книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

ния (4.11) в классе Я *, удовлетворяющее условию (4.13),

если

оно существует, единственно.

Для доказательства, как обычно, рассмотрим соответствующие

уравнениям (4.10)

и (4.11)

однородные уравнения. Их решения,

удовлетворяющие

условиям

(4.12) и (4.13), обозначим

через

ад-о,

I Z m "

(5Л)

для задачи о продольном сдвиге

Fo(z) = 0.

(5.2)

Здесь 8i, 82 — произвольные вещественные

постоянные,

связан­

ные соотношением

xi +

1c

_ * + 1

(5.3)

И,

1

Р

Фо(г) = 0.

(5.4)

<в0(*) = 0, t& L tU L i.

(5.5)’

m (t) = Eo/X,

(5.6)

Подставляя

(5.6) в

выражение

для

Ео из

(4.6), получаем, что

и, следовательно,

Е 0 = 0

(5.7)

©о(0 = 0,

/ s L

3 ULi.

(5.8)

Равенства

(5.6),

(5.8) доказывают первую часть утверждения.

кого— Племеля

скачок фушщпи

(4.7)

при переходе

через гра­

ницу L и сравнить с (5.2). Получим

ро(0 =

0.

(5.9)

Остановимся теперь па случае %— 0

(случай абсолютно жест­

кого включения). Интегральные уравнения

(4.10), (4.11) и пред­

ставления

(4.6),

(4.7) сохраняют

своп

вид

(представления при

этом имеют смысл, конечно, только в Ф ) . Величина

Е пропор­

циональна углу поворота включения, как жесткого целого.

Так же, как и ранее, в силу (1.6) для задачи об обобщенной

плоской деформации

'iro(z)= 0,

<D0(z) = ie2,

(5.10)

для задачи о продольном сдвиге

Fo(s) =

0,

(5.11)

Поскольку представления

(4.6). соответствуют нулевому вра­

щению элементарной ячейки, то е2 равно пулю. Отсюда

Фо(г) = 0,

Е о = 0.

(5.12)

Сравнивая (4.6) с (5.10), (5.12) н используя формулы Со­

хоцкого — Племеля, выводим, что

а также

со0(0 =

0,

* е £ 2,

_

(5.13)

h i

(0 + Хз (0 = К

(0 +

“ о WJ Ц- -

(5.14)

X i ( 0 = —

(0* t^ L z^ L ^ .

Здесь Xi(0» Х г(0 _

предельные значения некоторых

голоморф­

ных в

(имеется в виду сплошная область, без разреза Ь\)

функций. Исключая из (5.14)

плотность ©о(0> приходим к одно­

родной краевой задаче

r l (0 + 5 h l + - f [ * » Й + ь ® ] - 0’

решение которой есть [18]

X t(z )= ie3,

Х2(z) = 0,

z&SDu

дела материалов расположены разрезы), то уравнения

(4.10),

(4.11)

превращаются в

классические

сингулярные интегральные

уравнения с разрывными коэффициентами

[19]. Нетрудно пока­

зать,

используя

методы

[19], что в

рассматриваемом

случае

уравнение

(4.10)

совместно с условием

(4.12) и уравнение (4.11)

совместно

с условием (4.13) разрешимы

единственным

образом

в классе Н* с порядками особенностей в

узлах 1/2 ±(i/(2n) )Х

Х1п[(Л + х)/(1 + Ы \ )] и 1/2 соответственно.

§ 6. О численной реализации

сингулярных интегральных уравнении,

заданных ла кусочно-гладких лилиях

В

§ 4 двумерные краевые задачи теории упругости для изо­

тропной кусочно-однородной среды с

разрезами были

сведены

выходящий из матрицы на линию раздела;

идеальпый кон­

такт материалов имеет место как на L4, так и иа

т. е. на всем

вие отсутствия усилий иа берегах разрезов

(вторая часть

(4.11))

записывается на Ьг.

Условие однозначности перемещения из

приобретает

вид

(6. 1)

В окрестности точки

с2 плотность p(t)

имеет корпевую осо­

бенность [19].

Представим p{t) в следующем виде:

m

wi (s)

,

t e r ,

РW------ -----

[s idi ~ s)]v

( 6. 2)

p {t):

IM S>

t GE La.

V^(d2 -

S)v’

Здесь s — дуговая абсцисса, изменяющаяся

при обходе коптура

Г (паянная с точки с)

против часовой стрелки от нуля до d\,

при обходе коптура Ь2-^от нуля (точка

с2) до d2 (точка с);

d\, d2— длины контуров Г и Ьч\

w\(s), w2{s) — функции, удов­

летворяющие условию Гельдера на Г и L2 соответственно.

Выделяя при помощи известных асимптотических формул для

интегралов

типа Коши

[19] в интегральном уравнении (4.11)

слагаемые,

ведущие себя вблизи точки с как 1/рт, где p = lf —с|,

cos [ул + 2 (1 — у) ф] + cos(ул) = 0.

(6.4)

Отметим, что (6.4) с точностью до

обозначений совпадает с со­

ответствующими трансцендентными

уравнениями, полученными

функций)

[33].

Подставляя

(4.7) в

(4.1)

и выделяя слагаемые, ведущие себя

как

1/рт

вблизи

точки

с, где р — |z —cl, и слагаемые, ведущие

себя

как

1/Vp вблизи

точки

с2, где p = lz —с2|, получаем фор­

касательной, равны

т

М < )

_

т

w* (0)_

(6.5)

С

(1 + X) sin (уя) У d,pv ’

С-

2d?VР

Формулы

(6.5) дают явное выражение

коэффициента

интен­

сивности напряжении К 3 [33]

через

значения решения

инте­

фигурирующих в

(4.11) интегралов позволяет получить

следую­

щую информацию о поведении функций

w\ (s) ,

W2(s) в

окрест­

ности точки с.

функцию w\(s) при s, близких

Представим

к пулю,

в

виде

H>I (S)= M»I (0 )+ » i(s).

Очевидно, что

HI(0) = 0. Вблизи нуля функция

t»i (s) ведет

себя

как se, где е =

1 + у —Yi. Значение у определяется трансцендент­

ным уравнением

(6.4), зпачение уi — следующим трансцендент­

ным уравнением

(предполагается, что 0 <

Yi < 1):

cos [у р + 2 (2 — Yi) <p] +

cos (у,и) = 0.

мые функции Ю|(я), w2{s) в ви­

де полигонов (кусочно-линей­

ных фупкцин). При этом ненз-

вестиы.мп

являются

значения

функции w\{s), w2(s) в узлах

разбиения

(узловые

зпачення

полигонов), в том числе и значе­

ния ю\ (0), w|(d i), шг(0), w2 {d2) .

Если

е < 1, т. е. если

пер­

вые

производные

искомых;

функций не ограничены вблизи

Рис. 6.6.1. Прямоугольная ячейка с

точки с, то будем на прилегаю­

щих к точке с сегмептах

ра­

волокном эллиптического поперечпо-

го сечения, к которому со стороны

зыскивать

функции wi (s), w2(s)

матрицы подходит разрез а с

в виде соответствующих

сте­

пенных функции.

нов. В качестве точек

коллокации используем на Ь2 срединные

точки образовавшихся при разбиении сегментов,

на Г — гранич­

ные точки сегментов

(за исключением точек,

совпадающих

с течкой с).

Рпс. 6.6.3. Коэффициент иптенсив-

Рпс. 6.6.4

Коэффициенты пнтенспв-

ностп

для той же композиции и

пости

iq

Ц К32

для волокпистого

при тех

же условиях, что п па

КМ

с '

прямоугольной

укладкой

рис. 6.G.2

{hlh = 2)

волокон эллиптического

сечеяяя

(а/b = 2)

прямым

углом (ф = 1Г./2) на контур включения

(рпс. 6.6.1). От­

ношение модулей сдвига матрицы н включений равно

X = 1/3,

.что

соответствует композиции

типа

сталь — алюминий. При

этом

=

1/3, Yi = 2/3. Средние напряжения в структуре

<0|з> =

= 0,

<а23> = 1.

ковки включений.

Рис. 6.6.2,

6.6.3 соответствуют случаю круговых включений

и квадратной

решетки

(а/й =

1,

/|/?2 =

1),

рис.

6.6.4 — случаю

эллиптических

включений и

прямоугольной решетки

(а/& = 2,

h lh = 2) при той же относительной площади, занимаемой

вклю­

чением в параллелограмме периодов.

§ 7. Эффективные упругие постоянные

регулярно армированного волокнистого

композиционного материала

Вычисляя

средние

компоненты

тензора

деформации

(1.5)

в структуре при помощи представлений

(4.6),

(4.7),

(4.9), па-

ходим

+

я (х -| -1) Re (Ъ -

а) ]— ve33>

<e„> = ± [ - <

' ll> + *

+ i * <

°

^

n >) +

,

я (х -М ) Re (b +

а)1

(7.1)

+

F

\ ~

2<ец> = -^ [< а 13> +

2^

]

,

2 < « » > --£ -[< » * > + 5 ! ^ ] .

Подчеркнем, что соотношения

(7.1). справедливы при любом на­

<стзз>

JJ*зз^ 1 dx2= -JrjJ{2р (xlt х2) [1 + v (xv x2)] e33 +<рЧ

n o

+ 4v (xl, x2) Re Ф (z)} йхг dx2t (7.2)

ш ( г ) , p { t ) .

в этом параграфе, что h(t) s= 0. т. е. что

Считаем далее

во­

локна посажены в

матрицу без натяга и что, следовательно,

на­

Рис.

6.7.1.

Эффективный относи­

Рис. 6.7.2. Эффективные относи-

тельный модуль сдвига волокнис­

’ тельные

модули

сдвига

КМ с

того

КМ

тетрагонального строе­

прямоугольным

расположением

ния

(hlh

=

1)

с волокнами эл­

(hlh = 2)

волокон эллиптическо­

липтического сечения.

Отноше­

го сечения. Сплошные линии со­

ние

pi/р, =

6,46,

что соответству­

ответствуют величине

<Gi3>/G,

ет композиции

типа

боралюми-

штриховые — <G23>/G. Отношение

ппл

P.V =

6,46

<еп ) =

<ап)<оп> + <ai2><022> +

<013X033) + <ai6><ai2>,

<g22> =

<a21)< 0 ]i) +

<a22><022> +

<Я2з)<Озз) +

<Й2бНЩ2>,

<g33> =

<Дз]><Оц> +

<032X022) +

<033X033) +

<0зб)<012),

2 <023> =

<044X023) +

<045><01з),

(7 .3 )

2 <б13) — <054X023) +

<056><01з).

1 4 э . И . Гр и голю к, Л . А . ФИЛЫПТ11НСЮ1Й

2 °Э '

b/ li° < u l / 1

/ /

ГК°>5

// / /1/

V2

I

____

' 0

0,2

a/lj

Рис. 6.7.3. График <Gt3>/G для

КМ

тетрагонального

строения

тшпше модули сдвига КМ с пря­

(l2 =

11) с Болокнамп эллпптиче->

моугольной (/,//о = 2)

укладкой

ского сечепия. Отношение pi/p, =

волокон эллиптического

сечения.

= 129, что соответствует

компо­

Параметр р,/ц = 129. Сплошные

зиции типа борэпоксида

кривые построены для

<G|3>/G,

штриховые — для <G23>/G

упругие

постоянные

<а,А>

(/,

к =

1, ...,

6)

вычисляются по опи­

санному

выше

алгоритму

через

несколько

функционалов,

опре­

I

деленных

на

являю­

щихся

решением

урав­

нении (4.10), (4.11) со

стандартными

правыми

J

частями

плотностях

<B'(i) и p (t).

Результаты

расчетов.

_ _

_ i_

_ _

_ ■_ _ _

_ _

_i _ _

_ _

Ниже

приведены

_некоторые

численные

0

0,5

7,0

1,5

w1=2

результаты,

характери­

Рис. 6.7.5. Схема ячейки гибридного КМ

зующие

влияние

гео­

метрических

и

упру-