Глава 5

Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели

В предыдущей главе мы рассмотрели линейное (или гармоническое) приближение теории ДНК. Оно справедливо, когда амплитуды внутрен­ них движений малы. Если же эти амплитуды велики, необходимо при­ нимать во внимание нелинейные (или ангармонические) эффекты. В гла­ ве 2 мы уже привели несколько примеров внутренних движений боль­ шой амплитуды. Так, конформационные переходы, процессы денатура­ ции, образование открытых состояний в процессах белок-нуклеинового узнавания, образование открытых состояний на первой стадии процесса транскрипции являются лишь некоторыми, наиболее известными приме­ рами движений большой амплитуды.

В этой главе мы представим несколько нелинейных моделей, ко­ торые составляют базис нелинейной теории ДНК, и опишем основные принципы конструирования этих моделей.

5.1.Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения

Мы уже рассматривали основные принципы конструирования дина­ мических моделей ДНК. Они имеют общий характер и справедливы как для линейного, так и для нелинейного случаев. Таким образом, можно утверждать, что алгоритм конструирования нелинейных моделей дина­ мики ДНК тоже будет включать следующие элементы:

1.Отбор основных (доминантных) движений.

2.Конструирование нелинейных дифференциальных уравнений, ими­ тирующих эти движения.

3.Нахождение решений этих уравнений.

4. Интерпретация этих решений.

На практике, однако, после отбора доминантных движений иссле­ дователи часто используют дополнительную стадию: они находят ме­ ханический аналог с теми же видами внутренних движений и взаимо­ действий. Эта дополнительная стадия позволяет упростить процедуру конструирования уравнений.

Давайте* проиллюстрируем такой подход двумя простыми примера­ ми. При этом, как и в предыдущей главе, мы ограничимся рассмотрением только тех идеальных моделей, которые являются элементами иерархии, подробно описанной в разделах 1.6 и 2.7. Другими словами, мы не бу­ дем учитывать влияние окружающей среды, эффекты диссипации, неод­ нородность структуры ДНК и т. д. Условия, при которых такой подход становится некорректным, будут обсуждаться в следующей главе.

Пример 1. Этот пример касается моделирования динамики откры­ тых состояний ДНК. Основные стадии конструирования соответствую­ щих нелинейных моделей следующие.

1. Отбор доминантных движений. Поскольку основной вклад в процесс раскрытия пар вносят вращательные движения оснований, естественно предположить, что именно эти движения должны быть вы­ браны в качестве доминирующих. Для простоты мы ограничимся рас­ смотрением вращательных движений только в одной из двух цепочек ДНК и будем рассматривать вторую цепочку только как источник неко­ торого стабилизирующего потенциального поля.

2. Механический аналог и конструирование уравнения. Механи­ ческий аналог для вращательных движений оснований ДНК был най­ ден Инглэндером и соавторами [15]: для этой цели они использовали простую механическую систему, состоящую из цепочки связанных ма­ ятников, причем каждый маятник мог вращаться только в плоскости, перпендикулярной оси цепочки (рис. 4.4). Такая система была впервые построена Скоттом [232] для демонстрации распространения нелиней­ ных волн.

Вращательное движение n -го маятника механической системы опи­ сывается уравнением

где ipn (t) — угловое смещение n-го маятника; К — крутильная жест­ кость горизонтальной нити; / и т — длина и масса маятника, соответ­ ственно; g — константа гравитационного поля. Если предположить, что

уравнения, имеющие форму кинков и антикинков,

будут описывать открытые состояния ДНК (рис. 5.1). Здесь v — скорость солитона; Zo — произвольная константа.

Необходимо добавить, что кроме решений в виде кинка и антикинка, уравнение синус-Гордона обладает фононными решениями

Q — собственная частота бризера ; v — скорость; Zo, во — произвольные параметры (начальное положение и фаза). Однако интерпретация этих двух видов решений и их роль в динамике и функционировании ДНК пока не ясны.

П ример 2. В этом примере мы снова рассмотрим динамику от­ крытых состояний ДНК, но при помощи более аккуратного (точного) подхода. В этом случае основные стадии алгоритма следующие.

1.Отбор доминантных движений. Чтобы получить более точную модель, мы учтем вращательные движения оснований в обеих цепях ДНК.

2.Механический аналог и конструирование уравнения. Для на­ хождения «механического» аналога необходимо модифицировать модель Скотта, убрав «гравитационное» поле и добавив вместо него вторую це­ почку связанных маятников, взаимодействующих с первой цепочкой при

помощи дополнительных поперечных пружинок, обладающих жестко­ стью к (рис. 4.5).

Дифференциальное уравнение, имитирующее вращательные движе­ ния n -го маятника первой цепочки, примет тогда следующий вид [26]