Слагаемым в левой части этого равенства на рис. 2.5 соот­ ветствуют ветви, сходящиеся в узел 2 и содержащие конденса­ тор С, резисторы проводимостью g и g2 и катушку индуктивно­ стью Ь6.

2.2.5.Задания для самостоятельной работы

Вкачестве самостоятельной работы предлагается соста­ вить электрогидравлическую и электромеханическую аналогии для систем, представленных на рис. 2.6 и рис. 2.7. Требуется разработать эквивалентные схемы, графические формы пред­ ставления моделей и составить матрицы инциденций.

В динамической модели двухмассовой подвески автомо­ биля (см. рис. 2.6) учитывается масса части кузова т\, приходя­ щаяся на колеса данного моста, масса колес и моста /я2, коэф­ фициенты жесткости упругих элементов подвески с\ и шины с2, коэффициенты сопротивления диссипативных элементов под­ вески к] и шины кг. С учетом наложенных позиционных связей на сосредоточенные массы т\ и тг они могут перемещаться только вертикально вдоль оси у.

Тела массами nt\ и тп2 совершают поступательные движе­ ния. Фазовые переменные типа потока - скорости V, а типа по­ тенциала - силы F. На систему наряду с источниками потенциа­ лов Fb\ и FB2 действует источник потока, описываемый функцией V\ ] (/). Источник потока отображает кинематическое воздействие внешней среды - неровностей дороги. Характеристикой этого источника является функция изменения скорости вертикального перемещения опорной точки Д определяемая выражением

V * M = Vy(t)[dh(y)/dy],

где Vy(t) - скорость движения автомобиля вдоль оси у; h(y) -

функция микропрофиля поверхности дороги. Потенциалы внешних воздействий F„\ и Fa2 представляют собой силы тяже­ сти соответственно кузова и колес автомобиля.

Гидравлическая система подвода воды через плотину к турбинам гидроэлектростанции 6 из водохранилища 1 включает напорный туннель 2 и трубопровод 4, между которыми располо­ жен цилиндрический уравнительный резервуар 3 (см. рис. 2.7). При регулировании заслонкой 5 подвода воды к турбинам урав­ нительный резервуар уменьшает колебания давления в системе. В частности, возникающий при быстром закрытии заслонки гид­ равлический удар в системе определяется длиной Ц напорного тру­ бопровода, а не величиной /4 + /2, где /2 - длина напорного туннеля.

При закрытой заслонке уровни Н\ и Ну воды соответствен­ но в водохранилище и уравнительном резервуаре, отсчитываемые от уровня расположения турбин, одинаковы. При неизменном положении открытой заслонки объемный расход Q\ воды и ее давление (напор Н6) перед турбинами постоянны. При этом

Р«(Я, - Я 3) = QR2,

где р - плотность воды, g - ускорение свободного падения, Л2 -

гидравлическое сопротивление туннеля. Но изменение положе­ ния заслонки приводит к возникновению переходного процесса, связанного с изменением Qt, Ну и Нь во времени t.

3.АНАЛОГОВЫЕ МОДЕЛИ

ИАНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОЧИХ ПРОЦЕССОВ ИЗДЕЛИЙ

3.1.ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ

АНАЛОГОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Методы аналогового моделирования занимают особое ме­ сто в системе математических моделей. По сути дела, обращаясь к аналоговым моделям, мы сталкиваемся не с математическими описаниями нового типа, а с новыми методами исследования уже известных математических моделей.

Кчислу интересных примеров можно отнести известную

втеории упругости аналогию Прандтля, который показал, что уравнения для функции напряжений в задаче о кручении стерж­ ня произвольного поперечного сечения идентичны уравнениям, определяющим прогиб нерастяжимой мембраны, натянутой на упругий контур той же формы, под действием равномерного давления. Это позволяет заменить отнюдь не простые экспери­ менты по определению компонент тензора напряжений в скру­ чиваемом стержне простыми измерениями прогибов мембраны.

Аналоговые модели наиболее ярко демонстрируют воз­ можность математически объединять явления окружающего ми­ ра и в универсальной форме описывать процессы различной фи­ зической природы.

Для любого физического объекта возможно два пути ис­ следования (рис. 3.1): во-первых, можно поставить эксперимент и непосредственно измерить характеристики объекта; во-вто­ рых, можно составить математическую модель объекта и рас­ считать его характеристики. Если при этом не допущено каких-

либо ошибок, результаты экспериментального и численного ис­ следования объекта должны совпадать между собой.

Предположим, что существует два объекта, у которых полностью совпадают математические модели (см. рис. 3.1). Очевидно, в результате расчета для этих объектов будут полу­ чены одинаковые численные характеристики: математика игно­ рирует физическую суть явлений и оперирует лишь с математи­ ческими зависимостями, которые для наших объектов одинако­ вы. Это значит, что совпадут и экспериментальные характери­ стики таких объектов. В результате в правой части схемы воз­ никает сплошная вертикальная цепочка равенств. Объекты с совпадающими математическими моделями называются ана­ логичными объектами.

Рис. 3.1. Схема принципа аналогии

После того как аналогия (т.е. тождественность) математи­ ческих моделей объектов доказана, предлагается эксперимен­ тально изучить один из них, а потом интерпретировать полу­ ченные зависимости как характеристики второго объекта. При этом для второго (натурного) объекта такое исследование по существу является вычислением. Разумеется, аналоговое моделирование имеет практический смысл лишь в том случае, когда модельный объект проще натурного.

Аналоговое моделирование применимо к относительно простым объектам, так как трудно представить себе сложные системы различной физической природы с одинаковыми мате­ матическими моделями. Поэтому аналоговые модели использу­ ются для подсистем, лежащих на нижних уровнях иерархиче­ ского описания. Практически аналоговое моделирование ис­ пользуется для изучения объектов двух классов: физических по­ лей и физических систем.

Физические поля описывают непрерывное распределение скалярных или векторных величин в пространстве. Примером физических систем являются механические системы и системы автоматического регулирования.

Поскольку математические модели физических систем рассмотрены во второй главе, то здесь будем рассматривать только модели физических полей.

Построение аналоговой модели всегда включает в себя следующие этапы:

1)изучение математического описания объекта и выбор аналога, обеспечивающего наиболее простое его моделирование;

2)построение на основе выбранного аналога конкретной модели, задание краевых условий, доказательство аналогии;

3)экспериментальное определение характеристик модели;

4)интерпретация полученных результатов как характери­ стик исследуемого объекта.

На практике наиболее распространенным является элек­ трическое моделирование, основанное на изучении электриче­ ских полей или цепей. Широкое распространение электрических моделей объясняется их относительной простотой, универсаль­ ностью и достаточно высокой точностью, связанной, в частно­ сти, с высокой точностью электрических измерений.