- •Якушевич Л. В.
- •ISBN 978-5-93972-638-2
- •http://shop.rcd.ru
- •Оглавление
- •Структура ДНК
- •1.1. Химический состав и первичная структура
- •1.2• Пространственная геометрия и вторичная структура
- •1.3. Силы, стабилизирующие вторичную структуру ДНК
- •1.3.1. Водородные взаимодействия
- •1.3.2. Стэкинговые взаимодействия
- •1.3.3. Дальнодействующие силы внутри и снаружи сахарофосфатного остова
- •1.3.4. Электростатическое поле ДНК
- •1.4. Полиморфизм
- •1.5. Третичная структура
- •1.5.1. Суперспираль
- •1.5.2. Структурная организация в клетках
- •1.6. Моделирование структуры ДНК
- •1.6.1. Общие замечания
- •1.6.2. Иерархия структурных моделей
- •1.7. Экспериментальные методы исследования структуры ДНК
- •Динамика ДНК
- •2.1. Общая картина внутренней подвижности ДНК
- •2.2. Крутильные и изгибные движения
- •2.3. Динамика оснований
- •2.3.1. Состояние равновесия
- •2.3.2. Возможные движения оснований
- •2.4. Динамика сахарофосфатного остова
- •2.4.1. Состояние равновесия
- •2.4.2. Возможные движения сахарофосфатного остова
- •2.5. Конформационные переходы
- •2.6. Движения, связанные с локальным разделением нитей
- •2.6.1. Раскрытие пар оснований вследствие вращения оснований
- •2.7. Моделирование динамики ДНК
- •2.7.2. Иерархия динамических моделей
- •2.8. Экспериментальные методы изучения динамики ДНК
- •2.8Д. Раман-спектроскопия
- •2.8.2. Рассеяние нейтронов
- •2.8.3. Инфракрасная спектроскопия
- •2.8.4. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •2.8.5. Микроволновое поглощение
- •2.8.7. Эксперименты по переносу заряда
- •2.8.8. Эксперименты с отдельными молекулами
- •Функционирование ДНК
- •3.1. Физические аспекты функционирования ДНК
- •3.2. Интеркаляция
- •3.3. Белок-нуклеиновое узнавание
- •3.4. Экспрессия генома
- •3.5. Регуляция генной экспрессии
- •3.6. Репликация
- •Линейная теория ДНК
- •4.1. Основные математические модели
- •4.1.1. Линейная модель упругого стержня
- •4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
- •4.1.1.3. Изгибные движения
- •4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
- •4.1.2.1. Дискретный случай
- •4Л.2.2. Непрерывный случай
- •4.1.3. Линейные модели более высоких уровней иерархии
- •4.1.3.1. Модели третьего уровня
- •4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)
- •4.2. Статистика линейных возбуждений
- •4.2.1. Фононы в модели упругого стержня
- •4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.1.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.1.3. Корреляционные функции
- •4.2.2. Фононы в модели двойного стержня
- •4.2.2.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.2.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.2.3. Корреляционные функции
- •4.2.3. Фононы в моделях более высокого уровня
- •4.3. Задача рассеяния
- •4.3.1. Рассеяние на «замороженной» ДНК
- •4.3.2. Упругое рассеяние
- •4.3.3. Неупругое рассеяние
- •4,4. Линейная теория и эксперимент
- •4.4.1. Флуоресцентная деполяризация
- •Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
- •5.1. Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
- •5.2. Нелинейные модели упругого стержня
- •5.2.1. Модель Муто
- •5.2.2. Модель Христиансена
- •5.2.3. Модель Ичикавы
- •5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня
- •5.3.1. Общий случай: гамильтониан
- •5.3.2. Общий случай: динамические уравнения
- •5.3.ЗЛ. Дискретный случай
- •5.3.3.3. Линейное приближение
- •5.3.3.4. Первый интеграл
- •5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
- •5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
- •5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
- •5.3.6. Модель Барби
- •5.3.7. Модель Кампы
- •5.4. Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
- •5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
- •5.4.2. Модель Волкова
- •Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели
- •6.1. Модели, учитывающие влияние окружающей среды
- •6.1.2. Частные примеры
- •6.1.3. ДНК и термостат
- •6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК
- •6.2.1. Граница
- •6.2.2. Локальная область
- •6.2.3. Последовательность оснований
- •6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК
- •6.4. Модели, учитывающие асимметрию ДНК
- •Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
- •7.1. ПБД-подход
- •7.2. Приближение идеального газа
- •7.3. Задача рассеяния и нелинейные математические модели
- •7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
- •7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона
- •Экспериментальные исследования нелинейных свойств ДНК
- •8.1. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •8.2. Резонансное микроволновое поглощение
- •8.3. Рассеяние нейтронов и света
- •8.3.2. Интерпретация Баверстока и Кундалла
- •8.4. Флуоресцентная деполяризация
- •9.1. Нелинейный механизм конформационных переходов
- •9.2. Нелинейные конформационные волны и эффекты дальнодействия
- •9.3. Нелинейные механизмы регуляции транскрипции
- •9.4. Направление процесса транскрипции
- •9.5. Нелинейная модель денатурации ДНК
- •Математическое описание крутильных и изгибных движений
- •Литература
- •Предметный указатель
первого приближения модель идеального газа и переписать корреляци онные функции (...), которые являются средними по ансамблю солитонов, в следующем виде
( - - - ) = N 3 |
(7.29) |
где N s — среднее число частиц, а скобки (.. .)х |
обозначают усреднение |
по состояниям отдельного солитона |
|
Li
J dZ J d P ( ...)exp ( - E 3/k BT)
(7.30)
dZ J dP exp ( - E s/kBT)
7.3.Задача рассеяния и нелинейные математические модели
Давайте обсудим теперь, каким образом подход, описанный в пре дыдущем разделе, может быть использован для решения задачи рас сеяния. В качестве примера рассмотрим, как и в разделе 4.3, задачу о рассеянии нейтронов. Хотя необходимо отметить, что результирующая формула для динамического фактора имеет общий храрактер и может быть применена для любой задачи рассеяния. В качестве примера мы покажем позднее, как эта формула может быть применена для задачи рассеяния света.
Начнем с формулы (4.106) и выражений для динамических факто ров когерентного и некогерентного рассеяния (4.107), которые являют ся достаточно общими и справедливыми как для линейного, так и для нелинейного случаев. Чтобы рассчитать упругое когерентное рассеяние, воспользуемся однофононным приближением, как мы делали это в раз деле 4.3. Тогда результирующую формулу для динамического фактора
можно записать как |
|
S coh (x ,w ') = (2тrhN) |
1е х р (- 2Щ * ) ^ ^ | exp [- х (Д° - Д°,)] |
9оо |
П П ' |
х J dtexp (iw't) (хщ, (t), |
(0))}. |
(7.31) |
Формула (7.31) во многом похожа на формулу (4.121). Однако, мож но ожидать, что новые результаты вычислений корреляционных функций (xun(t), жтхп/(0)), которые мы предполагаем получить для нелинейного случая, будут отличаться от старых результатов, полученных в главе 4 для линейного случая. Естественно ожидать также, что эти новые ре зультаты будут различны для различных динамических моделей ДНК.
В этой главе мы представим результаты вычислений динамических факторов нейтронного рассеяния, полученные для трех нелинейных мо делей: для простой модели синус-Гордона, предложенной Инглэндером, для спиральной версии модели синус-Гордона и для У-модели.
7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
Модель синус-Гордона, используемая для описания внутренней ди намики молекулы ДНК, была подробно изложена в разделе 5.1, а соот ветствующие динамические уравнения, записанные в безразмерном ви де, обсуждались еще раз в предыдущем разделе (см. формулу (7.14)).
Чтобы облегчить интерпретацию результатов, давайте вернемся к первоначальным переменным z^t. Тогда вместо уравнения (7.14) мы получим уравнение типа (6.1) (или (6.2)), а соответствующее солитонное решение в виде кинка будет иметь следующий вид
Ч>(z , t) = 4 tg-1 {exp [(7/d) (z - v t - г0)]}, |
(7.32) |
где 7 = (1 —v l / c y 1/2; d = al (K / v o f 2
Давайте проиллюстрируем, как вычисляется неупругая компонен та когерентного рассеяния, представляющая наибольший интерес в ис следованиях нелинейной динамики ДНК. Начнем с общего выражения для динамического фактора неупругого когерентного рассеяния, который определяется формулой (4.121). Эта формула может быть преобразована к более простому виду (7.31), так как в случае модели синус-Гордона индекс j можно опустить.
Чтобы вычислить динамический фактор, нам необходимо знать вы ражение для вектора и^, описывающего смещения оснований ДНК из положений равновесия. Это выражение легко получить, если учесть сходство между ДНК и механическим аналогом системы синус-Гордон. В этом случае смещения оснований эквивалентны смещениям маятников и имеют вид
где <рп (t ) — угловое смещение n-го маятника; I — его длина. А формула для динамического фактора неупругого когерентного рассеяния прини мает вид
|
5 coh (x,w') = S± (ж,г*/) + 5ц (ж, гг/), |
(7.34) |
||
где продольная и поперечная компоненты определяются формулами |
||||
5ц (ж, u/) = |
(12X 1/2'X KKN) exp (—2WX) ЕЕ exp [—xza (n —n')] x |
|||
|
n |
nf |
|
|
|
4-00 |
|
|
|
x |
J dt exp (iw't) ((1 - cos <pn (t )), (1 - cos tpn>(0))); |
|||
—OO |
|
|
|
|
S_L (ж, гг/) = |
(l2Xy/27rhN) exp (—2 W X) EE exp [—xza (n — n')] x |
|||
|
n |
n' |
|
|
|
4-oo |
|
|
|
x |
J dt exp (iw't) (sin <pn (t ), sin y?n/ (0)) |
|
||
—OO |
|
|
(7.35) |
|
|
|
|
|
|
В континуальном пределе формулы (7.35) преобразуются к виду |
||||
|
4-оо |
4-оо |
4-оо |
|
5ц (*,«/) = (l2Xx/2nhN) exp(—2Wx) J dz j |
dz' J |
dtx |
||
|
—oo |
—OO |
—OO |
|
x{exp [—ixz (z —z)\ exp (iw't) ((1 —cos ip(z,t) ) , (1 —cosy? (г', 0)))}; |
||||
|
4-oo |
4-oo 4-oo |
|
|
S±(x,u/) = (Pa*/2KhN)exp(-2Wx) J dz J |
dz' J |
dtx |
||
|
—oo |
—oo |
—oo |
|
x{exp[—ixz (z —г')] exp (iw't) (sirup (z^t) ,siny? (z\ 0))}.
(7.36) Теперь давайте воспользуемся приближением идеального газа,
в рамках которого предполагается, что
(7.37)
Здесь Ns — среднее число солитонов. Для величины Ns возьмем значе ние, полученное Куррие и соавторами [286]
Ж = {2Na/d) (Е0/2жкв Т ) ехр ( - Е0/кв Т ) |
(7.38) |
Для |
возьмем формулу |
|
|
+оо |
|
|
<•••>! = {2М0С0К 1(Ео/кв Т ) } - 1 J dpz (...)exp(Es/ k BT), |
(7.39) |
|
—оо |
|
где |
— функция МакДональда. |
|
|
Подставляя (7.32) и (7.38) в (7.36) и учитывая формулы |
(7.39) |
и (7.34), найдем окончательное выражение для динамического факто ра неупругого когерентного рассеяния
Scoh (*,«>') = {2l2adl0 (E0/2kBT)1/2/hC0xzK,(E0/kBT) } e x p (- 2Wx) x
xexp (- E 0/kBT ) {x2 [(nxzd/-y0) / sh (■Kxzd/2'y0)}2 +
+x2y [(пхЛ/'уо) / Ch (■ Kxzd/2'yo)]2exp (-Eolo/keT)},
|
(1 - w,2/x 2zC$) |
(7.40) |
где 7o = |
1/2 |
|
Результат (7.40) был получен для общего («релятивистского») слу |
||
чая. В |
случае низких |
температур (Т < Ео/кв) и малых скоростей |
((wf/x z) С Со), формулу (7.40) можно привести к более простому виду
Scoh (x,wf) = {4l2adEo/hCoxzkBT } exp (—2WX) x
xexp ( - E 0/kBT ){ x l [(7rxzd/'yo) / s h {'Kxzd/2^o)f +
+ x2 [('KXzd/w) /ch (7rxzd/2jo)]2 } exp ( - M OW'Q/2х\кв Т)
(7.41) Заметим, что температура, соответствующая обычным физиологи ческим условиям, так же как и комнатная температура, принадлежат к так называемым «низким» температурам, то есть для них справедли
во |
условие Т |
(Ео/кв ). |
Действительно, если взять значение Ео = |
= |
6 ккал/моль, |
даваемое |
авторами работы [15], и значение кв = |
= |
1,38х10-23 джК-1 , то |
(Ео/кв ) = ЗхЮ3 К. Последняя величи |
|
на |
на порядок |
превышает |
комнатную температуру. Второе условие, |
(w'/xz) «С Со, означает, что формула (7.41) справедлива для солитонных волн, распространяющихся в ДНК со скоростями, много меньшими скорости акустической волны Со (Со = 2х 103 м/сек [231]).
В заключение давайте покажем, что результаты (7.40) и (7.41) мо гут быть использованы и для других задач рассеяния. В качестве приме ра рассмотрим задачу рассеяния молекулой ДНК инфракрасного света.