- •Якушевич Л. В.
- •ISBN 978-5-93972-638-2
- •http://shop.rcd.ru
- •Оглавление
- •Структура ДНК
- •1.1. Химический состав и первичная структура
- •1.2• Пространственная геометрия и вторичная структура
- •1.3. Силы, стабилизирующие вторичную структуру ДНК
- •1.3.1. Водородные взаимодействия
- •1.3.2. Стэкинговые взаимодействия
- •1.3.3. Дальнодействующие силы внутри и снаружи сахарофосфатного остова
- •1.3.4. Электростатическое поле ДНК
- •1.4. Полиморфизм
- •1.5. Третичная структура
- •1.5.1. Суперспираль
- •1.5.2. Структурная организация в клетках
- •1.6. Моделирование структуры ДНК
- •1.6.1. Общие замечания
- •1.6.2. Иерархия структурных моделей
- •1.7. Экспериментальные методы исследования структуры ДНК
- •Динамика ДНК
- •2.1. Общая картина внутренней подвижности ДНК
- •2.2. Крутильные и изгибные движения
- •2.3. Динамика оснований
- •2.3.1. Состояние равновесия
- •2.3.2. Возможные движения оснований
- •2.4. Динамика сахарофосфатного остова
- •2.4.1. Состояние равновесия
- •2.4.2. Возможные движения сахарофосфатного остова
- •2.5. Конформационные переходы
- •2.6. Движения, связанные с локальным разделением нитей
- •2.6.1. Раскрытие пар оснований вследствие вращения оснований
- •2.7. Моделирование динамики ДНК
- •2.7.2. Иерархия динамических моделей
- •2.8. Экспериментальные методы изучения динамики ДНК
- •2.8Д. Раман-спектроскопия
- •2.8.2. Рассеяние нейтронов
- •2.8.3. Инфракрасная спектроскопия
- •2.8.4. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •2.8.5. Микроволновое поглощение
- •2.8.7. Эксперименты по переносу заряда
- •2.8.8. Эксперименты с отдельными молекулами
- •Функционирование ДНК
- •3.1. Физические аспекты функционирования ДНК
- •3.2. Интеркаляция
- •3.3. Белок-нуклеиновое узнавание
- •3.4. Экспрессия генома
- •3.5. Регуляция генной экспрессии
- •3.6. Репликация
- •Линейная теория ДНК
- •4.1. Основные математические модели
- •4.1.1. Линейная модель упругого стержня
- •4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
- •4.1.1.3. Изгибные движения
- •4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
- •4.1.2.1. Дискретный случай
- •4Л.2.2. Непрерывный случай
- •4.1.3. Линейные модели более высоких уровней иерархии
- •4.1.3.1. Модели третьего уровня
- •4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)
- •4.2. Статистика линейных возбуждений
- •4.2.1. Фононы в модели упругого стержня
- •4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.1.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.1.3. Корреляционные функции
- •4.2.2. Фононы в модели двойного стержня
- •4.2.2.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.2.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.2.3. Корреляционные функции
- •4.2.3. Фононы в моделях более высокого уровня
- •4.3. Задача рассеяния
- •4.3.1. Рассеяние на «замороженной» ДНК
- •4.3.2. Упругое рассеяние
- •4.3.3. Неупругое рассеяние
- •4,4. Линейная теория и эксперимент
- •4.4.1. Флуоресцентная деполяризация
- •Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
- •5.1. Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
- •5.2. Нелинейные модели упругого стержня
- •5.2.1. Модель Муто
- •5.2.2. Модель Христиансена
- •5.2.3. Модель Ичикавы
- •5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня
- •5.3.1. Общий случай: гамильтониан
- •5.3.2. Общий случай: динамические уравнения
- •5.3.ЗЛ. Дискретный случай
- •5.3.3.3. Линейное приближение
- •5.3.3.4. Первый интеграл
- •5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
- •5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
- •5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
- •5.3.6. Модель Барби
- •5.3.7. Модель Кампы
- •5.4. Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
- •5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
- •5.4.2. Модель Волкова
- •Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели
- •6.1. Модели, учитывающие влияние окружающей среды
- •6.1.2. Частные примеры
- •6.1.3. ДНК и термостат
- •6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК
- •6.2.1. Граница
- •6.2.2. Локальная область
- •6.2.3. Последовательность оснований
- •6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК
- •6.4. Модели, учитывающие асимметрию ДНК
- •Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
- •7.1. ПБД-подход
- •7.2. Приближение идеального газа
- •7.3. Задача рассеяния и нелинейные математические модели
- •7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
- •7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона
- •Экспериментальные исследования нелинейных свойств ДНК
- •8.1. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •8.2. Резонансное микроволновое поглощение
- •8.3. Рассеяние нейтронов и света
- •8.3.2. Интерпретация Баверстока и Кундалла
- •8.4. Флуоресцентная деполяризация
- •9.1. Нелинейный механизм конформационных переходов
- •9.2. Нелинейные конформационные волны и эффекты дальнодействия
- •9.3. Нелинейные механизмы регуляции транскрипции
- •9.4. Направление процесса транскрипции
- •9.5. Нелинейная модель денатурации ДНК
- •Математическое описание крутильных и изгибных движений
- •Литература
- •Предметный указатель
лебаний некоторой моды, а собственные векторы являлись амплитудами смещений отдельных атомов во время этих колебаний. Результирующий спектр фононной дисперсии имеет в этом случае 123 ветви.
4.2.Статистика линейных возбуждений
Впредыдущем разделе мы рассмотрели различные аспекты дина мической теории ДНК. Мы детально описали основные динамические модели, соответствующие им гамильтонианы, уравнения движения и их частные решения в виде плоских волн. Однако хорошо известно, что общее решение любого из уравнений представляет собой не одну, а це лый ряд плоских волн. Таким образом, в общем случае нам необходимо рассматривать не одну, а ансамбль плоских волн (или*фононов). В этой главе мы опишем ансамбли фононов для различных моделей ДНК и об судим проблему статистики.
4.2.1.Фононы в модели упругого стержня
Впредыдущем разделе мы показали, что в первом приближении различные виды внутренних движений ДНК могут рассматриваться как независимые, и общую динамическую задачу можно представить состо ящей из трех независимых задач: задачи о динамике продольных коле баний, задачи о динамике крутильных колебаний и задачи о динамике изгибных движений. В этом приближении задачи о статистике продоль ных, крутильных и изгибных фононов можно рассматривать как незави симые. Для примера мы рассмотрим в этом разделе задачу о статистике ансамбля крутильных фононов. Статистика двух других ансамблей мо жет быть рассмотрена аналогичным образом.
4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
Начнем с построения общего решения уравнений движения. Для этого вернемся к гамильтониану Ht, модельному уравнению (4.7), ими тирующему крутильную динамику ДНК , и линейному волновому реше нию <pn {t) (4.9) с частотой w (t), определяемой формулой (4.10).
Чтобы найти общее решение уравнений (4.7), удобно произвести преобразование от переменных (рп (0 к переменным Qq (t)y которые обычно называют нормальными координатами. Для этой цели предпо ложим, что угловые смещения (рп (t) имеют следующую зависимость от времени
Тогда уравнение (4.14) преобразуется к виду
Iw2v n = - к {трп+1 - 2уп + ^ n_i} ; п = |
(4.52) |
Система (4.59) из N линейных уравнений обладает нетривиальным решением, если
det \Iw26n<n>- АПуП<| = 0. |
(4.53) |
Здесь ненулевые значения коэффициентов Ап%п>равны
Апп —
л |
А |
, |
(4*54) |
■™П,П+1 |
^П,П—1 |
|
|
А корни уравнения (4.53) являются так называемыми частотами нор мальных мод.
Вследствие трансляционной симметрии, полезно сделать следую щую замену
Vn = { Р А 1/2} ехР ({япа) > |
(4.55) |
где q — волновой вектор и его значения лежат в первой зоне Бриллюэна. Уравнение на собственные значения для частот нормальных мод
можно записать тогда в виде
Iw2Tp = |
An,nf exp [iq {р! — п) а] |
(4.56) |
п(с)
Учитывая соотношение (4.54), перепишем уравнение (4.56) следую щим образом
w2lp — {2к (1 —cosqa) |
(4.57) |
откуда для каждого значения q мы находим одно решение w2 (g)
w2 (q) = 2fc(l —cos qa) /I. |
(4.58) |
Таким образом, для каждого w2 (q) существует соответствующий волновой вектор ф. В дальнейшем мы будем записывать его как tp(q). Тогда уравнение (4.56) на собственные значения можно записать как
где A(q) = 2к{1 —cos qa)/I.
В результате общее решение уравнения (4.7) для углового смеще ния <рп (t ) можно записать в виде разложения
у>„ (<) = [ l / ( N I)1/2j |
Qq (t ) exp (iqna), |
(4.60) |
|
Я |
|
где Qq (t ) — вышеупомянутые нормальные координаты.
4.2.1.2.Представление вторичного квантования
Давайте рассмотрим, как изменится в результате преобразования к нормальным координатам первоначальный гамильтониан Hti равный
|
Ht = T + V, |
(4.61) |
где Т и V — кинетическая и потенциальная энергии |
|
|
т = Е { ^ п/2}; |
v = J2{H<Pn+i-<Pn)2/2} |
(4.62) |
г> |
п |
|
Подставляя (4.60) в (4.61), мы приведем гамильтониан Ht к виду |
||
Ht = (1/2) £ |
[QqQ-q + w2 (g) |
(4.63) |
|
Я |
|
Вводя затем импульс Pq = [д(Т — V) /d Q - q], перепишем гамильто ниан (4.63) в виде
Ht = (1/2) £ [.PqP-q + w2q (q) QgQ-q] |
(4.64) |
я |
|
Удобно перейти далее к квантовому описанию при помощи замены
Qq(<) - |
Qq it) = (h/2w 0i ) f 2 (ь, (*) + 6+ (i)) |
; |
|
|
, \ |
\ |
(4.65) |
Pq it) - |
P q it) = i iHw (g) /2 )1/2 (b+ it) + bq (*)) , |
||
где операторы координат, Qq, и импульсов, Pq, удовлетворяют коммута ционным соотношениям
а Бозе-операторы bq удовлетворяют коммутационным соотношениям
L |
1 |
(4.67) |
л |
||
[bq (t) , ЪЧ' (t)J = О. |
|
|
Тогда гамильтониан примет следующий вид |
|
|
Ht = J 2 hw («) { Ч ( * ) ( 0 + 1/2}, |
(4.68) |
|
71 |
|
|
а оператор углового смещения, (рп (t), может быть записан как |
|
|
Фп СО = (h/2NI)1/2 ^ 2 |
(g) / [w (?)]1/2} (ь, (t) + b tg (t)} exp (iqna). |
|
|
|
(4.69) |
4.2.1.3.Корреляционные функции
Обычно корреляционные функции определяют как средние по ста тистическому ансамблю от произведения операторов в представлении Гейзенберга
( а (0 , В (f')} = Sp { А (О В (to exp (~ Й /кв т ) } /5р {ехр ( - Н / к вТ ) }
(4.70) Здесь А и В — операторы. В нашем случае они равны Ьч или Ь+ Символ Sp означает суммирование по всем диагональным элементам матрицы соответствующего оператора. Символ (...) означает статисти
ческое усреднение по большому каноническому ансамблю.
Согласно формуле (4.68), ансамбль фононов ДНК можно описать моделью идеального Бозе-газа. Эта модель хорошо исследована в физике
и уже вычислены корреляционные функции (b(t) |
^6+ (£),&(£')У |
(ь(*),ь+ ( 0 ) . ( ь + Ю .ь + ю )
( М О )А ' (*)) = ф ( 0 ) ,% (* ));
(ъ+ (0), bq' (i)) = n , exp [-ш> (q) t] <5,,,/;
(0), b+, (t)j = (ng + 1) exp [iw (q) t} 6q>q',