Таким образом, в модели Салерно последовательность оснований учиты­ вается только через зависимость коэффициента Vn от положений основа­ ний. Этот коэффициент характеризует водородные взаимодействия меж­ ду основаниями внутри пар. Поскольку имеется только две возможно­ сти: две водородные связи, участвующие в образовании А-Т-пары осно­ ваний, или три водородные связи, участвующие в образовании G-C-пары оснований, то коэффициент Vn можно записать в виде

где Ап = 2 для А-Т-пар оснований, и Ап = 3 для G-C-nap оснований. Для получения численных решений уравнений. (6.65) Салерно ис­

пользовал начальное условие в виде решения идеального уравнения синус-Гордона. В качестве модели неоднородности была использована специфическая последовательность оснований, отвечающая промотору T7Ai ДНК. Полученные результаты показали, что при прохождении че­ рез неоднородный фрагмент солитон может (i) оставаться статичным или

(й) совершать небольшие колебания или (iii) двигаться вдоль ДНК. Это различие в динамическом поведении первоначально статичной

солитонной волны можно использовать как критерий для обнаружения активных в динамическом отношении сайтов. Более того, можно пред­ положить, что динамически активные сайты будут и биологически ак­ тивными. А если это так, то подход, развитый Салерно, мог бы стать одним из методов тестирования и интерпретации кода ДНК.

6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК

Во всех рассмотренных выше моделях не учитывалась спиральность структуры ДНК. Это было сделано для того, чтобы упростить расчеты. Однако существует много задач, в которых учет спиральной геометрии ДНК становится важным и необходимым элементом моделирования. За­ дачи рассеяния света и нейтронов молекулой ДНК являются наиболее известными из этих задач. В обоих случаях первоначальный поток ча­ стиц (фотонов или нейтронов), который движется параллельно неко­ торой линии (например, параллельно оси z), чувствителен к внутрен­ ней геометрии образца. Таким образом, можно ожидать, что результа­ ты, рассчитанные для спиральной и неспиральной моделей ДНК, будут отличаться. Чтобы выявить эти отличия, необходимо знать, как строить спиральные модели ДНК и как их использовать для задач рассеяния.

В этой главе мы обсудим метод учета спиральной структуры ДНК, который был предложен в работах Гаета [4,37,38] и Дауксоис [281]. В следующей главе, рассматривая задачу рассеяния молекулой ДНК, мы представим еще один метод, развитый в работах Федянина и Якушевич [22].

В качестве базовой модели возьмем У-модель, которая не учиты­ вает спиральность структуры ДНК, а затем покажем, как можно моди­ фицировать эту модель, чтобы учесть эффекты спиральности. Гамиль­ тониан неспиральной У-модели, которая обсуждалась подробно в разде­

—K bl2 [2cos(^i —2 cosy?2 —cos (<pi + <^2)] \ + const.

Здесь (fi — угловое смещение оснований в г-й цепи ; I — момент инер­ ции; К 1, К ъ — коэффициенты продольной и поперечной жесткости со­ ответственно.

Для дальнейшего обсуждения более удобно будет иметь дело с дис­ кретной версией гамильтониана Н у

Одна из особенностей спиральной структуры ДНК состоит в том, что некоторые из нуклеотидов, расположенные далеко друг от друга вдоль полинуклеотидной цепи, могут в то же время находиться доста­ точно близко в трехмерном пространстве, чтобы иметь возможность быть связанными при помощи водородно-связанных водяных «мостиков». Что­ бы принять во внимание эти мостики, необходимо включить в модель­ ный гамильтониан (6.69) дополнительное слагаемое, описывающее вза­ имодействие между n-м нуклеотидом одной из полинуклеотидных цепей с (п + /г)-м нуклеотидом второй цепи (для В-ДНК h = 4). Допустим, что такое слагаемое имеет следующую простую форму

где K h — константа упругости, характеризующая взаимодействие между 71-м и (n + h)-м нуклеотидами; a d — расстояние между ними в трехмер­ ном пространстве.

Таким образом, общий гамильтониан модифицированной (спираль­ ной) У-модели равен

Соответствующие динамические уравнения, записанные в континуаль­ ном приближении, будут иметь вид [4]

= K ba2l2ipizz —К ъ12 [2sin ipi —sin (<pi H- ^ 2)] ~h

где w — длина половины витка спирали вдоль оси г (т. е. вдоль оси двойной спирали).

Решения уравнений (6.72) могут быть легко найдены для двух част­ ных случаев: (1) когда (z, t) = —yi (z, t) и (2) когда (z, t) = (z, t). В первом случае вместо (6.72) мы получим уравнение

Как обычное уравнение синус-Гордона, так и двойное уравнение синус-Гордона обладают солитонными решениями в виде кинка. Од­ нако если мы сравним уравнения (6.73) и (6.76) с уравнениями (5.11)