Оба уравнения (5.75) и (5.76) имеют кинк- (антикинк-) подобные решения такого же типа, что и те, которые показаны на рис. 5.7 (см., например, работы [8, 249]).

Давайте теперь попробуем дать интерпретацию полученным реше­ ниям. Для э т о г о снова воспользуемся простым схематическим изобра­ жением молекулы ДНК, состоящем из двух длинных линий, имитирую­ щих сахаро-фосфатные цепочки, и из множества коротких поперечных линий, имитирующих основания. Тогда четыре типа локальных возму­ щений, соответствующих четырем решениям, показанным на рис. 5.7, можно легко изобразить так, как это сделано на рис. 5.8, и убедиться, что они действительно выглядят как открытые состояния, движущиеся вдоль молекулы ДНК.

Рис. 5.8. Четыре типа конформационных возмущений в ДНК, соответствующих траекториям (а) ABi, (b) АВ2 , (с) АВз и (d) АВ4

Эти результаты получены, однако, только для частного случая, ко­ гда выполняются условия (5.72) и (5.73). В общем случае применение метода траекторий является довольно сложным, и пока никому не уда­ лось найти с помощью этого метода какие-либо новые решения.

5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана

Нелинейные дифференциальные уравнения (5.41) могут быть ре­ шены при помощи прямого алгебраического метода, который детально

описан в работах Херемана и соавтров [269-271]. В этом методе ре­ шения представляют в виде бесконечных разложений по экспоненци­ альным функциям с действительными показателями. Предполагается, что эти показатели, в свою очередь, являются решениями соответству­ ющих линеаризованных дифференциальных уравнений. Коэффициенты разложений находят из рекуррентных соотношений, а результирующие бесконечные ряды суммируются таким образом, чтобы получить реше­ ния исходных нелинейных дифференциальных уравнений в замкнутой форме.

Существенным ограничением метода является требование, что­ бы нелинейные дифференциальные уравнения включали только стро­ го полиномиальные слагаемые. Уравнения (5.41) не отвечают этому требованию: они содержат трансцендентные слагаемые sin^i, sin<^2 и sin(<^i + сръ). Однако, как мы покажем ниже, эту трудность легко снять.

Действительно, перепишем уравнения (5.41) в более удобном виде

где а = [Кь/ К 1) 1^2 /а; /3 = {Kb/ 1)1^2 I. Чтобы преодолеть упомянутое выше ограничение, разложим трансцендентные слагаемые в степенные ряды

(5.80) Все слагаемые в уравнениях (5.80) являются строго полиномиальными, и поэтому к ним можно применить метод Херемана. Единственной труд­ ностью, которая все еще остается, является бесконечно большое число

слагаемых в уравнениях. Однако ниже мы покажем, что эта трудность не является серьезным препятствием, так как на конечной стадии все разложения легко суммируются и окончательный результат будет полу­ чен в лаконичной и замкнутой форме.

Следуя процедуре, предложенной Хереманом, преобразуем диффе­ ренциальные уравнения в частных производных (5.80) к обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью перехода к новой системе координат

которая движется с некоторой постоянной скоростью v. Уравнения (5.80) преобразуются тогда к виду

п=0

(5.82) Затем предположим, что решения уравнений (5.82) можно представить в виде разложений по экспоненциальным функциям д(£) = exp (—gf)

со сю

где величина д пока является произвольной константой. Потребуем да­ лее, чтобы экспоненциальная функция д(£) являлась решением линей­ ной части уравнений (5.82)

В общем случае было бы необходимо рассмотреть все возможные значения q. Однако здесь мы ограничимся рассмотрением только одно­ го частного случая, когда q является действительной и положительной

Подставляя разложения (5.83) с величиной q, определяемой форму­ лой (5.86), в уравнения (5.82), найдем следующие рекуррентные соотно­ шения

4“bm—l){an—m Ьп—т) ~~2(2/<Зт _/0.п_т ]—

п —1 р—1 g—1 т —1

- а л о £ £ £ ! > , +

р=4 g=3 т = 2 J=1

-J-b/)(am_/ + bm_f)(aq,_m + bq—rn)(qp—i + bp—q)(an—p 4- bn—p)— 2<2/am_j&qr_m(2p—qfln_p] 4" (1/7!) X

n —1 r —l a —l p —1 q—1 m —1

xEEEEE E((a‘+

r=6 s=5 p=4 g=3 m=2 1= 1

n —1 p—1 g—1 m —1

-о/s!)i: EE £((«<+

p=4 g=3 77i=2 /=1

+bi)(a m —l + bm —l'ji&q—m + bq—m )(Qp—i "H bp—q)(cin —p 4“ bn —p) Qblbfji—ibq—m bp —qbfi—p] 4~ (1/7!) X

n —l r —l s —l p —1 q—1 m—l

xEEEEEE((a‘+

r = 6 s=5 p=4 g=3 771=2 /=1

+ b i ) ( Яга—l 4“ bm - i ) ( dq —m 4“ bq—m^Clp—q 4" ^p—g)(&s—p 4” bs _ p ) x

X (fl-r—s 4“ br —s )(^0,n —r 4“ bn —r ) t2‘blbTn—ibq—rnbp—qbs —pbr —3bn—r\ = 0.

Чтобы решить уравнения (5.87) и найти общую структуру коэффи­ циентов ап и Ьп, рассчитаем шаг за шагом первые несколько коэффици­

п= 6, аб = &б = 0;

п= 7, а7 + Ьг = О, где «7 = —а[/212х7.

Формулы (5.88) позволяют нам «увидеть» общую формулу для коэффи­ циентов ап и Ьп

Сумма (5.90) может быть вычислена в два этапа. Сначала дифференци­ руем (5.90)

¥>lx = -<P2t = -4aqg ^ ( - l ) m (а2д2)т = 4aqg/ (l + а2д2) , (5.91)

т—1

азатем интегрируем полученное уравнение. В результате получим ре­ шения уравнений (5.82) в виде

Ч>\ (О = -Ч>2 (£) = J <Р1е<%= 4 arctg [aexp (q£)] = 4 arctg [expq (f - £0)],

(5.92)

где а = ai/4; £о = - Ina/q.

Поскольку разложение (5.91) сходится при условии ад < 1, может показаться, что формулы (5.92) справедливы только в области £ > £о. Однако Хереман и соавторы обратили внимание на то, что форму­ лы (5.91) могут быть разложены в сходящиеся степенные ряды по 1/ад и если ад < 1 (т. е. в области £ < £о). Более того, они доказали, что

4>i

Z-vT

- Ч>2

Рис. 5.9. Решение уравнений (5.77), найденное методом Херемана

пределы слева и справа при £ —►£о совпадают. А это позволяет сделать вывод о том, что формула (5.92) справедлива во всей области -оо < £ < < +оо.

Выражение (5.92), преобразованное к первоначальным координа­ там Z и Т, принимает вид

7 H T

Рис. 5.10. Конформационное возмущение, соответствующее решению (5.93)

Первая из функций в (5.93) совпадает с решением типа кинка (5.4), другая — представляет собой отражение в отрицательную плоскость. Единственное отличие между решениями (5.93) и (5.4) заключается в множителе 2 в квадратных скобках, что в свою очередь объясняется наличием множителя 2 перед sin^i и sin 922 в первоначальных уравнени­ ях (5.77). Учитывая это, легко изобразить схематически решения (5.93) (см. рис. 5.9) и показать вид локального возмущения, которому соответ­ ствует данное решение (см. рис. 5.10). Полученное решение совпадает с решением, найденным в предыдущем разделе методом Ньютона. Оно отвечает траектории АВа и решению, изображенному на рис. 5.7 d .