книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

я формулы (8.11) получаем

( 8.12)

е* =

0.

Подставляя

выражение

для ©о(0

из (8.11) с учетом (8.12),

(8.10)

и (8.3)

в первое

равенство

(8.4)и во

второе

равенство

(8.1),

находим

d\ — (I2 =

0.

(8.13)

Отсюда, в силу (8.2), имеем

с?» fa, (4) Л®-О

</-1. 2...... *)•

(8.14)

ч

Накопец, подставляя

в

(8.14) выражение

(8.11)

с учетом

(8.12), находим

dj = 0,

т. с. © 0(0“

0.

Этим завершается доказательство разрешимости интеграль­

ного уравнения первой основной задачи (2.14).

Вторая краевая задача. Покажем, что

интегральное уравне­

ние (5.11) всегда разрешимо. Для

этого

рассмотрим соответст­

вующее ему однородное уравнение.

Положим

■b*N (t) = h(t) - у С 4(t) Re [ (щ +

Ша) dt +

£,

+ <Оц>Л (0 +

<<т22> F , (0 + <0f13> F a (t) = 0.

(8.15)

Можно показать путем довольно громоздких вычислений, что

(8.15)

эквивалентно равенству

пулю средних

напряжений <о(Л>

и смещений ui,

па L.

Приписывая решению однородного уравнения ©(f)

и соответ­

основапий (5.1) и

(7.2)

'Ф“><*■>= Hij “•wк (<1~ Ч ) ~ 1

(«.)]*1+ 4*i =

(4 ) = 2ni (

(0

а*1Ч (01С (Ч

Ч) ^Ч +

=

d2,

где d\ и di. удовлетворяют соотношениям (7.3).

Сравнивая приращения левых и правых частей в

(8.46)

при

переходе

от точки

z

к

конгруэнтной

точке

z + сот

( т = 1,

2),

находим

4

- 4

- 0 ,

4 -

4

- 0 .

(8.17)

Введем регулярные соответственно в

и ЗУ'*'* функции

т ф‘ <*■> -

5Й !

“ • « 1C (»1 — zi) — £ (У) Л , -

d„

а

*

J

г

____

(8.18)

7

Фа w- т

J 1М»(*) - а*шо(01£(*,- *,)d t2 -

Ф° (<j) -

уф ? &) =

©0 (<) +

(8.19)

Ф2°(t2) -

у фа Pi) =

Ь*<М9 ~

(0 +

Подставляя

сюда

значение

Фт(*т)

и

исключая

затем

(Do{t),-

получаем

щ р ) =

tO*(ti);

(8.20)

«*ф ; (*,)+ ь*ф Г&) +

ф * ( д

= о.

(8.21)

Отсюда

следует, что

Ф* (zx)

и

Ф2 (z2)

дают

решение

вто­

рой основной задачи теории упругости для

области

Ф\ при

ну­

левых смещениях на границе.

На основании теоремы единственности имеем

Ф?(*1) - Й ,

Ф*(л2) = Й*,

(8.22)

где

з

Re 2

Рт$т — 0,

Re 2

Qmdm = 0.

т=1

т=1

Из (8.22), (8.20) (находим

со0 (0 = id*.

(8.23)

Подставляя юо(0

из

(8.23)

во второе

равенство

(8.16),

по­

лучаем с учетом (8.17),

что (fc =

0. Но в таком .случае соотноше­

ния (7.3) принимают вид

Re (ijp i) =

0,

Rc (d|

) = 0.

(8.24)

Определитель этой системы

РхЧх -

ЯхPi =

(Р№ -

№ *) ф 0-

(8.25)

Отсюда имеем

'

й

=

0.

(8.26)

Первая формула (8.18)

с учетом

(8.23)

дает

dt =

id*.

(8.27)

Сравнивая (8.23)

с

(8.27)

и (8.26), заключаем,

что

ш0(£)=»

соответствующими величинами в модельной среде.

Перемещения в

макромодели — линейные функции перемен­

ных xi и Х2, следовательно, имеем

u j ( z + coi)— Щ(z) =

<Di<en>,

u2(z + coij— ва(г) — o)i(<ei2> + <e>),

U i ( z + © 2) — u , ( z ) = < e n > R e c o 2 + ( < e i2> - < e > ) I m © 2,

' ‘ *

u2(z +

ce2) — U2(z) = (<«i2> +

<e>)Re oa2+ <e22> Im. ©2.

Из (1.1)

находим

1

/ чl*+m«

ctg a

, . |z+a)f

<‘ и

>

w|.

- - 5T “*(2)I.

’

2 <<?JS>

= ■£- [1*2 (*) ~

,lz+“ i

ui (z) Г * -

(4 -2>

(z) ctS « f " 1 +

“ 1 (z) | Г

= -2jT [<х

+ V Re ( Л +

5 7 )

“ <а« > ] ’

Щ Г

=

9 г[ (х +

^ Im ( Л + ^5~) +

<ai2>] ’

Щ.|гГ+ >а = -^ [(х +

1)Re(AReо, + Ь62) -

(4-3>

— (х +

1) Im А•Im со, + <a12> Im <о2 — <ст22> Re©,],.

к, |Г“2 =

2?Г К* +

4>Im (А Re "2 + Ь62) +

+

(х +

1) ReА•Im ю2 + <a12> Reю2 — <стл> Im ©2],

х = | -р Л

Подставляя приращения смещений (1.3) в формулы для

средних деформаций (1.2), находим

<«u> = т

-

V ^

Be („ + 26),

< ^ ,> - % ^ - v % - >+ ^ R e (0 -26),

(1.4)

где ^ — площадь параллелограмма периодов,

Е и

-v — модуль

упругости и коэффициент Пуассона материала пластшш.

Введем стандартные решения

системы (1.2.13) o)<ft(t),

опреде­

ляемые соотношением *)

<a(t) = <On>coii(i) +

<022) 0)22(0

+ <012) 0)12(0 •

(1-5)

Соответствующие стандартным

решениям

о)«h(0

функциона­

лы а и 6 обозначим через Aik и B ik.

Можем записать*2)

а =

<оц)Лц +

<022)^22 +

<012) ^ 12,

( 1,6).

Ъ=

<0ц)5и +

<022)^22 +

<Oi2)5l2-

■Соотношения (1.4) с учетом (1.6) дают

<ец> = <ац><ои) +

<<112X 022) +

<aic)<Oi2),

<622) =

< f liiX o n ) +

<<122X022) +

<^26X012),

( 1-7 )

2<е,2) =

<C6iXou) +

<062X^22) + <0бб)<012),

где

<®n> =

4 - +

S

Re(i4*1 +

2Bll)’

<<Zi2> =

— Y

4- £ £ R®(^22 + 2B22),

<^1в) =

^

^

е (-^12 + 2^ I2)'

<a2i> =

—

F

^

Re (^n — 2 5 1X),

<o22) = ~Y

4- Y F Re (^22 — 2f?22),

<a26> = | iR e ( 4 12- 2 J 9 12),

р (0 =

/?11(0<<гп> + P ,2(f)<<Ji2> + Р22(0<022>,

q { t ) =

q " { t ) < a u > + gI2(£)<a,2> + g22(£)<o22>.

(1’8)

Вычислим средний угол поворота фундаментальной ячейки.

Для этого подставим в выражение

<е> из (1.2) приращения со­

ответствующих смещений

(1.3).

Получим

+

2 - ) ] .

(1.9>

Подставляя сюда 1ш Л из

(1.3.7), находим <е> = 0 . .

Таким образом, при выборе 1шА в виде функционала (1.3.7)

среднее вращение фундаментальной ячейки равно нулю.

Завершая построение макромодели, покажем, что коэффици­

енты <а„,> в законе (1.7)

образуют

симметричную, положитель­

ческое равенство (1.4.2) в виде

2>

S H W j d l C i i x . -

=

0,5 F {<*„> <au> + 2 <e12> <a12> + <e22> <a22>}.

(1.10>

Пусть i-e

состояние системы с компонентами напряжения

0п,

а{2, сг22и деформации eJx, е\г, е\2 соответствует ситуации, ког­

да

действует

лишь одно среднее

напряжение

a<= 1

(из

трех

возможных:

0i = <Cu>, a2=<cJ22>,

аз = <сп2^).

Долю

потенци­

стояния па деформациях к-то состояния, обозначим

через

Очевидно, что 9 ik = Эи.

Тогда формулу

(1.10) можно записать так:

S

QiGh^ih =

0.5F

+ 2а3 <е12> + о2 (е22)}*

(1.11)*

i,k

В силу

произвольности средних напряжений o<(i =

1,

2, 3 )г

получаем из (1.11)

<еи У =

у

{<<тп> 9П + ( р 22у ^12 + ( ai 2> ^1з}>

<е22> =

у

{<СГц) Эаг +

(РъгУ'Ргг +

(°12) ^гз}»

(^»^2)

2 <*12 > = - J - (О н ) Эп+

<*22> 5 за +

<^12> Э33}.

Рис. 4.1.1. К осредиепию упругих

свойств пекоторых решеток; а) прямо­

угольная решетка (<Bi =

2, ш2 — 31)

с эллиптическими отверстиями; б) квад­

ратная решетка •(at =

2, о>2 = 20

с чечевицеобразпыми отверстиями;

«) ромбическая решетка

(a>i = 2, со2 =

2ехр (iJi/4)) с круговыми отверстия­

ми радиусом R

Э. И. Григолюк, Л. А. Фильштииский

129

После этого по формулам

(1.7)

вычисляются величины

<аЛ>или

технические

постояшше,

связанные с ними

формулами

[1, 23]

<*«>' ■ < Ь ’

1

< а п > ’

<с'!>=

<ввб>’

^V12)

------

< * 12>

< *« > ------ <Ш.п>

<Я1С>

<а22>’

7 Г ?

<U 3 >

<ЧМ,>"Ш’

<ДС1>

<Д«2>

<%*.!>

( ‘Пм.а') — < Д22>'

Расчеты

проводились

для

прямоугольной (01 = 2,

©2 = 3£),

квадратной

(©i = 2,

o2 =

2i)

и

ромбической

(©i =

2,

02 =

= 2exp(in/4))

решеток

с

эллиптическим, чечевицеобразиым и

Т а б л и ц а

4.1.1. Значения

макромодулеи

квадратной

решетки

с чеченицеобразнымп отверстиями

(й =

л/6, ©j = 2 ,

©2 =

2i, р — R

J R 2)

Д,

(Ы /Е

(Е ;)/Е

(G„)/G

(V..J/V

(4 1,12)

(42,12)

0,6

0,428

0,704

0,355

1,001

0 .22 .40 -3

-0,9-10-®

Т а б л и ц а

4.1.2.

Значения

макромодулеи ромбической решетки

с круговыми

отверстиями

радиусом R (©х =

2,

со., =

2 ехр (гя/4))

Я.-2Л/Ш,

Ш / Е

{Е .)/Е

(G,s)/G

(v,.)/v

(4l,12>

(4 2 ,i 2)

0,2

0,878

0,878

0,876

1,017

- 0 ,3 0 3 - 10-2

0,410-10-2

0,4

0,592

0,608

0,590

1,099

—0,381-10-1

0,514-10-1

0,6

0,262

0,290

0,251

1,532

-0 ,1 5 8

0,202

0,7

0,102

0,114

0,085

2,275

- 0 ,2 9 8

0,352

круговым отверстиями в

ячейке

соответственно

(рис. 4.1.1) при

v = 0,3.

На рис. 4.1.2—4.1.5 представлены кривые относительных

макромодулей <Е}>/Е, <£2>/Я,

<GI2>/G

(р, =

G)

и vi2/v

соответ­

ственно для

прямоугольной

решетки

с

эллиптическими

отвер­