Глава 6

Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели

Впредыдущей главе мы обсудили в деталях идеальные нелинейные модели ДНК, в которых не учитывалось влияние среды и неоднородно­ сти. Кроме того, в идеальных моделях мы не учитывали спиральность

иасимметрию внутренней структуры ДНК. Все эти эффекты можно было опустить в первом приближении теории, однако они становятся важными, когда мы попытаемся использовать теоретические результаты для объяснения экспериментальных данных по динамике и функциони­ рованию ДНК.

Вэтой главе мы опишем основные подходы и результаты по изуче­ нию этих эффектов.

6.1.Модели, учитывающие влияние окружающей среды

Вобщем случае моделирование взаимодействия ДНК со средой представляет собой достаточно сложную задачу, однако здесь мы обсу­ дим только один простой случай, когда взаимодействие ДНК с окруже­ нием можно свести к двум эффектам: диссипации и действию внешних полей [25]. Мы будем также полагать, что взаимодействие ДНК с окру­ жением приводит к малым возмущениям решений идеальных модельных динамических уравнений. В этом случае можно воспользоваться линей­ ной теорией возмущений. Чтобы упростить расчеты, предположим, что

невозмущенным (идеальным) модельным уравнением является простое синус-уравнение Гордона

которое было предложено Инглэндером и соавторами [15] и детально описано нами в разделе 5.1. Здесь (p(z,t) — угловые смещения основа­ ний ДНК из их положений равновесия ; I — момент инерции оснований;

К — крутильная жесткость; I — расстояние от центра масс оснований до ближайшей сахарофосфатной цепочки; а — расстояние между сосед­ ними парами оснований; г;о — параметр, характеризующий водородные взаимодействия между основаниями в парах.

6.1.1. Общий подход

Более удобно переписать уравнение (6.1) в континуальном прибли­ жении

на только в том случае, если интересующие нас решения изменяются довольно медленно и гладко вдоль ДНК. В частности, это может быть достигнуто, если 2d = 2al (K/vo)1^2 а, где d — параметр, характери­ зующий размер солитона уравнения синус-Гордона.

Предположим, что учет взаимодействия с окружением приводит к появлению двух дополнительных слагаемых в уравнении (6.2). Первое

Здесь (3 = коэффициент затухания//. Второе дополнительное слагаемое имеет вид

Здесь /о = «обобщенная внешняя сила»//. Первое слагаемое называют внутренним трением, второе — внешним воздействием.

Следуя алгоритму линейной теории возмущений, предположим, что ре­ шение уравнения (6.5) может быть представлено в виде

где ip0 (z,t) — решение невозмущенного уравнения (6.2), а ф — малое возмущение (ф ~ е). Для определенности предположим, что (р° (z,t) имеет форму кинка

где 7 = (1 - v2/C g)“"1/2; d = C0/w0.

Подставляя (6.7) в (6.5) и линеаризируя результат по малому пара­

Так как «потенциал» [wgcos<£>0] в уравнении (6.9) является функцией переменной 7(2 —vt) / d, можно ввести новые переменные

Формулы (6.10) описывают преобразование, называемое преобразовани­ ем Лоренца, к новой, подвижной, системе координат. В этой системе функции, встречающиеся в уравнении (6.9), и их производные преобра­ зуются следующим образом

Решение уравнения (6.12) может быть найдено при помощи следующего алгоритма.

а правильность (6.23) легко проверить дифференцированием уравне­ ния (6.2) и сравнением полученного результата с формулой (6.15). Урав­ нения, определяющие коэффициенты <рг (?) (г = Ь, fc), могут быть найде­ ны следующим образом.

Давайте (i) подставим (6.21)—(6.23) в (6.12), (и) умножим результат

При помощи такого же метода можно получить уравнение, определяю­ щее коэффициент <рк (?). Действительно, давайте (i) подставим (6.21)- (6.23) в (6.12), (П) умножим результат на f k (?) и (iii) проинтегрируем по переменной z. В результате получим уравнение

Уравнения (6.25), (6.26), дополненные формулой (6.24), завершают ре­ шение данной задачи. Действительно, подставляя решения уравнений

(6.25)-(6.26) в (6.21), можно найти неизвестную функцию ф (z,7). И на­ конец, после возврата к старым переменным

найдем функцию ф(г^).

Чтобы понять физический смысл полученных результатов, давайте посмотрим на результирующую формулу (6.21). Она состоит из двух сла­ гаемых. Первое слагаемое, d/Scpb (7) f b(‘z), называют солитонной компо­ нентой. Можно показать, что именно это слагаемое описывает движение центра массы солитона. Действительно, давайте вернемся к началу пре­ дыдущего раздела и предположим, что небольшие возмущения, вызван­ ные взаимодействием ДНК с окружением, приводят к двум изменениям в поведении кинкового решения уравнения синус-Гордона. Первым из­ менением является изменение скорости солитона, а вторым — изменение формы солитонной волны. Предположим, что эти изменения носят адди­ тивный характер, и рассмотрим отдельно задачу об изменении скорости солитона, в то время как форма будет оставаться неизменной. То есть рассмотрим случай, когда

где — первоначальная скорость солитона, a Av (7) — изменение ско­ рости солитона. В первоначальный момент предполагается, что солитон неподвижен (в системе координат {г, 7}, которая движется со скоро­ стью v). Если разложить теперь функцию ф(г,1) в ряд Тейлора и учесть соотношение (6.23), то вместо (6.28) получим

Ф(г, t) = 7р° (z) + (& f/d z) (-Avt) +

Сравнивая уравнения (6.29) и (6.21), мы находим, что в первом прибли­ жении изменение скорости солитона, Дг>, будет определяться формулой

Таким образом, солитонная компонента формулы (6.21) действительно описывает движение центра масс солитона.

Второе слагаемое формулы (6.21) называют излучательной компо­ нентой. Она определяет (в основном) изменение формы солитонной вол­ ны вследствие взаимодействия с внешней средой. Это слагаемое могло