1.2. ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

1.2.1. Общие положения и основные определения

Математическое моделирование - это идеальное научное формальное моделирование, при котором описание объекта осу­ ществляется на языке математики, а исследование модели прово­ дится с использованием тех или иных математических методов.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внеш­ ней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуще­ ствить поиск оптимальной структуры и параметров объекта.

Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель (ММ).

Математическая модель - это совокупность математиче­ ских объектов и отношений между ними, адекватно отобра­ жающая физические свойства технического объекта. В качестве математических объектов выступают числа, переменные, мно­ жества, векторы, матрицы и т.п. Процесс же формирования ма­ тематической модели и использования ее для анализа и синтеза при решении проектных задач называется математическим мо­ делированием.

Математическое моделирование - это идеальный экспе­ римент, позволяющий оперативно оценить влияние на рабочий процесс любого фактора, в том числе и такого, который трудно поддается натурному моделированию.

Этот метод сочетает в себе достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процес­ сом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относи­ тельно быстро и без существенных затрат исследовать его свой­ ства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества

теории). В то же время вычислительные (компьютерные) экспе­ рименты с моделями позволяют изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преиму­ щества эксперимента).

К другим принципиальным преимуществам математиче­ ского моделирования, обусловливающим его широкое примене­ ние практически во всех областях науки и техники, относят универсальность ММ. Данное свойство заключается в том, что в математике используют абстрактные основополагающие поня­ тия, немногочисленные, но весьма емкие по содержанию. Это позволяет конкретные факты из самых различных областей знаний рассматривать как проявление этих понятий и отноше­ ний между ними. В данном случае математика выступает, по существу, в роли универсального языка науки. Его универ­ сальность французский математик Анри Пуанкаре определил всего одной фразой: «Математика - это искусство называть раз­ ные вещи одним и тем же именем».

Математическое моделирование помогает увидеть за ча­ стным общее, развить универсальные методы управления объ­ ектами различной физической природы, познать общие законы развития материи.

Предварительный расчет, основанный на адекватных ма­ тематических моделях, позволяет избежать ошибок при проек­ тировании узлов и устройств и таким образом значительно со­ кратить расходы ресурсов на создание и опытную отработку образцов новой техники.

Математическое моделирование позволяет получить срав­ нительные оценки для машин, различающихся по структуре, что редко достижимо при физическом эксперименте. Применение математического моделирования целесообразно, в частности, при выборе рациональных параметров и схемы новой машины, фор­ мировании эталонных рабочих характеристик, выявлении пре­ дельных возможностей машин и поиске путей модернизации.

В целом использование методов математического модели­ рования в проектировании технических объектов обусловлено

следующими факторами:

-общей тенденцией расширения и углубления исследова­ ния процессов в реальном физическом мире;

-неполнотой данных о реальном объекте;

-сложностью протекания реальных процессов и высокой

стоимостью исследований объекта-оригинала, когда с экономических позиций наиболее приемлемо перене­ сти их на объект-модель;

-наличием критических режимов функционирования объ­ екта, когда исследования в некоторых областях измене­ ния параметров являются попросту опасными, а резуль­ таты исследования не поддаются прогнозу;

-необходимостью проведения большого числа экспери­ ментов с последующим обобщением результатов и мно­ гофакторной оптимизацией, когда исследование реаль­ ного объекта также становится экономически нецелесо­ образным;

- уникальностью объекта исследования, сопряженной с малым его ресурсом, когда большая часть времени мо­ жет быть затрачена на его испытания;

-отсутствием объекта-оригинала, когда его изготовление находится на стадии эскизного или конструкторского проекта.

Математическое моделирование в значительной степени является искусством применения физико-математических зна­ ний в реальных проектных ситуациях.

Вообще математическое моделирование является неотъ­ емлемой частью исследования операций. Данная наука является составной частью системного анализа —отрасли знаний, зани­ мающейся проблемами принятия решений в условиях, когда выбор альтернативы требует анализа сложной информации раз­

личной физической природы. Методы системного анализа ле­ жат в основе многих современных методов проектирования объ­ ектов новой техники. Многие из них опираются на математиче­ ское описание фактов, явлений, процессов [13].

1.2.2. Структура математической модели и ее построение

Структура технического объекта характеризуется качест­ венным и количественным составом элементов и их взаиморас­ положением или взаимосвязями. Качественное различие элемен­ тов определяется их физическими свойствами. Количественно физические свойства элементов выражаются некоторыми скаляр­ ными величинами, называемыми параметрами элементов.

В достаточно общем случае изучаемый технический объ­ ект (ТО) количественно можно охарактеризовать векторами

g е Rm и W е R" внутренних, внешних и выходных пара­ метров соответственно. Одни и те же физические, механиче­ ские и/или информационные характеристики ТО в моделях раз­ личного уровня и содержания могут выполнять роль как внеш­ них или внутренних, так и выходных параметров.

Внутренние параметры - это параметры элементов, из которых состоит технический объект. Например, двигатель и трансмиссия являются элементами автомобиля. Их выходные параметры - мощность двигателя, передаточные числа транс­ миссии, и одновременно это внутренние параметры автомобиля.

Выходные параметры характеризуют свойства техниче­ ского объекта, а внутренние параметры - свойства его эле­ ментов.

При переходе к новому иерархическому уровню проекти­ рования внутренние параметры могут стать выходными, и на­ оборот.

Внешние параметры - это параметры внешней среды, оказывающей влияние на функционирование технического объ­ екта. Например, внешней средой для автомобиля является доро­ га и воздушная среда.

При проектировании значения выходных параметров или диапазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку технического объекта, тогда как внешние параметры характеризуют условия его функционирования.

В сравнительно простом случае математическая модель технического объекта может представлять собой соотношение

где/ - векторная функция векторного аргумента.

Также математическую модель можно представить в виде функционала:

Если при построении ММ ТО функция / в (1.1) и (1.2) за­ ранее не известна (информация о внутренних параметрах отсут­ ствует или же внутреннее устройство ТО слишком сложно), то модель строят по принципу черного ящика - устанавливают соотношение между внешними и выходными параметрами пу­ тем исследования реакции ТО на внешние воздействия.

Величины, характеризующие состояние технического объекта в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми координатами).

Обычно в уравнениях математической модели фигуриру­ ют не все фазовые переменные, а только часть из них, достаточ­ ная для однозначной идентификации состояния объекта. Такие фазовые переменные называют базисными координатами. Через базисные координаты могут быть вычислены значения и всех остальных фазовых переменных.

Процесс создания математических моделей трудоемок, длителен и связан с использованием труда различных специали­ стов достаточно высокого уровня, с хорошей подготовкой как в предметной области, связанной с объектом моделирования, так и в области прикладной математики.

Правильное построение модели требует глубокого пони­ мания специфики процесса и тех возможностей математическо­

го анализа, которыми располагает исследователь проектной си­ туации. Построение любой математической модели можно ус­ ловно представить состоящим из 7 этапов (рис. 1.3). Рассмотрим сущность этих этапов.

I

Процесс построения и использования математической модели

1. Определение целей исследования: содержательная постановка задачи моделирования

2. Концептуальная постановка задачи моделирования

3. Математическая постановка задачи моделирования \

4.Выбор и обоснование метода решения задачи

5.Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ (численный эксперимент, аналитические исследования)

1

6. Проверка адекватности модели

1

Т

7. Практическое использование построенной модели и

анализ результатов моделирования

.

Рис. 1.3. Последовательность построения математической модели

1. Содержательная постановка задачи моделирования: пер чень сформулированных в содержательной форме основных во­ просов об объекте моделирования, интересующих исследователя.

Это есть словесно-смысловое описание объекта или явле­ ния, которое содержит сведения об его природе и целях его ис­ следования.

На основании анализа всей собранной информации поста­ новщик задачи должен сформулировать такие требования к бу­ дущей модели, которые позволяли бы реализовать модель в за­ данные сроки и в рамках выделенных материальных средств.

Должен быть подготовлен список вопросов, на которые призва­ на ответить новая модель.

Специалисты-постановщики должны обладать способно­ стью из большого объема слабоформализованной разнообразной информации об объекте выделить то главное, что может быть действительно реализовано.

Данный этап является ключевым для процесса математи­ ческого моделирования, от качества модели зависит судьба все­ го последующего анализа. Остальные этапы, представленные ниже, относятся скорее к технической стороне дела и сильно зависят от результатов первого этапа.

В идеале следует свести задачу к конкретному вопросу, на который можно получить ответ путем выполнения над исходной информацией определенных математических операций. Тогда, если задача поставлена правильно, для инженера появляется воз­ можность выбрать наиболее эффективный инструмент математи­ ческого анализа проектной ситуации, и именно эти инструменты в дальнейшем рассматриваются в лекционном курсе дисциплины.

Таким образом, основным назначением этого этапа явля­ ется анализ неопределенностей и формализация понятия цели (формирование целевой функции, критерия).

2. Концептуальная постановка задачи моделирования это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (фи­ зики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, ин­ тересующих исследователя, и совокупность гипотез относи­ тельно свойств и поведения объекта моделирования.

На этом этапе строится некоторая идеализированная мо­ дель объекта, для чего формулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодействии с окружающей средой, изменении внутренних параметров.

Например, могут быть сделаны следующие предположения относительно физических свойств объекта: невесомый стержень, толстый слой вещества, прямолинейное распространение свето­ вых лучей и т.д. Таким образом, отбрасываются все факторы

иэффекты, которые представляются не самыми существенными

вповедении объекта моделирования, и выделяются наиболее зна­ чимые для целей исследования его свойства и связи.

Как правило, идеализирующие объект гипотезы правдо­ подобны в том смысле, что для их обоснования могут быть при­ ведены некоторые теоретические доводы и использованы экспе­ риментальные данные, основанные на собранной ранее инфор­ мации об объекте.

Ввыборе и обосновании принимаемых гипотез в значи­ тельной степени проявляется искусство, опыт и знания, накоп­ ленные разработчиками модели. Согласно принятым гипотезам определяется множество параметров, описывающих состояние объекта, а также перечень законов, управляющих изменением

ивзаимосвязью этих параметров между собой.

3. Математическая постановка задачи моделирования это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

На этом этапе осуществляется выбор и формулировка за­ кона (вариационного принципа, аналогии, закона сохранения и т.п.), которому подчиняется объект, и его запись в математи­ ческой форме: выбирается (или строится) «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства.

Применение физических принципов обуславливает уме­ ние пользоваться знаниями и методами научных и технических дисциплин.

Во многих областях знаний принято выделять законы, справедливые для всех объектов исследования данной области знаний, и соотношения, описывающие поведение отдельных объектов или их совокупностей.

К числу первых в физике и механике относятся, например, уравнения баланса массы, количества движения, энергии и т.д., справедливые при определенных условиях для любых матери­ альных тел, независимо от их конкретного строения, структуры, состояния, химического состава.

Уравнения этого класса подтверждены огромным количе­ ством экспериментов, хорошо изучены и в силу этого применя­ ются в соответствующих математических моделях как данность.

Соотношения второго класса в физике и механике назы­ вают определяющими, или физическими уравнениями, или урав­ нениями состояния. Они устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупностей (например, жид­ костей, газов, упругих или пластических сред и т.д.) при воздей­ ствиях различных внешних факторов.

В качестве классических примеров определяющих соот­ ношений можно привести закон Гука в теории упругости или уравнение Клапейрона для идеальных газов. Очевидно, опреде­ ляющие соотношения должны отражать реальное атомно­ молекулярное строение исследуемых материальных объектов.

Соотношения второго класса гораздо менее изучены, а в ряде случаев их приходится устанавливать самому исследова­ телю. Необходимо отметить, что определяющие соотношения - это основной элемент, «сердцевина» любой математической мо­ дели. Именно ошибки в выборе или становлении определяющих соотношений приводят к неверным результатам моделирования.

Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор модели (1.1) и (1.2). Для обеспечения корректности постановки задачи к оператору модели добавляются начальные и/или граничные условия.

Для контроля правильности полученной системы матема­ тических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок [4]:

1)Контроль размерностей, включающий правило, со­ гласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.

2)Контроль порядков, состоящий из грубой оценки срав­ нительных порядков складываемых величин и исключения ма­ лозначимых параметров.

3) Контроль характера зависимостей заключается в про­ верке того, что направление и скорость изменения выходных параметров модели, вытекающие из выписанных математиче­

какой вид принимают математические соотношения, а также результаты моделирования, если параметры модели или их ком­ бинации приближаются к предельно допустимым для них зна­ чениям. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, математические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка.

5) Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они использованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удовле­ творяют данным условиям. Под граничными условиями здесь будем понимать задание функции выходного параметра W

в(1.1) и (1.2) в начальный момент времени для всей пространст­ венной области фазовых координат и на границе последней.

6)Контроль физического смысла - проверка физического или иного, в зависимости от характера задачи, смысла исходных

ипромежуточных соотношений, появляющихся по мере конст­ руирования модели.

7)Контроль математической замкнутости, состоящий

впроверке того, что система математических соотношений дает возможность однозначно решить поставленную задачу. Напри­ мер, если задача свелась к отысканию п неизвестных из некото­ рой системы алгебраических или трансцендентных уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того факта, что число независимых уравнений должно быть п.

Свойство математической замкнутости системы матема­ тических соотношений тесно связано с введенным Ж. Адамаром понятием корректно поставленной математической задачи [4],

т.е. задачи, для которой решение существует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных.

Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех кон­ трольных проверок.

4. Выбор и обоснование метода решения задачи.

Выбор метода исследования в значительной степени зави­ сит от квалификации и опыта членов рабочей труппы. Аналити­ ческие методы более удобны для последующего анализа резуль­ татов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае если математическая задача допускает аналитическое решение, последнее, без сомнения, предпочтительнее численного.

5. Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ (численный эксперимент, аналитические исследования).

Примечание: при использовании современных математических компью­ терных пакетов («MathCAD», «Maple» и др. [7, 8]) пункты 4 и 5 можно существен­ но упростить и ускорить их выполнение.

6. Проверка адекватности моде™.

Под адекватностью математической модели будет пони­ маться степень соответствия результатов, полученных по разра­ ботанной модели, данным эксперимента или тестовой задачи.

Проверка адекватности модели преследует две цели:

1)убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформулированных на этапах концептуальной и математической постановок;

2)установить, что точность полученных результатов соот­ ветствует точности, оговоренной в техническом задании.

Проверка разработанной моде™ выполняется путем срав­ нения с экспериментальными данными о реальном объекте или

срезультатами других, созданных ранее и хорошо себя зареко­ мендовавших моделей. В первом случае говорят о проверке пу­ тем сравнения с экспериментом, во втором - о сравнении с ре­ зультатами решения тестовой задачи.

Решение вопроса о точности моделирования зависит от требований, предъявляемых к моде™, и ее назначения.

При этом должна учитываться точность получения эксперимен­ тальных результатов, точность исходных данных или особенно­ сти постановок тестовых задач.

Как правило, различают качественное и количественное совпадение результатов сравнения. При качественном сравне­ нии требуется лишь совпадение некоторых характерных осо­ бенностей в распределении исследуемых параметров (например, наличие экстремальных точек, положительное или отрицатель­ ное значение параметра, его возрастание или убывание и т.д.). Вопрос о количественном сравнении можно ставить лишь после удовлетворительного ответа на вопрос о качественном соответ­ ствии результатов.

Неадекватность результатов моделирования возможна, по крайней мере, по трем причинам:

1)значения задаваемых параметров модели не соответст­ вуют допустимой области этих параметров, определяемой при­ нятой системой гипотез;

2)принятая система гипотез верна, но константы и пара­ метры в использованных определяющих соотношениях уста­ новлены не точно;

3)неверна исходная совокупность гипотез.

Все три случая требуют дополнительного исследования как моделируемого объекта (с целью накопления новой допол­ нительной информации об его поведении), так и самой модели (с целью уточнения границ ее применимости).

7. Практическое использование построенной модели и ан лиз результатов моделирования.

Данный этап включает оценку и обобщение результатов вычислений по следующим направлениям:

-выявление закономерностей, которые позволяют опти­ мизировать или уточнить процесс;

-уточнение области применения модели и оценка возможно­ сти ее упрощения с целью повышения эффективности при сохранении требуемой точности;