- •Якушевич Л. В.
- •ISBN 978-5-93972-638-2
- •http://shop.rcd.ru
- •Оглавление
- •Структура ДНК
- •1.1. Химический состав и первичная структура
- •1.2• Пространственная геометрия и вторичная структура
- •1.3. Силы, стабилизирующие вторичную структуру ДНК
- •1.3.1. Водородные взаимодействия
- •1.3.2. Стэкинговые взаимодействия
- •1.3.3. Дальнодействующие силы внутри и снаружи сахарофосфатного остова
- •1.3.4. Электростатическое поле ДНК
- •1.4. Полиморфизм
- •1.5. Третичная структура
- •1.5.1. Суперспираль
- •1.5.2. Структурная организация в клетках
- •1.6. Моделирование структуры ДНК
- •1.6.1. Общие замечания
- •1.6.2. Иерархия структурных моделей
- •1.7. Экспериментальные методы исследования структуры ДНК
- •Динамика ДНК
- •2.1. Общая картина внутренней подвижности ДНК
- •2.2. Крутильные и изгибные движения
- •2.3. Динамика оснований
- •2.3.1. Состояние равновесия
- •2.3.2. Возможные движения оснований
- •2.4. Динамика сахарофосфатного остова
- •2.4.1. Состояние равновесия
- •2.4.2. Возможные движения сахарофосфатного остова
- •2.5. Конформационные переходы
- •2.6. Движения, связанные с локальным разделением нитей
- •2.6.1. Раскрытие пар оснований вследствие вращения оснований
- •2.7. Моделирование динамики ДНК
- •2.7.2. Иерархия динамических моделей
- •2.8. Экспериментальные методы изучения динамики ДНК
- •2.8Д. Раман-спектроскопия
- •2.8.2. Рассеяние нейтронов
- •2.8.3. Инфракрасная спектроскопия
- •2.8.4. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •2.8.5. Микроволновое поглощение
- •2.8.7. Эксперименты по переносу заряда
- •2.8.8. Эксперименты с отдельными молекулами
- •Функционирование ДНК
- •3.1. Физические аспекты функционирования ДНК
- •3.2. Интеркаляция
- •3.3. Белок-нуклеиновое узнавание
- •3.4. Экспрессия генома
- •3.5. Регуляция генной экспрессии
- •3.6. Репликация
- •Линейная теория ДНК
- •4.1. Основные математические модели
- •4.1.1. Линейная модель упругого стержня
- •4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
- •4.1.1.3. Изгибные движения
- •4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
- •4.1.2.1. Дискретный случай
- •4Л.2.2. Непрерывный случай
- •4.1.3. Линейные модели более высоких уровней иерархии
- •4.1.3.1. Модели третьего уровня
- •4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)
- •4.2. Статистика линейных возбуждений
- •4.2.1. Фононы в модели упругого стержня
- •4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.1.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.1.3. Корреляционные функции
- •4.2.2. Фононы в модели двойного стержня
- •4.2.2.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.2.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.2.3. Корреляционные функции
- •4.2.3. Фононы в моделях более высокого уровня
- •4.3. Задача рассеяния
- •4.3.1. Рассеяние на «замороженной» ДНК
- •4.3.2. Упругое рассеяние
- •4.3.3. Неупругое рассеяние
- •4,4. Линейная теория и эксперимент
- •4.4.1. Флуоресцентная деполяризация
- •Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
- •5.1. Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
- •5.2. Нелинейные модели упругого стержня
- •5.2.1. Модель Муто
- •5.2.2. Модель Христиансена
- •5.2.3. Модель Ичикавы
- •5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня
- •5.3.1. Общий случай: гамильтониан
- •5.3.2. Общий случай: динамические уравнения
- •5.3.ЗЛ. Дискретный случай
- •5.3.3.3. Линейное приближение
- •5.3.3.4. Первый интеграл
- •5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
- •5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
- •5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
- •5.3.6. Модель Барби
- •5.3.7. Модель Кампы
- •5.4. Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
- •5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
- •5.4.2. Модель Волкова
- •Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели
- •6.1. Модели, учитывающие влияние окружающей среды
- •6.1.2. Частные примеры
- •6.1.3. ДНК и термостат
- •6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК
- •6.2.1. Граница
- •6.2.2. Локальная область
- •6.2.3. Последовательность оснований
- •6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК
- •6.4. Модели, учитывающие асимметрию ДНК
- •Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
- •7.1. ПБД-подход
- •7.2. Приближение идеального газа
- •7.3. Задача рассеяния и нелинейные математические модели
- •7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
- •7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона
- •Экспериментальные исследования нелинейных свойств ДНК
- •8.1. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •8.2. Резонансное микроволновое поглощение
- •8.3. Рассеяние нейтронов и света
- •8.3.2. Интерпретация Баверстока и Кундалла
- •8.4. Флуоресцентная деполяризация
- •9.1. Нелинейный механизм конформационных переходов
- •9.2. Нелинейные конформационные волны и эффекты дальнодействия
- •9.3. Нелинейные механизмы регуляции транскрипции
- •9.4. Направление процесса транскрипции
- •9.5. Нелинейная модель денатурации ДНК
- •Математическое описание крутильных и изгибных движений
- •Литература
- •Предметный указатель
4.3. Задача рассеяния
Теперь попробуем применить полученные в предыдущих разделах результаты к задаче рассеяния. В качестве примера рассмотрим задачу рассеяния медленных (тепловых) нейтронов молекулой ДНК. В разде ле 2.8 мы уже дали общее писание основных черт метода нейтронного рассеяния. Здесь мы представим алгоритм вычисления двойного диффе ренциального сечения рассеяния.
В качестве модели внутренней динамики молекулы ДНК возьмем модель двойного упругого стержня, подробно описанную в разделе 4.1.2. Согласно этой модели, молекула ДНК может рассматриваться как ре шетка, образованная двумя цепочками маятников, имитирующих осно вания ДНК. Сначала рассмотрим идеальную решетку, то есть пред положим, что каждый маятник находится в равновесном положении. Для простоты допустим, что нити маятников прозрачны для нейтронов, и только массы маятников принимают участие в процессе рассеяния. Если рассматривать теперь массы маятников как рассеивающие центры («ядра»), можно воспользоваться стандартной теорией нейтронного рас сеяния решеткой из жестко фиксированных ядер.
Взаимодействие падающего нейтрона, имеющего массу т и коор динату г, с ядром, имеющим массу М и координату JR°J , может быть описано при помощи псевдопотенциала Ферми [233]
VnJ = (2nh2BnJ/m ) 5 {13- Т° ,-), |
(4.102) |
где Bnj — длина рассеяния. Тогда взаимодействие нейтронов с цепоч кой, состоящей из 2N жестко фиксированных ядер, можно описать при помощи потенциала
V = (2тг712/ т ) |
J 2 Bn>i5 (r ~ < * ) |
(4-ЮЗ) |
П |
j |
|
Если позволить ядрам совершать небольшие смещения вблизи по ложений равновесия, то координаты ядер станут функциями от времени
= |
+ |
(4-104) |
где смещения Unj (£) определяются |
уравнениями (4.76). |
Подстав |
ляя (4.104) в (4.103), мы получим обобщенное выражение для потен циала V
V = (2ТГfi2/m ) £ |
£ BnJS (г - |
- Unj) |
*» |
о |
|
А основная формула (2.13) для дважды дифференциального сечения рассеяния примет вид [233]
д2а/ЭПдЕ" = 2N (к"/к') B 2S coh (х, w') +
/— |
_9\ • , |
(4.106) |
+ 2N (к"/к’) (В 2 - |
В J Smcoh (х, w'), |
|
где к' = |fe'l, к" = |fc"|, а к' и к" — волновые векторы падающего и рас сеянного нейтронов соответственно; символ — обозначает усреднение по всем спинам и изотопам; S coh (x,w f) и 5 incoh (x,w') — динамические факторы когерентного и некогерентного рассеяния
|
|
|
+оо |
|
|
S coh (x,w') = (47гHN) |
1 J |
dtexp(-iw't) x |
|
||
|
|
|
—oo |
|
|
|
x X) S |
(exp (~ ixRn,j (° )). exP (ixR n’,r (0))); |
|||
|
n,n' j , j ' |
+oo |
(4.107) |
||
|
|
|
|||
5 incoh (*,«>0 = |
(47rfiiV)_1 J |
dtexp(-iw't) x |
|
||
|
|
|
— OO |
|
|
|
x E |
E |
(exp |
(°)) >exp (ixR n,j (o))) |
|
|
n |
j |
|
|
|
Здесь w’ = {E' - |
E ")/h ; |
S ' = |
(h2k,2/2m ) и E" = (h2k"2/2m) |
- энер |
|
гии нейтронов до и после рассеяния; х = к' —к"; символ (...) |
означает |
||||
усреднение по положениям ядер (или масс маятников, имитирующих основания ДНК).
4.3.1.Рассеяние на «замороженной» ДНК
Вслучае очень низких температур можно предположить, что
= |
(4.108) |
Подставляя (4.108) и (4.107) в (4.106), находим
д2<т/дПдЕ" = 2N (к"/к') B 2S fihc (х, «/) +
+ 2N (к"/к') ( W - В 2) S'lfnrcoh (х, w') ,
где
S}°h (х, W1) = (1/47rhN) Е |
|
Е |
Е |
Е |
Х |
|
|
||
|
П |
|
П ' |
j |
j |
f |
+00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х exp [—ix (R-nj ~ Rn',f)] |
J dtexp(-iw't) = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
—oo |
|
|
= (1/2JV) < E |
Z |
l exP \ r ix ( R n , j - |
Rn',?)} f X |
||||||
|
V П |
|
n f |
|
|
|
|
|
) |
x { E |
E exp [-** К |
- |
4 ) ] |
5 (hw') = |
|||||
l 3 |
o' |
|
|
|
|
|
|
|
|
[(1 + cosX y h ) /N] |
E |
exP {—ixna) |
S ( E '- E " ) = |
||||||
- [2 (1 + cos xyh) /a] S (E1- |
E") ^ 5 { х > - т г) ; |
||||||||
|
|
|
|
+oo |
|
|
|
(4.109) |
|
S}nrcoh {x, w') = (1/AithN) E E |
|
|
|
|
|||||
/ |
л exP(-JW'0 = 6(E'~ E") |
||||||||
|
|
n |
3 _oo |
|
|
|
|
(4.110) |
|
Здесь h = b - 2/, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и эта |
величина |
эквивалентна |
длине Я-связей |
||||||
между основаниями внутри пар оснований ДНК; жу — проекция век
тора ж на ось у\ т — {0;0;27гt'/a} — вектор обратной решетки, |
а £' — |
произвольное целое число. |
|
Тогда сечение рассеяния принимает вид |
|
(da/dn)fr = {da/dSl)p + (da/dn)%coh, |
(4.111) |
где когерентное сечение определяется формулой |
|
(da/dn)cf°* = (AKN B 2/<^ (1 + c o s xyh ) ^ 6 ( x z - T z), |
(4.112) |
а некогерентное рассеяние — формулой
{da/dn)'^oh = 2 N ( W - В 2)
Уравнение (4.112) описывает когерентное рассеяние с острыми пи ками интенсивности рассеянных нейтронов, которые определяются усло вием
х2 = r z, |
(4.114) |
а уравнение (4.113) описывает некогерентное рассеяние, которое не зависит от угла рассеяния и выглядит как простой фон.
4.3.2. Упругое рассеяние
Снимем теперь предположение о низкой температуре и позволим ядрам совершать небольшие смещения около положений равновесия. Для того чтобы вычислить вклад упругого рассеяния нейтронов, мы можем использовать формулу (4.106), выделив из нее слагаемые, зави сящие от времени t. Это можно легко сделать, если переписать корре ляционные функции в формулах (4.107) следующим образом
(exp (~ixR°j (0)) , exp |
(t))) = |
=(exp {-ixRPnd (0)), exp {ixR°n, r (oo))) +
+{(eXP (~ixRn,j (°)) . exP (ixR n',f CO)) -
-(exp { - i x R l j (0)) , exp (ixR°,jr (oo)))}
Азатем оставить только первое слагаемое, ответственное за упругое рассеяние. Запишем это слагаемое в несколько ином виде
(exp {-ixR%tj (0)), exp (oo))) =
= (exp (-iaeH° j (0))) (exp (ixR°, f (oo))) =
= exp (-ixR°n j ) exp (ixR°n,<r) (exp (-ixunj)) (exp ( - ia tv .y )) =
= exp ( - 2 WXtj) |exp (*®Я° j ) |2
(4.116)
где exp(-2Wxj) = (exp(-гж и ^ )) — фактор Дебая-Валлера. Подставляя (4.116) в (4.107) и предполагая для простоты, что WX}1 =
= WX}2 = WXi мы получим
S e?hc (ж, « /)= ex p (-2 W x) [2тг (1+cosxyfe) /а) 5 {Е'-Е") ^ 8 (ж ,-т « );
Tz
5 ‘усо1,(ж,'ш,)= ехр(-2Ж е)(5(£;/ - Е") |
(4.117) |