2.1) обеспечивают двоякопе­ риодическое распределение усилий н моментов, существование в решетке заданных средних моментов и однозначность прогибов. Главный вектор и главный момент от силовых факторов, дей­ ствующих вдоль любого замкнутого контура По, охватывающего отверстие L , также равны нулю.

Интегральное уравнение первой краевой задачи. Предельные значения функций (2.1) на L таковы:

<Р(to) =

 

(to) +

55 Г“>(t)£(t-

10)dt + At,,

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

(to) = j {и ю ®

+ *0®' («.)> +

Ш

i 40 (0

(* -

*o) dt -

(2.8)

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

~

Ш I

 

+ ta>'~

(t)> ^ (t -

10) dt + Bt0,

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

® w - - 4

+ i s I ■ w с (‘ - у * + 4 .

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

Постоянную

ci в

граничном

условии (1.7)

возьмем в

виде

 

 

С

 

L

 

,

 

(2. 9)

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

в (1.7) предельные значения (2.8) и учитывая

формулы (2.3),

(2.7)

и (2.9), приходим к

интегральному

урав-

5 Э. И. Грпголюк, Л. А. Филышчшский

 

 

 

 

65

нению Фредгольма второго рода *) относительно о (*):

у )

D<<•)— .f “ (о d !l n —

ы

J ®W«*№- УС(Г=Л)}- 55 fЙ08s!(*-(»)*+

 

 

I.

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Л/.{ю(0 ,<о} =

^(<о),

< o e £ .

(2.10)

 

 

.

<^22> Rei + K Mn > Im f- “ <^,2>

 

 

 

/■(0 _ ;W

 

S> (1 -

v)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

do

*o +

 

 

+ ^

- ?

+ f t - T ) ( s - s > ) ' * * - s { “ « f c

 

d0 =

^ Im. j* © (t) G (t) dt,

F

=

©! Im (0„.

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функционалы а и b заданы в (2.2),

G (t)— B

(2.6),

Q — пло­

щадь области Si,

занятой отверстием, постоянные решетки

6i и

 

 

 

 

*Yi

определены

в

приложениях.

 

 

 

 

1 и 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этим

завершается

 

построе­

 

»

 

 

ние алгоритма решения первой

" • и

 

 

краевой задачи об изгибе ре­

 

 

 

 

гулярно

перфорированной пла­

 

 

 

 

стины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напряжеипное

состояние в

 

 

 

 

решетке.

Ниже

представлены

 

 

 

10,4

результаты численной реализа­

 

 

0,Ьу / ч

ции

построенного алгоритма.

 

 

 

 

Расчеты

проводились

для

пря­

 

 

У о,г

 

моугольной, квадратной и

ром­

 

 

 

 

бической решеток с эллиптиче­

 

45°

 

ским, чсчевпцеобразпым и кру­

 

 

говым

отверстиями

в

ячейке

Рис. 2.2.1 Распределение тангепцп- соответственно. Контуры отвер-

альпого изгибающего мсмепта М0

стий свободны

от

нагрузки,

вдоль контура эллиптического от- а

средние моменты

(Mik> Ф 0

верстия

и

пршюугольнои

решетке

 

Н а

рис. 2.2.1

дапы

эпюры

( l

=

i]

$f/12> J*<A fS =

0П>

распределения, тангенциального

 

 

 

 

 

 

 

изгибающего момента М» вдоль

контура

эллиптического

отверстия

(zj = i? i cos "O',

х2 =

Д2 sin О,

0

< 2я)

в

прямоугольной

решетке

(©i = 2i?2,

о>2 = 3iR2)

при

Л2 = 1

и

средних

моментах

<ЛГц>= 1, <М12> =

(М22> = 0.

')

О характере ядер этого уравяения см. гл. 1, § 1.

 

 

 

66

Рпс. 2.2.2. Распределение Мо вдоль коптура эллиптического отверстия в прямоугольной решетке при (М 22) ==

= 1, <Л/ц> = <ЛГ„> = О

Рис. 2.2.4. Распределение Л/в вдоль

контура кругового отверстия ради-

Усом R

в

ромбической решетке

(со, = 2 ,

©г = 2 ехр (/я/4))

при

<Л/„> -

1,

<Л/,г> = <л/«> =

0.

Рис. 2.2.3. Распределение Мв вдоль контура эллиптического отверстия в прямоугольной решетке при <Л/,2> = = 1, <Л/„> = <Л/22> = О

Рис. 2.2.5. Распределение

Л/о вдоль

контура

 

отверстия в

ром-

кругового отвероы»

^

бическон

решетке'

“ P“

V /22'

 

 

<Л/„> = <

« -

и

 

67

Рис. 2.2.6. Распределение Л/0 вдоль контура кругового отверстии в ромби­ ческой решетке при {Mu') = < "n> — {М 22) — и

Рис. 2.2.7. Распределение Мо вдоль чечевицеобразного отверс­ тия в квадратной решетке (ем =

— 2, ю2 = 2i) при <Л7п> = 1,

<ЛЛ2> = <Л752> = 0;

Ri = 0,6;

Ri = 1,2; О =

30°

Рис. 2.2.8. Распределение Мо вдоль .чечевицеобразно­ го отверстия в квадратной

решетке при <Л/22> = 1,

<А/„> = {Mu') = 0

Распределение моментов и перерезывающих сил на контуре прямоугольной ячейки приведено в табл. 2.2.1 (результаты вы­ числений относятся к точкам контура, указанным на рис. 1.2.4).

Значения М0 вдоль контура кругового отверстия радиусом R в ромбической решетке (o>i = 2, ©2 = 2 exp (ш/4)) для случаев

68

Т а б л и ц а 2.2.1. Распределение моментов Mik и перерезывающих сил Qh вдоль контура прямоугольной ячейки (Д2 = 1 , а>1 = 2, ©2 = 3£)

Номер узла

! RJR*

1

1

*

1

э

1

*

1

•

1

0

1

1

1

8

1 8

1 1°

1 и

 

 

 

 

 

 

 

 

<Ма > ==1, Ш п )- = <М22>= 10

 

 

 

 

 

 

0,2

Мп =

2,17

2,01

 

1,71

 

1,46

 

1,32

 

1,28

 

1,22

 

1,09

0,92

0,78

0,72

 

<?i = 0,00

-0 ,6 2

 

—0,72

 

-0 ,5 2

 

-0 ,2 5

 

<?2 = 0,00

 

-0 ,3 6

 

-0 ,6 0

-0 ,5 7

-0 ,3 2

0,00

0,4

2,45

2,28

 

1,93

 

1,63

 

1,45

 

1,39

 

1,32

 

1,13

0,88

0,68

0,60

 

0,00

—0,70

 

-0 ,8 5

 

-0 ,6 3

 

-0 ,3 2

 

0,00

 

—0,46

 

—0,80

-0 ,7 9

-0 ,4 6

0,00

0,6

2,64

2,48

 

2,15

 

1,83

 

1,62

 

1,55

 

1,46

 

1,20

0,84

0,52

0,40

 

0,00

-0,66

 

—0,87

 

-0 ,7 0

 

-0,37

 

0,00

 

—0,56

 

-1 ,0 3

-1,11

—0,67

0,00

0,8

2,75

2,63

 

2,34

 

2,04

 

1,82

 

1,74

 

1,63

 

1,31

0,80

0,32

0,13

 

0,00

-0,57

 

-0,81

 

—0,70

 

-0 ,3 9

 

0,00

 

-0 ,6 2

 

-1,30

-1 ,5 6

-0,93

0,00

 

 

 

 

 

 

 

<АГ»> =

1L,

(М п ) == Ш хг) =

0

 

 

 

 

 

 

0,2

Мм =

0,96

0,97

 

0,99

 

1,01

 

1,03

 

1,03

 

1,05

 

1,10

1,17

1,21

1,23

0,4

0,92

0,93

0,98

1,03

1,06

1,07

1,12

1,26

1,43

1,57

1,62

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

2 .2 .1 (продол ж ен и е)

Я ,/Л ,

 

 

 

 

Н ом ер у зл а

 

 

 

 

 

1

2

э

k

5

6

7

8

9

10

11

 

0 ,6

0 ,8 7

0 ,9 0

0 ,9 7

1,0 4

1,10

1,12

1,21

1,4 8

1 ,89

2,2 8

2,4 3

0 ,8

0,81

0 ,8 6

0 ,9 5

1,0 6

1,1 4

1 ,17

1,3 0

1,7 9

2,7 8

4 ,1 2

4,8 5

 

 

 

 

{ М ы ) =

1 , { М ы ) =

<л/22> =

с)

 

 

 

 

0 ,2

Мы =

1,4 9

1,51

1,52

1 ,5 0

1,4 7

 

Qz =

0 ,0 0

0,7 2

0 ,8 4

0 ,6 0

0 ,3 0

0 ,4

1 ,60

1 ,6 2

1,66

1,66

1 ,6 4

 

0 ,0 0

0 ,9 2

1,12

0 ,8 3

0 ,4 2

0 ,6

1 ,72

1 ,75

1,7 9

1,81

1 ,8 2

 

0 ,0 0

. 0 ,9 7

1 ,2 8

1 ,03

0 ,5 4

0 ,8

1,91

1,91

1 ,9 4

1,9 7

2 ,0 0

 

0 ,0 0

0 ,9 1 .

1,3 2

1 ,1 5

0 ,6 4

1,4 6

О о Гс

1 ,63

0 ,0 0

1,8 2

0 ,0 0

2 ,0 0

0 ,0 0

 

1,39

 

1 ,18

 

0 ,9 3

 

0 ,76

0 ,7 0

— 0 ,4 2

-

0 ,6 9

-

0 ,6 9

-

0,3 7

0 ,0 0

 

1,5 5

 

1,3

0

 

0 ,9 9

 

0 ,7 9

0 ,7 3

-

0,61

-

1 ,0 3

— 1

,0 0

-

0,5 6

0 ,0 0

 

1 ,7 2

 

1 ,4 5

 

1

,1 0

 

0 ,9 0

0 ,8 6

-

0 ,8 2

— 1,50

— 1 ,56

-

0 ,9 0

0 ,0 0

 

1,91

 

1,01

 

1,2 5

 

1,2 2

1,35

-

1,0 4

— 2,1

9

-

2 ,6 8

-

1,75

0 ,0 0
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности