книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

Выражения для напряжений имеют вид

Ниже мы рассматриваем ноля напряжений, обладающие той же группой симметрии, что и сама область 3). В этом случае на­

В самом деле, составляя приращение смещения (1.3) между двумя конгруэнтными точками и учитывая при этом (1.7) и

Последнее обстоятельство имеет значение при построении м-акромодели регулярной структуры.

Главный вектор и главный момент (относительно начала ко­ ординат) сил, действующих вдоль дуги АВ в 3), определяются соответственно формулами [46]

11

где

g(z) — (p(z) + jz0 (z)+ rja(z);

символ и\лв означает приращение величины и на дуге АВ.

В случае первой основной задачи будем считать, что на гра­ нице области 3> заданы усилия, в случае второй основной зада­ чи — смещения.

Ясно, что заданные на полной границе 3 ) усилия (смеще­ ния) должны быть такими, чтобы порождаемые ими ноля напря­ жений имели периодическую структуру.

Если на границе заданы смещения, то они должны быть квавипериодическими функциями, т. е. в конгруэнтных точках гра­ ницы должны выполняться равенства (1.9).

Краевые условия в этом случае имеют вид

г €= L = U Ь5 (т , re = 0, ± 1, ± 2, . . . ) . i - i

Здесь ui, кг — заданные на L (т. е. в пределах основной фун­ даментальной ячейки По) компоненты вектора смещения.

Отсюда следует, что для выполнения краевых условий (1.11) достаточно удовлетворить пх лишь на L, и мы вправе записать

периодической функцией.

На основании равенств (1.7), (1.8), (1.10) краевые условия

X„, Ym— компоненты вектора напряжения, заданного на L.

12

Так же как во второй краевой задаче, при выполнении функ­ циями ф(г) и ф(г) условий (1.7), (1.8) равенства (1.14) можно упростить. Имеем краевое условие первой основной задачи

средними напряжениями <Оц>, <Oi2> и <022) на площадках, пер­ пендикулярных координатным осям (рис. 1.1.1), формулами

Задание средних напряжений <Sih> эквивалентно равномерно­ му растяжению п сдвигу решетки «на бесконечности». В самом

Тагам образом, главный вектор X + iY сил, действующих на дуге между конгруэнтными точками г п г + ш , (р = 1, 2 ), не за­ висит от z. В частностп, все параллелограммы периодов нагру­ жены по своим сторонам одинаковым образом, соответствующим равномерному полю напряжений aih = <о,Л> в однородной пластине.

§ 2. Интегральные уравнения основных граничных задач

Ниже в постановке § 1 рассмотрим первую и вторую гранич­ ные задачи для решетки.

Первая основная задача L). Если аналитические функции <p(z) и i|)(z), описывающие напряжения и смещения в решетко, удовлетворяют условиям инвариантности (1.7) и (1.8), то как выяснено в § 1, краевые условия первой основной задачи имеют вид (1.15).

*) Мы воспроизводим здесь содержание статьи [64] с некоторыми уп­ рощениями.

13

Таким образом, мы приходим к следующей задаче. По крае­ вым условиям (1.15) определить аналитические в области 3 ) функции <p(z) и ij).(z)i удовлетворяющие условиям инвариантно­ сти (1.7), (1.8) и условиям существования заданных средних напряжений (1.17).

При конструировании искомых аналитических функций исхо­ дим из представлений Д. И. Шермана [76] (см. также [46])

4

Смысл этих представлений заключается в том, что искомые функции выражаются через одну комплексную функцию <о(0 > причем таким образом, что для определения о (t) получается эк­ вивалентное исходной краевой задаче интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

Формулы (2.1) получены для конечной многосвязной обла­ сти, однако их можно обобщить и на случай неограниченной бес­ конечно-связной области 2 ), если ввести интегралы с квазнпериодическими ядрами (57, 74, 88]. Имеем

+2 bj [£ (z — Zj) + P x (Z — Zj)} + Bz,

3=1

= {© j(i), t ^ L j} подлежат определению. Направление интегриро­ вания — по часовой стрелке.

‘) В [48] введена функция, совпадающая по существу с (z).

44

Так определенные функции q>(2) и -ф(и) существуют и аналитичыы при любом Покажем, что представления (2.2) удовлетворяют условиям инвариантности (1.7) (18)

Имеем» в силу (П.1.5), (П.2.9),

ф (2 + Юр) — ф (г) = Лсор + Ь6р,

( 2.2),— двоякопериодические, а смещения — кваэипериодические функции в 2D.

Определим теперь постоянные Re .4 и В из условия сущест­ вования в решетке заданных средних напряжений <ол>.

Получаем лз (1.17) с учетом (1Л0) и (2.3) 2coi Re А + Воц + 66i + by|— a6i =

= —ioi [<5 i2> + <B22> exp(ia)], (2.4)

2a)2 Re A 4- В co2 + 662 + Ьуг — лб2 = il©2I [<£ц> + <<S'i2> exp(ia) ].

Соотношения (2.4) содержат четыре вещественных уравне­ ния относительно трех неизвестных Re Л, Re В и Im B . Умножив первое, уравнение (2.4) на юг, а второе — па ©1 и вычтя затем одно из другого, получим с учетом (П.1.6) и (П.2.11)

(2.5)

Здесь F = ©I Im ю2 — площадь фундаментальной ячейки. ^ Аналогичным образом, умножив первое из уравнений (2.4)

на ©2, а второе — на соi и вычтя затем одно из другого, находим

где функционал а задан в (2.3).

Таким образом, при выполнении условия (2.7) представления (2.2) с постоянными Re А и В, определяемыми формулами (2.5) и (2.6), обеспечивают существование в области Ф заданных

15

средних напряжений <0i*) и тем самым гарантируют равенство нулю главного вектора и главного момента всех сил, действую­ щих на границе фундаментальной ячейки.

При составлении интегрального уравнения относительно функции со (t) мы будем опираться на формулы Сохоцкого — Племеля для интеграла типа Коши [3, 47]

Так как дзета-функция Вейерштрасса в основном параллело­

Подставляя предельные значения (2.11), (2.12) в краевое условие (1.15), приходим к интегральному уравнению

16

На самом деле всякое решение уравнения (2.13) автоматиче­ ски удовлетворяет этому условию, если только главный момент сил, приложенных к L , равен нулю ').

Для доказательства умножим левую и правую части (1.15) на

В нашем случае главные векторы усилий, приложенных к каждому из контуров L it равны пулю. Поэтому согласно (1.10) главный момент сил, действующих па L, имеет вид

ния (2.13) имеет производную, удовлетворяющую условию Гельдера. В этом случае всякое непрерывное решение ©(£) имеет производную о/(г), также удовлетворяющую условию Гельдера.

В § 5 будет доказано, что уравнение (2.13) всегда раз­ решимо.

Результаты расчетов. Приведем некоторые результаты чис­ ленной реализации построенного алгоритма. Вычисления прово­ дились для прямоугольной, квадратной и ромбической решеток с соответственно эллиптическим* чечевицеобразным и круговым от­ верстиями в ячейке. Контур отверстия предполагался свободным от сил, а средние напряжения <a<fc> ¥= 0.

На рис. 1.2.1 даны эпюры распределения нормального напря­ жения ов вдоль контура эллиптическое отверстия (£i =R \ cos О,

и 1.2.3 соответственно.

') Здесь уместно напомнить, что представления (2.2) сконструированы таким образом, что (при выполнении условия (2.7)) главный момент сил, действующих на коптуре фундаментальной ячейки, равон нулю.

18

19

Распределение напряжений на контуре прямоугольной ячей­ ки дано в табл. 1.2.1. Значения напряжений вычислены в точ­ ках, указанных на рис. 1.2.4.

Рис. 1.2.5. Распределение нормального напряжения Оо вдоль контура кру­

Рис. 1.2.6. Раснределенпе ao вдоль'контура кругового отверстия радиусом R в ромбической решетке при <о22> = 1, <Оп> — <012) — О

20