оснований и вторую для G-C-nap оснований. Тогда потенциальная энер гия будет иметь следующий вид
V = D» {ехР [~а (г" - я°)] - о 2 +
"г
+ £ (1/2) |
(гп+1 - гп)2 + К (Ln+1,n - |
П |
|
(5.111)
L O ) 2 } ,
где h — фиксированное расстояние между плоскостями соседних осно ваний; i?o — равновесное значение величины rn; Ln+i — расстояние между соседними основаниями, находящимися в одной и в той же нити
Ьп+1,п = \Jh2 + гп+1 + rl - 2rn+irn cos(A0n); |
(5.112) |
LQ — та же |
самая функция, рассчитанная для rn+i = гп = До и Д0П = |
||
= во = 7г/ 5. |
Таким образом, равновесной конфигурацией является такая, |
||
при которой гп = Д0 и Д0П = |
для |
каждого п, что и обеспечивает |
|
системе спиральную структуру. |
|
|
|
Первые два слагаемых в (5.111) те |
же, что и в модели Пейрарда |
||
и Бишопа [34,262]; и могут существовать только два разных значения величины Dn\ £ а-т для А-Т-пар оснований и Дз-с для G-C-nap осно ваний. Последнее слагаемое в (5.111) описывает возвращающую силу, которая действует, когда расстояние L между соседними основаниями в одной и той же цепи отличается от LQ.
Описанная выше модель использовалась для изучения процесса ло кального разъединения двойной спирали. Было показано аналитически, что при расплетании система может находиться в равновесном состоя нии, в котором существует небольшая область, порядка 20 пар основа ний, где водородные связи между комплементарными основаниями пол ностью разорваны, открывая доступ к генетическому коду. Методом мо лекулярной динамики и при помощи моделирования было найдено, что такие открытые области могут перемещаться вдоль цепи ДНК, в том числе и тогда, когда присутствуют и тепловой шум, и гетерогенность.
5.4.Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
Чтобы более точно моделировать внутреннюю динамику ДНК, необ ходимо использовать модели третьего и более высоких уровней. Одна ко, даже модели третьего уровня слишком сложны, чтобы можно было
с ними работать. Поэтому исследователи ограничиваются обычно рас смотрением более простых вариантов, которые включают довольно огра ниченное количество доминирующих движений.
Форма нелинейных динамических уравнений, описывающих эти движения, и общее количество их существенно зависят от метода от бора субъединиц и движений.
Здесь мы опишем кратко два примера модельных динамических уравнений. Первый был предложен Крумханслом и Алекзандер [20], вто рой — Волковым [54].
5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
Чтобы описать А —► В-конформационный переход, Крумхансл и Алекзандер отобрали следующие субъединицы и движения: продоль ные смещения нуклеозидных групп (щ1П), изменения псевдовращательного фазового угла, имитирующего изменения конформационных состо яний сахаров, (Р*)П), и угловые смещения оснований (<^>n) (i = 1,2). Таким образом, полный гамильтониан имел следующий вид
Н = Но + Hmt. |
(5.113) |
Первое слагаемое в (5.113) состоит из трех частей |
|
Но = Н01 + Н02 Н- #оз- |
(5.114) |
Обсудим каждую из них. Первая часть, Яоь имеет вид |
|
# 0 1 £ £ |
{M P U 2 -APZJ2 + ВР*п/ 4 + (-1)* CPi,n+ |
|
П i=1 |
^ |
(5.115) |
+ К (Pi>n+1 - Piinf |
/ 2}. |
|
Она содержит (i) кинетическую энергию сахаров с эффективной мас сой М; (ii) локальную потенциальную энергию дезоксирибозы как функ цию псевдовращательного фазового угла (параметры А и В не опреде лены, однако обычно предполагается легкая асимметрия двойной ямы [273]), (ш) локальное поле, приводящее к асимметрии (оно характери зуется параметром С)\ (iv) взаимодействие между соседними сахарами, отражающее (энергетическую) предпочтительность однородной конфор мации сахаров (оно характеризуется параметром К).
Вторая часть, Я 02, имеет следующий вид
2 |
2+ kN (^г,п+1 Щуп)2/2} |
(5.116) |
#02 = ^2 ^2 |
п г=1
Она содержит кинетическую и потенциальную энергию, связанную с движениями нуклеотидов параллельно оси спирали.
Наконец, третья часть, Яоз> имеет вид |
|
|
|
|
Мв ЕЕ а2/2 + кв а2 (¥>«,„+! - <pi<nf |
/2 I |
(5.117) |
п г=1 |
п г=1 |
J |
|
Она содержит кинетическую и потенциальную энергию, связанную с угловыми движениями оснований.
Второе слагаемое в формуле (5.113), H[nti описывает взаимодействие между различными видами движений
2
tfint = £ £ № , № ,n+1 ~ Рг,п) (^г,п+1 —u i,n ) "Ь
пг — 1
+ -^2 |
— |
(Рг,п+1 “ Рг,п)}~Ь |
+ ^ |
X i { Р п + 1,1 (г/п+1,1 — Wnii) + Рп+1,2 (^п+1,2 — ^ п + 2 ,2 )} |
|
(5.118) Динамические уравнения, соответствующие модельному гамильто
ниану (5.113), Крумхансл и Алекзандер записали в следующем виде
- M d 2P lfU/ d t 2 = |
- С |
— A P ljU + B P l n + К |
(2 Р 1|П - |
Р i ?n —1 |
- P i , n + i ) |
||||||
+ X o |
(2ггцп —txi?n_ i —^ i>n_(_i) + Ад (г^1)П —'Ицп-О + |
||||||||||
+Х2(2</?1|П-^i,n-i-y>i,n+i); |
|
(5.119) |
|||||||||
-Md2P2,n/dt2 = С - А Р 2,п |
+ BPln +Я( 2 Р 2 ,п -P2,n-i -ft,n+i) |
||||||||||
+Хо( 2 |
? i2 ,n |
—^ 2 , n - l |
|
—2 , n^ |
+ |
l )+А*1( г г2 ,п — |
2^, n - l ) + |
||||
+ |
Х2 (2 |
(/?2 ,п |
- |
2^, п- 1 |
- |
2¥,>n |
+ |
l 5) |
|
|
|
- M i v 9 2tXijn/ 9 t 2 = |
/гаг (2w i,n |
- |
|
- |
^ l ,n + l ) + |
|
|
||||
+ X o |
(2P i>n - |
Pl,n-1 |
- |
Pl,n+l) + |
(Pl,n - |
Pl,n+l) ; |
|||||
—Мнд2и2уп1dt2 —кв (2гх2,п—^2,n-i —^2,n+i)+
+ X o (2P2?n —P2,n-1 —P2,n+l) + ^1 (P2,n —P2,n+l) i
—М в о ? д 2(р\ , n / d t 2 = /г^а2 (2(^i>n —<£>i,n- i —<^i,n+i) +
|
+ Хо (2Pi}n - P i,n -i |
- P i,n + i); |
|
|
|
|||
- М в а 2д 2(^2,п/^2 = кв а2 (2</?2,n —¥>2,11-1 |
- ¥>2,n+i) + |
|
|
|
||||
|
+ Xo (2P2,n - P2,n-1 - |
P2,n+l) • |
|
|
|
|||
Для решений в виде нелинейных волн с длиной d |
расстояния между |
|||||||
парами оснований и для которых Р, и |
и ср являются медленно меняю |
|||||||
щимися функциями, можно перейти к континуальному пределу |
|
|||||||
- M d 2Pi/dt2 - |
(-1)* С - АР? - K d2Pi/dz2 - |
Х 0д2щ /дг2+ |
||||||
|
|
+ Xi дщ/дг — Xi d2ipi/dz2\ |
|
|
|
|||
- М м д 2щ / т 2 = - кИд 2щ / д г 2 - |
X 0d 2P i / d z 2 + X i d P i/ d z ; |
|||||||
—MB<z2d2(pi/dt2 = |
—kBd2d2<pi/dz2 — X i d 2P i / d z 2\ i = |
1,2. |
||||||
Предполагая решения в виде бегущих волн |
|
|
(5.120) |
|||||
|
|
|
||||||
P i - P i ( z - v t ) ; |
Ui = U i{z - vt)\ |
|
ipi = ipi (z — v t); |
г = |
1,2, |
|||
преобразуем уравнения (5.120) к виду |
|
|
|
|
(5.121) |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
К 2dPi/dz2 = |
(-1)* С - APi + BPf - Х 1и°/ (kN - |
MNv2) ; |
|||||
(kN - |
MNv2) дщ/dz = |
-XodPi/dz + (-1 )' [ХхРг + *J] ; |
|
|
||||
a2 (kB - |
MBv2) dtpi/dz = |
—Xidtpi/dz, |
|
|
|
|
(5.122) |
|
где К = |
[ K - M v 2 - |
Х Ц (kN - MNv2) - X i (kB - |
MBv2)\t u° (i = |
|||||
= 1,2) являются константами; A — [A + X 2/ (k^ —M ^v2)].
Первое из трех уравнений (5.121) имеет форму хорошо известного уравнения Шредингера, которое обладает среди прочих солитоноподоб-
ными решениями вида |
|
|
|
Pi = Pi tanh [(г - vt) /d] , |
(5.123) |
где Pi = ± (A /B )1/2; d2 = 2K/A. |
|
|
А решения других двух уравнений равны |
|
|
дщ/dz = |
—[XoPi/d (kff - M ^v2)] sech2 [(z — vt) /d] + |
(5.124) |
+ |
(-1 )' / (kfr + Mnv2) { X 1P i tanh \(z - vt) /d\ + «?} ; |
|
difii/dz = —\XiPi/da2 (кв —MBv2)] sech2 [(z —vt) /d\ ; i = |
1,2. |
|
|
|
(5.125) |