- •Якушевич Л. В.
- •ISBN 978-5-93972-638-2
- •http://shop.rcd.ru
- •Оглавление
- •Структура ДНК
- •1.1. Химический состав и первичная структура
- •1.2• Пространственная геометрия и вторичная структура
- •1.3. Силы, стабилизирующие вторичную структуру ДНК
- •1.3.1. Водородные взаимодействия
- •1.3.2. Стэкинговые взаимодействия
- •1.3.3. Дальнодействующие силы внутри и снаружи сахарофосфатного остова
- •1.3.4. Электростатическое поле ДНК
- •1.4. Полиморфизм
- •1.5. Третичная структура
- •1.5.1. Суперспираль
- •1.5.2. Структурная организация в клетках
- •1.6. Моделирование структуры ДНК
- •1.6.1. Общие замечания
- •1.6.2. Иерархия структурных моделей
- •1.7. Экспериментальные методы исследования структуры ДНК
- •Динамика ДНК
- •2.1. Общая картина внутренней подвижности ДНК
- •2.2. Крутильные и изгибные движения
- •2.3. Динамика оснований
- •2.3.1. Состояние равновесия
- •2.3.2. Возможные движения оснований
- •2.4. Динамика сахарофосфатного остова
- •2.4.1. Состояние равновесия
- •2.4.2. Возможные движения сахарофосфатного остова
- •2.5. Конформационные переходы
- •2.6. Движения, связанные с локальным разделением нитей
- •2.6.1. Раскрытие пар оснований вследствие вращения оснований
- •2.7. Моделирование динамики ДНК
- •2.7.2. Иерархия динамических моделей
- •2.8. Экспериментальные методы изучения динамики ДНК
- •2.8Д. Раман-спектроскопия
- •2.8.2. Рассеяние нейтронов
- •2.8.3. Инфракрасная спектроскопия
- •2.8.4. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •2.8.5. Микроволновое поглощение
- •2.8.7. Эксперименты по переносу заряда
- •2.8.8. Эксперименты с отдельными молекулами
- •Функционирование ДНК
- •3.1. Физические аспекты функционирования ДНК
- •3.2. Интеркаляция
- •3.3. Белок-нуклеиновое узнавание
- •3.4. Экспрессия генома
- •3.5. Регуляция генной экспрессии
- •3.6. Репликация
- •Линейная теория ДНК
- •4.1. Основные математические модели
- •4.1.1. Линейная модель упругого стержня
- •4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
- •4.1.1.3. Изгибные движения
- •4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
- •4.1.2.1. Дискретный случай
- •4Л.2.2. Непрерывный случай
- •4.1.3. Линейные модели более высоких уровней иерархии
- •4.1.3.1. Модели третьего уровня
- •4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)
- •4.2. Статистика линейных возбуждений
- •4.2.1. Фононы в модели упругого стержня
- •4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.1.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.1.3. Корреляционные функции
- •4.2.2. Фононы в модели двойного стержня
- •4.2.2.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.2.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.2.3. Корреляционные функции
- •4.2.3. Фононы в моделях более высокого уровня
- •4.3. Задача рассеяния
- •4.3.1. Рассеяние на «замороженной» ДНК
- •4.3.2. Упругое рассеяние
- •4.3.3. Неупругое рассеяние
- •4,4. Линейная теория и эксперимент
- •4.4.1. Флуоресцентная деполяризация
- •Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
- •5.1. Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
- •5.2. Нелинейные модели упругого стержня
- •5.2.1. Модель Муто
- •5.2.2. Модель Христиансена
- •5.2.3. Модель Ичикавы
- •5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня
- •5.3.1. Общий случай: гамильтониан
- •5.3.2. Общий случай: динамические уравнения
- •5.3.ЗЛ. Дискретный случай
- •5.3.3.3. Линейное приближение
- •5.3.3.4. Первый интеграл
- •5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
- •5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
- •5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
- •5.3.6. Модель Барби
- •5.3.7. Модель Кампы
- •5.4. Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
- •5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
- •5.4.2. Модель Волкова
- •Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели
- •6.1. Модели, учитывающие влияние окружающей среды
- •6.1.2. Частные примеры
- •6.1.3. ДНК и термостат
- •6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК
- •6.2.1. Граница
- •6.2.2. Локальная область
- •6.2.3. Последовательность оснований
- •6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК
- •6.4. Модели, учитывающие асимметрию ДНК
- •Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
- •7.1. ПБД-подход
- •7.2. Приближение идеального газа
- •7.3. Задача рассеяния и нелинейные математические модели
- •7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
- •7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона
- •Экспериментальные исследования нелинейных свойств ДНК
- •8.1. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •8.2. Резонансное микроволновое поглощение
- •8.3. Рассеяние нейтронов и света
- •8.3.2. Интерпретация Баверстока и Кундалла
- •8.4. Флуоресцентная деполяризация
- •9.1. Нелинейный механизм конформационных переходов
- •9.2. Нелинейные конформационные волны и эффекты дальнодействия
- •9.3. Нелинейные механизмы регуляции транскрипции
- •9.4. Направление процесса транскрипции
- •9.5. Нелинейная модель денатурации ДНК
- •Математическое описание крутильных и изгибных движений
- •Литература
- •Предметный указатель
Глава 4
Линейная теория ДНК
Прежде чем приступить к рассмотрению нелинейной теории ДНК, полезно обсудить кратко линейную теорию. Ее можно рассматривать, как первое приближение общего теоретического описания ДНК, а нели нейная теория может рассматриваться тогда как следующее (второе) приближение. Мы начнем эту главу с описания математического базиса линейной теории, который был сформирован в основном математически ми моделями внутренней динамики ДНК. Затем мы продемонстрируем, как эти модели могут быть использованы для решения проблемы стати стики линейных возбуждений в ДНК и задачи рассеяния. В конце главы мы обсудим кратко соотношение между линейной теорией и эксперимен том.
4.1. Основные математические модели
Прежде чем мы начнем, необходимо сделать три небольших замеча ния. Первое касается выбора моделей. Математические модели, рассмат риваемые в этой главе, были выбраны специальным способом. А именно среди разнообразия динамических моделей мы выбрали те, которые яв ляются линейным приближением известных нелинейных моделей. Впо следствии это даст возможность сравнить результаты, полученные в ли нейном и нелинейном приближениях.
Еще одно замечание является очень важным. Модели, которые бу дут рассматриваться в этой главе, мы расположим в порядке возрастания их сложности. Так, мы начнем с наиболее простой модели, называемой моделью упругого стержня. Затем перейдем к моделям второго и более высоких уровней иерархии.
Кроме того, чтобы упростить расчеты, мы ограничимся идеальными
иоднородными моделями, то есть пренебрежем 1. Взаимодействиями ДНК с окружением.
2.Процессами диссипации.
3.Различиями между физическими характеристиками азотистых осно ваний, такими как масса, момент инерции, взаимодействие между
основаниями и другими структурными элементами ДНК. Некото рые элементы неидеальности будут, однако, рассмотрены позднее
вглаве 6.
4.1.1.Линейная модель упругого стержня
Однородный упругий стержень с круговым сечением является про стейшей физической моделью ДНК. Эта модель учитывает три вида внутренних движений: движения, связанные с растяжением, кручением и изгибами. Гамильтониан такой системы можно записать следующим образом
H = HS+ Ht + Hb + Hs-t + Н3-ь + Ht-b, |
(4.1) |
где слагаемые HSi Ht и Нь описывают продольные смещения (stretching), крутильные движения (twisting) и изгибные движения (bending), соот ветственно; слагаемые Hs- t, Н3-ь и Ht-ь описывают взаимодействия между этими тремя видами движений.
Чтобы оценить вклад каждого слагаемого, мы можем воспользовать ся данными, собранными МакКомманом и Харви [13], которые свиде тельствуют о том, что амплитуды и характеристические времена изгибных движений отличаются от тех же характеристик крутильных и про дольных движений на один или два порядка, причем области их зна чений не перекрываются. Таким образом, мы можем пренебречь слага емыми Н3-ь и Ht~b и разделить оставшийся гамильтониан Я на две независимые части
|
Я = Я ^ + Я ( 2), |
(4.2) |
где |
= я2+ Ht + H3- t и ffW = Hb. |
|
|
Чтобы найти точный вид гамильтониана Н ^ \ |
удобно сначала рас |
смотреть дискретный аналог модели упругого стержня [135,218], а затем перейти к континуальному пределу.
4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
Пусть дискретный аналог состоит из цепочки связанных дисков (рис. 4.1), причем каждый диск обладает двумя степенями свободы:
продольными и угловыми (крутильными) смещениями. Эта модель эк вивалентна так называемой модели бусинок-пружинок, широко приме няемой в исследованиях полимеров. Чтобы применить такую модель к ДНК, предположим, что молекула ДНК может быть промоделирована
совокупностью из (N + 1) дисков |
(или бусинок), нанизанных на ось |
(на расстоянии 3.4 А друг от друга |
в случае спирали Уотсона-Крика) |
и пронумерованных от 0 до N Предположим также, что (N + 1) дисков связаны N одинаковыми пружинками.
Рис. 4.1. Цепочка связанных дисков
В линейном приближении, которое справедливо, если амплитуды внутренних движений малы, слагаемые Н3 и Ht имеют следующий стан дартный вид
Hs = |
{М й Ц 2 + К(ип+1 - ип)2/ 2} ; |
Л |
(4-3) |
Н = £ |
{1Ф1/ 2 + k{vn+х - Vnf / 2 } , |
П |
|
где ип и срп — продольные и угловые смещения n -го диска; М и I — масса и момент инерции диска; К и к — коэффициенты продольной и крутильной жесткости.
Теперь остается только получить формулу для слагаемого Hs- t, которое описывает взаимодействие между продольными и крутильны ми движениями дисков. Чтобы найти # s-t, мы могли бы использовать стандартный метод, широко применяемый в теоретической физике. Для этого предположим, что коэффициенты К и к не являются константами,
азависят от крутильных и продольных смещений дисков
кк {(tin+i —ип) ; (v^n+i —g?n)} \
К -> К {{ип+1 - ип) ; On+i - рп)}
Разложим функции (4.4) в ряд по переменным и (<pn+i - ¥>п)
(4.4)
(^П+1 "" ^п)
к |
^0 + ^1 (^п+1 |
^п) "Н ^2 (^n+1 |
^n) Н" |
К |
# 0 Н“ Я]. (^п+1 |
^ п ) Я 2 {рп-\-1 |
(4.5) |
V^n) “Ь |
и внесем эти разложения в первоначальный гамильтониан Я. Ограничиваясь слагаемыми второго порядка малости (в этом случае
соответствующие уравнения линейны), находим, что Hs~t дает только постояный вклад (константу) в общий гамильтониан Я, и мы можем им пренебречь. Таким образом, в рамках данного приближения можно смело предположить, что продольные и крутильные внутренние движе ния являются независимыми. Необходимо отметить, однако, что ино гда исследователи применяют другой подход для построения слагаемого Hs- t. А именно они просто предполагают, что Hs-t является суммой
слагаемых, каждое из которых пропорционально произведению
(wn+i —ип) (tfn+1 — Р п ) - В рамках такого подхода продольные и кру тильные движения не являются независимыми. Однако для упрощения дальнейших вычислений мы будем использовать первый подход. В этом случае динамические уравнения, отвечающие гамильтониану Я, прини мают следующую простую форму
М йп — Ко [ип+\ |
2ип + У'п—i) 5 |
(4. 6) |
1фп — А;о (^ n + i |
— 2срп -j- р п—i) |
(4. 7) |
Кроме того, мы будем предполагать, что выполняются следующие гра ничные условия
Un = |
u n + N ', P n = P n + N - |
(4.8) |
Уравнения (4.6)-(4.7) имеют простые решения в виде плоских волн |
||
и п = |
UnO exp {г (qu a — w t ) } ; |
|
(4.9)
Рп = PnO exp {i (qna - ги£)}
Подставляя (4.9) в уравнения (4.6)-(4.7), находим частоты этих волн
w1 = {2Я0 [1 - cos (qa)] /М] ;
wt = {2/со [1 - cos (да)] //}
4.1.1.2. Продольные и крутильные движения: непрерывный случай
Теперь давайте перейдем от дискретного случая к непрерывному, то есть от модели цепочки дисков к модели упругого стержня. С матема тической точки зрения такая процедура правомерна только в том слу чае, если мы предполагаем, что искомые решения являются гладкими функциями, то есть они изменяются медленно на расстояниях, равных расстоянию между двумя соседними дисками. В этом случае мы можем перейти к пределу а —►0 в уравнениях (4.6)-(4.7).
Чтобы выполнить эту процедуру, удобно сначала переписать урав нения (4.6)-(4.7) в виде
(М /C L ) ип = |
К 0а (un+i — ип) /а |
— Коа (ип —ип—\) / а \ |
(4.11) |
{I/а) фп = |
2 |
2 |
|
ко a (<pn+i -<рп)/а |
- h a ( р п - P n - i ) /а |
|
Если мы предположим теперь, что а —►О, то коэффициенты уравне ний (4.11) пребразуются следующим образом
М/а—>р; |
Коа —►У; |
I/a—*i\ |
(4.12) |
коа —►С, |
где г — момент энерции, приходящийся на единицу длины; р — линейная плотность; Y — модуль Юнга; С — крутильная жесткость стержня.
В непрерывном пределе (а —>0) продольные и угловые смещения диска (ип и <рп) преобразуются следующим образом
ип(4) |
—►и(па, t) —►и(z, t ) ; |
||
4>п(*) |
|
|
(4.13) |
Ч>(па, t)-+cp (z, t ) , |
|||
а разности |
|
|
|
(<Pn+i ~ ffin)/a2 |
- (<p„ - |
<pn-i) /a 2; |
|
(^n+i ^ n )/a |
(^n |
(4.14) |
|
nn—i )/a |
|||
преобразуются к |
|
И P zz |
(4.15) |
|
^ z z |
||
соответственно. В результате вместо дискретных уравнений (4.11) мы получаем два простых дифференциальных уравнения для продольных и крутильных внутренних движений упругого стержня
putt —"YV>zz)
iptt = Сpzz.
Рис. 4.2. Схематическое изображение двух акустических ветвей в спектре ДНК. Ветвь 1 соответствует крутильным колебаниям с частотой wt, а ветвь 2 соответ ствует продольным колебаниям с частотой гщ
Предположим, что решения уравнений (4.16) имеют вид обычных (линейных) плоских волн
и= и0exp {i (qz - г ^ )} ;
= <роexp {г (qz - wtt)} ,
где ио и гщ, wt — амплитуды и частоты продольных и крутильных волн, соответственно. Подставляя решения (4.17) в уравнения (4.16), мы получаем частоты продольных и крутильных колебаний в ДНК
wi = 0 7 р )1/2<?;
(4.18)
W t = (C/i)1/2q,
где q — волновой вектор, значения которого лежат в интервале
—7г/а ^ q ^ 7г/а, |
(4.19) |
совпадающем с первой зоной Бриллюэна для одномерных кристаллов. Так как число дисков равно АТ, мы получаем N различных решений, отвечающих N различным значениям q в зоне Бриллюэна.
Эти результаты свидетельствуют о том, что в спектре ДНК суще ствуют две акустические ветви. Первая описывает продольные акусти ческие колебания, а вторая — крутильные акустические колебания. Эти ветви показаны схематически на рис. 4.2.