4Л.2.2. Непрерывный случай

Предполагая, что решения уравнений имеют вид плоских волн,

и подставляя (4.44)-(4.46) в уравнения (4.41)—(4.43), мы находим часто­ ты продольных

w{ = (Ka2q2/ M ) 1/2

wl2 = {(Ka2q2 + 2a) /М } 1/2

крутильных

w\ = (ka2q2/Z)1^2

(4.48)

w2 — {(ka2q2 + 2/3) / / }1/2

иизгибных колебаний

<= (ba2q2/ M ) 112

w% = {(ba2q2 + 27) / М } 1' 2

Таким образом, полный спектр ДНК в этом случае состоит их шести ветвей: трех акустических и трех оптических ветвей.

Существует простая связь между формулами (4.47)-(4.49) и (4.38)- (4.41). Действительно, если разложить функцию sln(qa/2) в формулах (4.38)—(4.41)

и ограничиться первым слагаемым, мы легко получим формулы (4.47)- (4.49).

4.1.3.Линейные модели более высоких уровней иерархии

Многие свойства моделей, описанных в двух предыдущих разде­ лах, присущи и моделям более высокого уровня. Однако математическое описание их становится довольно громоздким, и поэтому мы не будем приводить его здесь, а ограничимся рассмотрением только особенностей, которые отличают динамику моделей более высокого уровня иерархии от динамики моделей первого и второго уровней.

4.1.3.1. Модели третьего уровня

Как уже упоминалось ранее, наиболее точная модель внутренней динамики ДНК требует полного математического описания всех движе­ ний всех атомов ДНК. Однако на практике исследователи часто пользу­ ются упрощенными версиями, которые принимают во внимание движе­ ния субъединиц, состоящих из атомных групп, жестко связанных между собой, но с относительно слабыми соединяющими их упругими связями. Такой подход соответствует третьему уровню иерархии. В этом прибли­ жении динамические модели учитывают движения основных структур­ ных элементов, таких как сахара, нуклеотиды, нуклеозиды, фосфатно­ углеродные фрагменты и т. д., как твердых тел.

Вид динамических уравнений, описывающих эти движения, очень похож на уравнения, рассмотренные в предыдущем разделе, однако ко­ личество этих уравнений будет существенно отличаться. В общем случае оно будет зависеть от метода отбора доминантных движений, который, в свою очередь, определяется биологической проблемой, стоящей перед исследователем.

Один из возможных методов отбора был предложен Саксена и со­ авторами [120]. Соответствующая модель показана схематически на рис. 1.11. Если мы учтем все твердотельные движения элементов, по­ казанные на рисунке, число соответствующих динамических уравнений будет довольно велико. Действительно, каждый твердотельный элемент имеет 6 степеней свободы (три вращательные и три поступательные). Так как число элементов равно 6N, мы получим, что общее число ди­ намических уравнений может достигнуть величины 6N для дискретного случая и 36 для континуального.

Другой метод отбора был предложен в работе Волкова и Косевича [222], где для описания низкочастотной динамики ДНК были выбра­ ны следующие субъединицы и движения: два вида продольных смеще­ ний нуклеотидов {yn,i\xn>i), крутильные смещения нуклеозидов (сpn,i) и внутринуклеозидные смещения вследствие изменения конформации сахарного кольца (рп,г) (г = 1,2). Таким образом, Волков и Косевич предложили модель, состоящую из 8N динамических уравнений для дискретного случая и соответственно восьми уравнений для контину­ ального приближения.

Еще одним примером может послужить работа Крумхансла и Алекзандер [20], где для описания конформационного перехода А —►В были выбраны следующие субъединицы и движения: продольные смещения нуклеозидной группы (пп,г), изменения псевдовращательного фазового

угла, (Рп,г), описывающего изменения конформационных состояний са­ харов, и угловые смещения оснований (г = 1,2). Таким образом, в этом случае количество динамических уравнений было снижено с SN до 6N для дискретного случая и с 8 до 6 для континуального случая.

Еще два примера мы находим в работах Жанга и Ольсон [52], а так­ же Пейарда и Бишопа [34]. В первой работе для описания конформационного перехода В —►Z были использованы только 4N и 4 уравнения (для описания дискретного и непрерывного приближений, соответствен­ но), а во второй работе было показано, что для описания процесса де­ натурации ДНК достаточно только 2N и 2 уравнения (для дискретного

инепрерывного приближений, соответственно).

Влинейном приближении решениями всех этих уравнений явля­ ются плоские волны вида (4.44)-(4.46). Частоты этих волн могут быть найдены при помощи подстановки решений в виде плоских волн в со­ ответствующие динамические уравнения. А спектр ДНК, состоящий из акустических и оптических ветвей, может быть рассчитан таким же ме­ тодом, как это было сделано в предыдущих подразделах.

4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)

Чтобы описать динамику моделей четвертого уровня, удобно исполь­ зовать модель, в которой движения атомов в ДНК рассматривают как суперпозицию нормальных колебаний. В линейном приближении, спра­ ведливом только для малых амплитуд смещений, все нормальные коле­ бания независимы. Такой подход был применялся Проховским и соавто­ рами [223-229], и он привел к успешному теоретическому объяснению экспериментальных данных, таких как скорость продольного звука [230] и данные по неупругому рассеянию нейтронов [153-155].

При анализе нормальных мод делается предположение о том, что поверхность потенциальной энергии, по которой движутся атомы ДНК, является квадратичной (гармоническое приближение). Тогда траекто­ рия каждого индивидуального атома является суперпозицией вкладов от 3N — 6 колебательных мод, где ЗАГ —6 — число атомов. Если ограни­ читься рассмотрением только гомополимерных цепей, динамика молекул ДНК большой длины может быть сведена к движениям атомов только одной пары оснований [231]. Для ДНК каждая пара оснований содержит 41 атом и каждый атом обладает тремя степенями свободы. Поэтому со­ ответствующая матрица динамических силовых констант D будет иметь ранг, равный 123. Таким образом, диагонализация матрицы D дает 123 собственных значений, причем каждое является квадратом частоты ко-