а уравнение, имитирующее вращательные движения п-го основания во второй цепочке, примет вид

В континуальном пределе уравнения (5.7) и (5.8) преобразуются к виду

3. Решения. Уравнения (5.9)—(5.10) имеют по крайней мере две группы солитоноподобных решений. Первая группа удовлетворяет усло­ вию cpi = ч>2, а вторая — условию ц>\ — —ц>2- В первом случае мы имеем две пары решений: кинк-кинк и антикинк-антикинк, образован­ ные при помощи кинк- и антикинк-решений двойного синус-уравнения Гордона [249]

Во втором случае мы имеем аналогичные пары решений, образованные, однако, кинк- и антикинк-решениями простого синус-уравнения Гордона

4. Интерпретация. Решения уравнений (5.11) и (5.12) тоже опи­ сывают динамику открытых состояний ДНК, но более точно.

Два представленных выше примера могли бы рассматриваться как элементы иерархии нелинейных моделей [250]. Такая иерархия может быть легко построена таким же способом, как это было сделано в преды­ дущей главе. В последующих разделах мы опишем основные нелинейные модели различных уровней такой иерархии.

5.2. Нелинейные модели упругого стержня

Давайте снова рассмотрим однородный упругий стержень с круго­ вым сечением. Такая модель учитывает три типа внутренних движе­ ний ДНК: продольные, крутильные и изгибные движения. Как показано в главе 4, гамильтониан такой модельной системы имеет вид

где слагаемые Н3у Ht и Нь описывают продольные смещения (растяже­ ние стержня), вращательные движения (кручение стержня) и изгибные движения в упругом стержне; слагаемые На-и и Ht~b описыва­ ют взаимодействия между этими движениями. Учитывая вид линейных динамических уравнений, полученных нами в разделе 4.2, можно утвер­ ждать, что ожидаемая общая форма нелинейных уравнений, соответ­ ствующих этому гамильтониану, будет иметь вид

где Uati Us-b, Фt-s, Ф$-ь, Yb-S и У&_( — слагаемые, описывающие взаи­ модействия между внутренними движениями ДНК. Аналитические фор­ мулы для этих слагаемых до сих пор не найдены. Они известны только для нескольких простых примеров, которые могут рассматриваться как частные случаи общей проблемы. Муто с соавторами [251], Христиансен с соавторами [252] и Ичикава с соавторами [253] исследовали такие случаи.

5.2.1. Модель Муто

Чтобы описать модель Муто, вернемся к дискретной версии моде­ ли эластичного стержня и рассмотрим одномерную решетку с решеточ­ ной константой а и с числом решеточных узлов (дисков) N (рис. 1.8 Ь). Пусть продольные смещения дисков из положений равновесия задаются переменными ... ,wn, а потенциал пружинок, соединяющих эти диски, — формулой Тода

Чтобы перейти к континуальному пределу, воспользуемся формулой

H m {T (/n+i ) - 2 T ( / n) + r ( / n-i)} =

полученной Коллинсом [254], Розенау [255] и Хайманом [256]. Здесь /п (t ) — произвольная функция, заданная на узле га, Т — нелинейная функция от / п (L). В континуальном пределе (па —>г; / п (t) —►f (z,t)) уравнения (5.18) сведутся тогда к виду

ми, с одной стороны, представляет собой частный случай более общего уравнения (5.14), в котором учтены только продольные движения. С дру­ гой стороны, уравнение (5.20) имеет вид улучшенного уравнения Буссинеска [257,258] и в солитонном пределе обладает решениями в виде

которые перемещаются со скоростью v ((ЗА/ р)1/2 (|г;| > 1). Максималь­

ная амплитуда таких волн равна 3 (v2 —1) //?, а ширина их обратно про-

1 / 9

порциональна [3/ (у2 —1)] ' jva . Величина zo в формуле (5.21) опреде­ ляет положение уединенной волны в момент времени t = 0.

5.2.2.Модель Христиансена

В1990 Христиансен и соавторы предложили улучшенную нелиней­ ную модель упругого стержня, в которой диски могут двигаться не толь­ ко в продольном, но и в поперечном направлении [252].

Вулучшенной модели предполагается, что продольные и попереч­ ные смещения дисков из положений равновесия задаются переменными

rai,ra2, . , . , ип и 2/i,2/2, • • • ,2/п соответственно. А удлинение (или сжатие) пружинок, соединяющих га-й и (га+ 1)-й диски, дается формулой

Потенциал Тода, имитирующий взаимодействия между дисками, имеет в этих переменных вид

V (гп) = (А/В) [exp (—Вгп) - 1] + Агп

где А и В — константы.

Гамильтониан модели Христиансена можно записать в виде

П= 1

адинамические уравнения, соответствующие этому гамильтониану, при­ мут следующий вид

В континуальном пределе эти уравнения сведутся к двум независимым уравнениям

ным, и его решение в виде уединенной волны имеет вид, аналогичный формуле (5.21).

5.2.3. Модель Ичикавы

Модель Ичикавы и соавторов [253] была предложена для изучения ангармонических эффектов в изгибной динамике балки. Если восполь­ зоваться подходом, основанным на использовании иерархии нелинейных моделей ДНК, модель Ичикавы можно рассматривать как модель перво­ го уровня иерархии. И следовательно, результаты, полученные в рамках модели Ичикавы, можно применить и к ДНК.

Согласно модели Ичикавы, уравнения движения маленького элемен­ та балки А В , показанного на рис. 5.2, можно записать как

где р — плотность материала, S обозначает площадь поперечного се­ чения, S — результирующий вектр напряжения, параллельный оси у, а максимальное давление, параллельное оси х. Предполагается, что S и Р являются константами. Для изгибного момента М мы имеем следующее соотношение [259]