6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК

Ь

1*ь z

а

А -Т G-C

Рис. 6.1. (а)‘ Граница между двумя блоками и (Ь) модельная функция A(z), описывающая эту неоднородность

быть, например, граница между областью, состоящей из А-Т-пар осно­ ваний, и областью, состоящей из G-C-nap оснований

. AAAAAAAAAAAAAAAGGGGGGGGGGGGGGG.

.тттттттттттттттссссссссссссссс...

В живых организмах такие последовательности не существуют, но они могут быть синтезированы искусственно. Кроме того, такие после­ довательности могут рассматриваться как первое приближение к реаль­ но существующим последовательностям оснований в фрагментах ДНК,

Для упрощения расчетов будем считать, что идеальной базисной моделью внутренней динамики ДНК является уравнение (6.2). Чтобы учесть неоднородность, имеющую форму границы, мы должны модифи­ цировать это уравнение. Как мы уже упоминали ранее, наиболее общий метод учета неоднородности заключается в замене постоянных парамет­

Для простоты ограничимся рассмотрением случая, когда только один параметр, а именно параметр wo, заменяется на функцию wo{z). Это означает, что мы пренебрегаем различием масс и моментов инерции оснований и принимаем во внимание только различие во взаимодействи­ ях между основаниями внутри пар. Тогда задача с возмущением примет следующий вид

где A(z) = wl(z) - WQ. Для рассматриваемого случая функция A(z) может быть промоделирована следующим образом

где Ао — константа, которая может быть положительной или отрицатель­ ной в зависимости от конкретной ситуации; Q{Z — ZQ) — ступенчатая функция Хевисайда

Модельная функция (6.47) описывает границу между двумя областями, расположенную в точке ZQ. Схематическое изображение функции A (z) для случая Ао > 0 представлено на рис. 6.2 Ь. Это изображение соответ­ ствует случаю, когда область, которая расположена слева от границы, насыщена А-Т-парами оснований, а другая область, которая расположе­ на справа, насыщена G-C-парами оснований.

А -Т G-С А -Т

Рис. 6.2. (а) А-Т двойная цепочка, содержащая G-C-блок конечной длины L = = 2а и (Ь) модельная функция А (г), описывающая эту неоднородность

Чтобы найти изменение скорости солитонной волны, давайте вос­ пользуемся методом теории возмущений, описанным в предыдущем раз­ деле. Тогда мы должны предположить, что решение имеет вид, анало­ гичный формуле (6.7). Применяя затем шаг за шагом описанный выше алгоритм, мы найдем решение задачи, которое может быть представлено в виде разложения типа (6.21) с коэффициентами разложения, опреде­ ляемыми уравнениями

где функции д%(t) (г = Ь, к) имеют вид

в точке z = а (рис. 6.2). Следовательно, модельная функция Л (z) в этом случае равна

Чтобы найти изменение скорости солитонной волны вследствие неоднородности, имеющей форму локальной области, снова предполо­ жим, что соответствующее возмущенное уравнение имеет вид

Ptt — Co<pzz + sin р + A (z) sin р = 0, (6.58)

аналогичный выражению (6.46). Применяя затем шаг за шагом технику теории возмущений, найдем, что решение имеет вид разложения типа (6.21), а уравнения, определяющие коэффициенты разложения, анало­ гичны уравнениям (6.49)-(6.50).

После интегрирования одного из этих уравнений, определяющего

Этот результат показывает, что при Ао > 0 солитон замедляется при про­ хождении через первую (левую) границу и ускоряется при прохождении через вторую (правую) границу.

Мы можем оценить минимальное значение скорости солитонной волны (vmin), которое необходимо, чтобы преодолеть энергетический барьер (Ао > 0) (рис. 6.2) или избежать захвата потенциальной ямой (Ао < 0) (рис. 6.3) и продолжить движение. Для этого введем пара­ метр Д Е, который равен высоте барьера (или глубине ямы), и напишем

где Доп — кинетическая энергия солитона синус-уравнения Гордона, определяемая формулой