2.2.2.Компонентные и топологические уравнения

для простых дискретных элементов технических объектов

Компонентные и топологические уравнения электрической системы

Фазовые координаты. В электрической системе фазовы­ ми переменными типа потока являются силы тока I, А, а типа потенциала —напряжения или потенциалы U, В.

Параметры элементов. Инерционными свойствами об­ ладают катушки индуктивности. Компонентное уравнение инерционного элемента:

Особенностью электрической системы является то, что со­ единение элементов образует структуру, в которой легко различа­ ются ветви и узлы. Причем ветви представляют собой двухполюс­ ные элементы - резисторы, конденсаторы, катушки индуктивно­ сти, источники энергии и др. В этой связи оказывается более целе­ сообразным использовать иные формы компонентных уравнений,

чем приведенные выше, а именно: I = С ^ - ,1 -= K XU,1 = L~]\Udt. dt

В этом случае топологические уравнения также получают на осно­ ве законов Кирхгофа (2.19) и (2.20).

Уравнение (2.19) выражает первый закон Кирхгофа. Оно записывается для узлов электрической схемы и формулируется так: алгебраическая сумма токов для любого узла электрической схемы равна нулю. Так как сила тока - это переменная типа пото­ ка, то первый закон Кирхгофа описывает баланс потоков в узле.

Уравнение (2.19) выражает второй закон Кирхгофа. Оно составляется для замкнутых контуров электрической схемы.

Аналогично можно преобразовать уравнения математиче­ ских моделей элементов и других видов систем. При этом ком­ понентное уравнение инерционного элемента необходимо про­ интегрировать, а упругого элемента - продифференцировать по времени. Такая смена формы уравнений компонентных элемен­ тов отражает свойство дуализма физических систем.

Всоответствии с этим в качестве переменной типа потока можно использовать как силу тока, так и напряжение, а в каче­ стве переменной типа потенциала можно использовать как на­ пряжение, так и силу тока соответственно.

Всвязи с представленными выше особенностями структу­ ры электрических систем в дальнейшем аналогии компонентных

итопологических уравнений рассмотрим применительно имен­ но к этому типу систем.

Материалы по системам другой природы содержатся в табл. 2.1 и 2 .2 , где представлены фазовые переменные, система­ тизированы компонентные и топологические уравнения. Пред­ ставленные данные позволяют устанавливать аналогии рабочих процессов для изделий разного физического принципа действия. Дадим некоторые пояснения к материалам указанных таблиц.

Для гидравлической системы следует иметь в виду, что уравнение Эйлера отображает только инерционные свойства

не только давления, но и температуры, изменяющейся по длине трубопровода в зависимости от характера протекающего в газе термодинамического процесса и теплового взаимодействия газа со стенками трубопровода.

Тепловая система не обладает инерционными свойства­ ми, поскольку тепловая энергия может передаваться только от более нагретых дискретных элементов к менее нагретым: тепло­ вой поток при теплопередаче направлен противоположно гради­ енту температуры.

Следует иметь в виду, что топологические уравнения строго справедливы для установившихся режимов, но их можно применять и в тех случаях нестационарных режимов, когда вре­ менем распространения возбуждений по линиям связи можно пренебречь. Время распространения возбуждений зависит от физической природы подсистемы, т.е. от скорости распростра­ нения возбуждений в соответствующей среде и размеров этой среды в конкретном объекте. Под возбуждением понимается изменение фазовых переменных. Критической длиной называют приближенный предельный размер среды, при превышении ко­ торого необходимо учитывать время распространения возбуж­ дений. Критическая длина зависит от временного диапазона мо­ делирования объекта, например если моделируется электриче­ ский объект в наносекундном диапазоне, то критическая длина будет порядка 30 см; если в пикосекундном диапазоне, то кри­ тическая длина составит единицы и доли миллиметра. Прибли­ женно критическую длину можно определить по формуле

/кр = At- V,

где V - скорость распространения возбуждения в среде, напри­ мер для электрической подсистемы это скорость света, для ме­ ханической, гидравлической и пневматической подсистем - скорость звука; At - интервал времени, характеризующий вре­ менную точность рассмотрения процессов.

неаризованного вязкого трения жидкости; / - длина трубопрово­ да; S - площадь поперечного сечения трубопровода); щ - коэф­

фициент теплового сопротивления (цт = — , где / - длина эле- А.1S

мента, X - теплопроводность, S - площадь поперечного сечения элемента); с - жесткость механической системы при сжатии пружины (спиральной или цилиндрической); Срг - жесткость

ES

при сжатии ( Срг = - у - , где Е - модуль Юнга; I - длина элемента,

S - площадь поперечного сечения элемента); Crev- вращатель-

GJ

сдвига; Jp - полярный момент инерции сечения, / - длина бру­ са); сг - жесткость гидравлической системы - аналог электриче­

ской емкости ( сг = — , где р - плотность жидкости, v - началь-

SI

ный объем; Р - объемный коэффициент сжимаемости); т - мас­ са; J - момент инерции; Ьг - коэффициент массы - аналог элек-

CplS

ная теплоемкость материала, / - длина элемента, р - плотность материала, S - площадь поверхности контакта дискретного эле­ мента с источником тепловой энергии или со смежным дискрет­ ным элементом).

Обозначения индексов в формулах (кроме фазовых пере­ менных) (см. табл. 2.2): Р - множество узлов, Q - множество ветвей, к - число узлов, j - номера ветвей (количество дискрет­ ных элементов).

Но для более сложных систем с большим числом взаимо­ действующих между собой элементов различной физической природы удобнее предварительно составить эквивалентную схему, соответствующую расчетной схеме этой системы, и при переходе от эквивалентной схемы к модели применить приемы, разработанные и формализованные для электрических цепей.

Под эквивалентной схемой системы, состоящей из типовых элементов, понимают их условное изображение в виде электриче­ ских двухполюсников и связей между этими двухполюсниками.

Эквивалентную схему в виде электрической цепи, объе­ диняющей двухполюсники, можно считать наглядным пред­ ставлением структурной математической модели системы.

Таким образом, при моделировании объекта, в котором протекают процессы различной физической природы, прежде всего необходимо для каждого из рабочих процессов выделить типовые элементы (диссипативные, упругие и инерционные), образующие однородную по физическим свойствам систему: электрическую, механическую, тепловую, гидравлическую ит.п. Взаимодействие элементов в каждой из систем должно быть отражено в ее расчетной схеме (PC).

Электрические аналогии позволяют при получении ММ применять достаточно универсальные приемы построения мо­ делей электрических систем, формализованные с использовани­ ем законов Кирхгофа и ориентированных графов.

Граф представляет собой структурную математиче­ скую модель системы и отображает ее топологию (взаимосвя­ зи между элементами), а эквивалентная схема - функциональ­ ную модель и отображает топологию и компонентный состав, также как и динамическая модель.

Ветви графа и эквивалентной схемы соответствуют компонентам математической модели. Они отображают мате­

матические описания элементов динамической модели и источ­ ников внешних воздействий.

Узлы графа и эквивалентной схемы соответствуют уз­ лам дискретизации непрерывных объектов в геометрическом пространстве, вводимым при переходе от моделей макроуровня

кмоделям макроуровня.

2.2.4.Примеры построения эквивалентных схем и графа

для электромеханической аналогии

Рассмотрим процесс построения математической модели механической системы (электромеханическую аналогию).

Рассматривается поступательно движущаяся механическая система (рис. 2 .1), состоящая из автомобиля массой т\ с грузом массой тг и прицепа массой ти3, на котором находится груз мас­ сой m<t. Грузы закреплены при помощи упругих элементов подат­ ливостью l/ci и I/C4 соответственно, а сцепка между автомобилем

иприцепом имеет податливость 1/соПри движении автомобиля

иприцепа возникают силы сопротивления, пропорциональные значениям V\ и F3 их скорости, причем коэффициенты пропор­ циональности равны к\ и &3 соответственно. Силы трения между грузами и кузовами автомобиля и прицепа пропорциональны зна­

чениям AV2 = V2- V\ и AV4 = V j- Уз скоростей перемещения гру­ зов относительно этих кузовов (коэффициенты пропорциональ­ ности равны к2 и &4 соответственно). Зависимость P*(t) силы тяги автомобиля от времени t являегся заданной.

В соответствии со свойством дуализма физических систем аналогом скорости Vj, i = 1, 2, 3, 4, каждой из четырех масс меха­ нической системы относительно дороги выбираем электрическое напряжение £/, в одном из четырех узлов электрической цепи (рис. 2.2), отсчитываемое от напряжения U5= 0 в узле 5, принято­ го за нуль отсчета. Рассмотрим данную схему и ее параметры.

Рис. 2.2. Эквивалентная схема механической системы

Из второго закона Ньютона для центра масс автомобиля получим уравнение:

где t0 - некоторый момент времени, принятый за начальный; t> to - текущий момент времени; т > to - момент времени, пред­ шествующий t. Слагаемым в левой части этого уравнения на эквивалентной схеме (см. рис. 2 .2) соответствуют пять ветвей, сходящихся в узел 1 и содержащих конденсатор емкостью Си резисторы проводимостью gi и gi и катушки индуктивностью Lo, Ьг, а правой части - ветвь с источником, задающим ток силой /(/). Для центра масс груза в кузове автомобиля имеем:

Первому слагаемому в левой части этого равенства отве­ чает на рис. 2.2 ветвь, содержащая конденсатор емкостью Cj. Остальные ветви эквивалентной схемы построены аналогично, но с использованием уравнений второго закона Ньютона для центров масс прицепа и находящегося на нем груза:

После перехода от эквивалентной схемы к графу каждой ветви эквивалентной схемы необходимо дать произвольное, но вполне определенное направление. Соответствующий связный ориентированный граф для эквивалентной схемы (рис. 2.2) изо­ бражен на рис. 2.3, причем номера вершин совпадают с номерами узлов исходной эквивалентной схемы, а обозначения дуг ориен­ тированного графа - с обозначением элементов в ее ветвях.

Рис. 2.3. Связный ориентированный граф

Полученный ориентированный граф является удобным и на­ глядным средством визуализации связей между элементами этой системы. Но для отражения этих связей в алгоритме построения ММ системы необходимо перейти к формализованному представ­ лению ориентированного графа в виде матрицы инциденций А* размера пхт, где п - число вершин графа, т - число его дуг. Эле­ менты этой матрицы (табл. 2.3) имеют следующие значения:

В каждом столбце матрицы инциденций А• имеются два ненулевых элемента, в сумме равные нулю, поскольку каждая дуга ориентированного графа связывает две вершины, причем из одной вершины она выходит, а в другую входит. Таким обра­ зом, строки матрицы А* являются линейно зависимыми, т.е. ее ранг не превышает п - 1.

Пусть 1 - матрица-столбец размера /их 1, элементами кото­ рой являются значения силы электрического тока в ветвях экви­ валентной схемы. Тогда получим систему и уравнений

A .I = 0„,

где 0„ е Л” - нулевой вектор; каждое уравнение устанавливает равенство нулю алгебраической суммы токов во всех ветвях, имеющих общий узел, т.е. выражает первый закон Кирхгофа. Из этих уравнений и-1 являются независимыми. Поэтому одну из строк в матрице инциденций ориентированного графа можно вычеркнуть. Обычно вычеркивают строку, содержащую наи­ большее число ненулевых элементов. Такая строка соответству­

ет вершине, являющейся общей для наибольшего числа дуг. В результате получают новую матрицу А размера ( п —1)хпг, причем RgA=n - 1. Для матрицы инциденций ориентированно­ го графа, изображенного на рис. 2.3, целесообразно вычеркнуть пятую строку (см. табл. 2.3).

Если модели типовых элементов рассматриваемой техни­ ческой системы явно разрешены относительно потоковой вели­ чины, то ММ этой системы являются п -\ уравнений AI= 0„_i относительно п - 1 потенциальных величин в узлах эквивалент­ ной схемы, отсчитываемых от принимаемого за нуль значения потенциальной величины в узле, который соответствует строке, вычеркнутой из матрицы инциденций А*. Для представленной на рис. 2.2 эквивалентной схемы эти уравнения совпадут с урав­ нениями (2.62)-(2.65).

Также рассмотрим в качестве примера построение модели фрикционной муфты (рис. 2.4). Фрикционная муфта передает вращение ведущего вала 1, к которому приложен зависящий в общем случае от времени t вращающий момент Л /(/), ведомому валу 2, присоединенному к нагрузке с линейной характеристикой

М= х<°2, где М - вращающий момент, саг - угловая скорость вала 2, х ~

коэффициент пропорциональности. При изменении сог возника­ ет инерционный момент

J(da>2/dt),

где У - момент инерции нагрузки. Моменты сопротивления вращению ведущего и ведомого валов в подшипниках 7 про­ порциональны угловым скоростям o>i и ©2 (коэффициенты про­ порциональности Xi и хг соответственно). Вращающий момент передаваемый муфтой от ее ведущего диска 3 с моментом инерции Уз ведомому диску 4 с моментом инерции У*, зависит от

разности о>з - <в4 угловых скоростей этих дисков, причем

М. = х*(0 (®з - ш4),

где х<0 - изменяющийся во времени коэффициент сцепления дисков. Моменты инерции валов 1 и 2 условно сосредоточим в их сечениях 5 и 6, расположенных посередине между подшип­ никами и муфтой, и обозначим J$ и J6. Угловые скорости в тех же сечениях обозначим а>5 и <Вб, а податливости участков веду­ щего и ведомого валов при передаче ими крутящего момента -

\/%s и 1/Хб соответственно.

Рис. 2.4. Принципиальная схема фрикционной муфты

В соответствии со свойством дуализма физических систем каждому значению ©/, / = 1, 2, ..., 6, угловой скорости относи­ тельно неподвижных опор соответствует напряжение U, в одном из шести узлов электрической цепи (рис. 2.5), отсчитываемое от напряжения £/7 = 0 в узле 7, принятого за нуль отсчета.

^g*(О

и? jg'T т Т Т М *Т

и7= о

Рис. 2.5. Эквивалентная схема фрикционной муфты

Приложенный к ведущему валу момент М*(/) уравновешен моментом трения в подшипнике и крутящим моментом на этом участке вала, т.е.