(4.94)

Дисперсия времени между событиями

(4.95)

Характеристика потока отказов имеет решающее значение при расчете надежности.

4.8. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

4.8.1. Общие положения

Рассчитать систему на надежность означает разработать математическую модель ее отказа.

Для этого необходимо знать число отказов и моменты их возникновения по данным эксплуатации или иметь аналитиче­ ское описание процесса функционирования (изменение пара­ метров состояния объекта и их вероятностных характеристик). Поэтому часто отказы, возникновение которых связывают с из­ менением параметров, называют параметрическими. Парамет­ рические отказы, как правило, рассматриваются в рамках функ­ циональных моделей надежности.

Сложные технические объекты, состоящие из многих де­ талей, узлов и сборок, обычно рассматривают как системы.

Метод расчета надежности во многом определяется видом закона распределения времени безотказной работы и способом соединения элементов в системе, определяющим структурную схему надежности (ССН).

Структурная схема надежности - это наглядное пред­ ставление (графическое или в виде логических уравнений) ус­ ловий, при которых работает или не работает исследуемый

объект. Как правило, ССН объекта состоит из блоков, вклю­ чающих различное число последовательно и параллельно включенных элементов.

Таким образом, задача описания объекта в виде системы для расчета показателей его надежности заключается в построе­ нии ССН.

4.8.2. Модели параметрических отказов

При построении модели параметрического отказа элемен­ та, работающего непрерывно от момента включения до отказа, оперируют случайным временем т возникновения отказа эле­ мента. Для любого элемента может быть установлен вектор па­ раметров состояний:

зависящий от времени t, а также векторы, ограничивающие до­ пустимые пределы изменений х{1)\ снизу -*„(/) и сверху - xB(t):

При этом выход любого параметра x,{t) за соответствую­ щие пределы xu(t), xB(t) должен рассматриваться как отказ эле­ мента. За время I в параметрической постановке вероятность Р« безотказной работы элемента равна

Из-за отклонений свойств элементов, условий и режимов их эксплуатации все параметры x(t) в общем случае можно рас­ сматривать как случайные функции. Допустимые пределы x„(t) и *„(/), если они заданы в эксплуатационной документации, явля­ ются детерминированными функциями. Однако часто и пределы можно рассматривать как случайные функции, так как весьма сложно найти в каждый момент времени t такое точное значс-

ние, например, U (0> что при величине параметра х, =xH+ dx„ элемент работоспособен, а при х, = хн- неработоспособен.

Таким образом, состояние элемента описывается вектором случайных функЛий, которые зависимы или хотя бы коррелиро­ ванны (имеют случайную линейную зависимость), поскольку отражают работу одного и того же элемента. При работе одного элемента этот вектор случайных функций представлен случай­ ными реализациями *i(/), x2(t).... х,(/),..„ **(/). Аналогично об­ стоит дело и с вектором случайных функций *,,(/) и *„(/).

С учетом этого в самом общем случае задача расчета па­ раметрической безотказности состоит в отыскании вероятности того, что за время t ни одна из реализаций x£t) случайных функ­ ций х,{1) не выйдет за реализации x„,{i) и хв/(0 случайных функ­ ций х„,(0 и xBI(t). Для решения такой задачи необходимо знать законы совместного распределения функций х,(1), x„,(t), x jj) в каждый момент времени t. При этом расчет сводится к гро­ моздким вычислениям многомерных интегралов.

Поэтому в такой постановке без упрощающих допущений задачу практически не решают. Если предположить, что функ­ ции xH,(t) и xR,(l) неслучайны и детерминированно определяют область D(t) работоспособных состояний элемента для всех t, то в этом случае вероятность параметрического отказа Р„ опреде­

Характер возникновения параметрического отказа для случая, когда к = 1, т.е. x(t), *„(/)> *„(/) - не векторы функций, а простые функции, показаны на рис. 4.15. Случайный процесс х(1) представлен математическим ожиданием mx(t) и реализа­ циями *(/), одна из которых вышла за нижний предел (момент т отказа элемента).

Рис. 4.15. Графическое представление модели параметрического отказа

Дальнейшее упрощение задачи расчета параметрической безотказности элемента может быть получено, если на интерва­ ле [0; t\ для случайного процесса x(t) найдено опасное или рас­ четное сечение /расч, в котором вероятность возникновения па­ раметрического отказа больше, чем в другие моменты времени. Это может быть связано с тем, что в сечении /расч больше дис­ персия процесса или значение x(t) ближе к математическому

ожиданию (см. рис. 4.15).

Если удается найти такое сечение, то рассматривают зада­ чу о вероятности выхода случайной величины за пределы, и ве­ роятность параметрического отказа Р„ можно определить так:

Найденную таким путем вероятность Р„ принимают за ве­ роятность того, что на всем интервале (0; /) случайный процесс x(t) не выйдет за пределы x»(t), *„(/)• Такое допущение достаточ­ но сильно, но в инженерной практике широко применяется.

Если пределы xH(t), xB(t) допустимого изменения параметра х являются неслучайными, то из (4.97) и (4.98) с учетом (4.99) следует:

При этом задача сводится к тому, чтобы вычислить вероятность (4.102), если заданы функции распределения случайных величин

х,хн, хв. На рис. 4.17 дана графическая интерпретация задачи для случая, когда эги величины непрерывны и заданы плотностями вероятностей J{x\ /,(*„), / в(хв). Заштрихованные площади соот­ ветствуют вероятности параметрического отказа, при котором реализованные значения случайных величин х, х„, л*в таковы, что х <хиили х > хв.

/в (* в )

Рис. 4.17. Графическая интерпретация вероятности параметрического отказа при переменных хв и х„ (тm та тхв~ математические ожидания параметров)

Таким образом, приведенные выше рассуждения и зави­ симости показывают возможности управления значением веро­ ятности параметрической безотказности элемента за счет выбо­ ра или варьирования параметров, определяющих работоспособ­ ное состояние, вероятностных характеристик этих параметров, характеристик пределов, ограничивающих область работоспо­ собного состояния элемента.

Однако ясно, что для проведения таких углубленных расче­ тов нужна и дополнительная исходная информация о законах рас­ пределения или числовых характеристиках параметров элементов

ипределов, определяющих его работоспособное состояние.

Вкачестве примера рассмотрим расчет функциональной надежности делителя напряжения, принципиальная схема кото­ рого представлена на рис. 4.18. Расчет основывается на анализе функционального назначения делителя - создавать на выходе

Для учета влияния этих отказов на надежность необходим ана­ лиз работы делителя.

Например, обрыв резистора R\ вызывает полный отказ де­ лителя, а замыкание - частичный. Обрыв резистора Л*, наобо­ рот, вызывает частичный отказ, а замыкание - полный. Влияние изменения параметров на выходное напряжение определяется путем решения дифференциального уравнения, которое связы­ вает изменение выходного напряжения с изменением парамет­

По известным изменениям первичных параметров (AUQ,

ДЯ|, AR2, ARi, ARA) находится значение случайной величины Л(/вых. Вероятность перехода ее за допустимые границы опреде­ ляет вероятность отказа делителя. Отсюда видно, что расчет функциональной надежности позволяет получить подробную информацию о надежности объекта, но связан с более громозд­ кими вычислениями и детализацией исследования по сравнению с расчетами структурной надежности.

Простейшей ССН объекта является схема с последова­ тельным соединением элементов (рис. 4.19). При этом полагают, что число элементов, образующих систему, конечно, а отказ од­ ного элемента ведет к отказу системы.

Рис. 4.19. Система из последовательно соединенных элементов

При расчете показателей надежности такой системы обычно вводят довольно сильное допущение о том, что поток отказов является простейшим, т.е. функция плотности распреде­ ления отказов каждого элемента описывается экспоненциаль­ ным законом (4.78). При этом расчеты показателей надежности заметно упрощаются. Вероятность безотказной работы системы из N элементов в течение времени t определяется зависимостью

где P,(t) - вероятность безотказной работы /-го элемента за вре­ мя /; Qi - вероятность отказа /-го элемента системы.

Таким образом, формулы (4.105) и (4.106) соответствуют модели одновременной работоспособности всех элементов или отказа хотя бы одного элемента согласно правилам умножения и сложения вероятностей.

Если для элементов известны интенсивности отказов Ц/), то имеем

где А,с(т) —интенсивность отказов системы; т - момент времени, предшествующий t. Таким образом получаем

Следовательно, закон возникновения отказов остается также экспоненциальным и среднюю наработку до отказа мож­ но определить из выражения

2> , К

/=1

Представленный метод расчета надежности является наибо­ лее простым и имеет свои недостатки. Во-первых, элементы в сис­ теме работают в различных условиях эксплуатации. Поэтому при расчете необходимо знать ^-характеристики элементов в зависи­ мости от условий эксплуатации. Пока для большинства элементов сложных систем зависимости X -f(t, х), где х - вектор эксплуата­ ционных факторов, не получены. Во-вторых, на ранних стадиях проектирования (т.е. при ориентировочном расчете надежности) трудно установить режимы работы элементов. Поэтому данный метод в чистом виде целесообразно применять при окончательном расчете надежности, когда построены опытные образцы объекта и экспериментально определены режимы работы элементов.

При ориентировочном расчете, позволяющем в начале проектирования объекта оценить надежность различных схем­ ных вариантов, представленный метод используют, приняв сле­ дующие допущения:

- интенсивности отказов элементов известны;

-известно число элементов каждого типа;

-однотипные элементы равнонадежны, т.е. имеют одиНа. ковую интенсивность отказов, равную ее среднестатистическому значению;.

-все элементы работают в номинальном режиме.

Всложной системе всегда имеются группы однотипных элементов. Если эти одинаковые элементы находятся примерно

водинаковых условиях или различие условий не влияет сущест. венно на их надежность, то надежности этих элементов равны Пусть, например, в системе, представленной на рис. 4.19, все N

элементов имеют одинаковую интенсивность отказов Хо и, соот­ ветственно, ВБР Po(t). Тогда на основании (4.105) и дополни­ тельных допущений можем записать:

Следовательно, среднее время безотказной работы после­ довательной системы будет в N раз меньше среднего времени безотказной работы каждого составляющего элемента-

Таким образом, для ориентировочного расчета надежно­ сти системы любой степени сложности достаточна знать состав элементов, их число и среднестатистическое значение интен­ сивности отказов элементов каждого типа. СредДестатистические данные о ^-характеристиках получают по данным специ­ альных испытаний на надежность либо на основании анализа процесса эксплуатации систем, подобных проектирУем°й-

Достигнутый в настоящее время уровень надежности тех­ нических устройств характеризуется значениями интенсивности отказов X - Ю"6- 10~8 1/ч. Это позволит поднять наработку на отказ системы, состоящей из N= 106 элементов, до значения 100 ч, чего явно недостаточно. Необходимая надежность слож­ ных систем может быть достигнута только при применении раз­ личных видов резервирования. Резервирование - это одно из основных средств обеспечения заданного уровня надежности (особенно безотказности) объекта.

В соответствии с ГОСТ 27.002-89 резервированием назы­ вается применение дополнительных средств и (или) возможно­ стей с целью сохранения работоспособного состояния объекта при отказе одного или нескольких его элементов. Таким обра­ зом, резервирование - это метод повышения надежности объек­ та путем введения избыточности.

Избыточность - это дополнительные средства и (или) возможности сверх минимально необходимых для выполнения объектом заданных функций.

Принципы структурной и функциональной избыточности лежат в основе надежного функционирования как биологиче­ ских, так и технических систем.

Границы использования принципа избыточности устанав­ ливаются с помощью экономических критериев, поскольку не­ осторожное использование этого принципа приводит к недопус­ тимому увеличению размеров, веса, стоимости и других показа­ телей. Оптимизация количественных характеристик избыточно­ сти и надежности базируется, таким образом, на идеях, состав­ ляющих сущность категорий качества, количества и меры, под­ чиняясь закону перехода количественных изменений в качест­ венные и обратно, а также закону единства и борьбы противо­ положностей.

классическим примером взаимного отрицания надежности сис­ темы и других показателей ее технического уровня. Данное об­ стоятельство является движущей силой, определяющей направ­ ление и темпы развития конкретного класса конструкций.

Существуют разнообразные методы резервирования. Их целесообразно разделять по 6 признакам (рис. 4.20).

Методы резервирования

Рис. 4.20. Виды резервирования

Структурное резервирование заключается в том, что в ми­ нимально необходимый вариант объекта вводятся дополнитель­ ные элементы. Элементы резервированной системы носят сле­ дующие названия. Основной элемент - элемент, необходимый для выполнения объектом требуемых функций при отсутствии отказов. Резервный элемент - элемент объекта, предназначенный для выполнения функций основного элемента в случае отказа по­ следнего. Резервируемый элемент - основной элемент, на случай отказа которого в объекте предусмотрен резервный элемент.

Остальные виды резервирования по признаку «вид резер­ вирования» рекомендуется рассмотреть самостоятельно.

Мажоритарное резервирование применяется обычно в ло­ гических устройствах, отказ которых может быть связан как с невыдачей сигнала, так и с выдачей ложного сигнала. Необхо­ димость применения такого резервирования объясняется тем, что если для логического устройства применить простое дубли­ рование, то уменьшится вероятность невыдачи устройством ко­ манды, но увеличится вероятность выдачи ложной команды.

На рис. 4.26 изображено резервирование по принципу «2 из 3». Несколько одинаковых логических устройств (ЛУ) подключается к нагрузке не непосредственно, а через логиче­ ский пороговый мажоритарный элемент (МЭ), на выходе кото­ рого сигнал появляется только в том случае, если она подана на большинство входов МЭ, т.е. когда исправна большая часть одинаковых ЛУ.

Степень избыточности характеризуется кратностью резер­ вирования. Кратность резервирования - это отношение числа резервных элементов объекта к числу резервируемых ими ос­ новных элементов, выраженное несокращенной дробью. Резер­ вирование с целой кратностью имеет место, когда один основ­ ной элемент резервируется одним или более элементами.

При резервировании с дробной кратностью два и более однотипных элемента резервируются одним и более резервными элементами.

Остальную часть классификации, представленную на рис. 4.20, следует рассмотреть самостоятельно.

4.8.5.Расчет надежности технических систем

срезервированием

1.Расчет надежности при общем резервировании с по­ стоянно включенным резервом (см. рис. 4.21)

Допущения:

1)отказы элементов системы описываются простейшим потоком отказов;

2)резервируемые и резервные элементы равнонадежны.

Задано:

1)число основных элементов в системе /V;

2)ВБР /-го элемента;

3)кратность резервирования.

Требуется определить показатели надежности резервиро­ ванной системы.

ВБР системы без резервирования при независимых отка­ зах определяется по формуле (4.105), вероятность же отказа можно определить так:

N

(4.112)

(индекс «1» соответствует основной системе).

Вероятность отказа системы с общим резервированием (согласно теореме об умножении вероятностей) Qcсоставит:

(4.113)

В случае равенства вероятностей отказа основной и ре­ зервных систем

Вместо вероятности отказа можно определить ВБР:

(4.115)

i=i

Для экспоненциального закона распределения вероятно­ сти отказов

м о = -

При анализе надежности резервированных устройств на этапе проектирования приходится сравнивать различные схем­ ные решения. В этом случае за критерий качества резервирова­ ния принимается выигрыш надежности.

Выигрышем надежности называется отношение количе­ ственной характеристики надежности резервированного устрой­ ства к той же количественной характеристике нерезервирован­ ного устройства или устройства с другим видом резервирова­ ния. Наиболее часто используются следующие критерии качест­ ва резервированных устройств:

0 ,(0 = ОАО

^цспн

выигрыш надежности в течение времени t по вероятности отказов;

с дробной кратностью и нагруженным резервом (рис. 4.29).

кратностью при нагруженном резерве

При резервировании с дробной кратностью нормальная работа резервированного соединения возможна при условии, если число исправных элементов не меньше необходимого для нормальной работы.

Кратность резервирования т определяется из соотношения

где Z - общее число элементов расчета резервированного соеди­ нения; N - число элементов, необходимое для нормальной рабо­ ты; Z - N - число резервных элементов.

Вслучае общего резервирования (см. рис. 4-23 и 4.25) крат­ ность резервирования всегда равна числу резервных устройств.

Вобщем же случае т является числом дробным. Однако

и то же те может получаться при различных Z и Дг х0 кратность резервирования следует записывать в виде простой дроби без сокращения.

4 Так, например, если записано т =— , то это означает, что

здесь имеет место резервирование с дробной кр^ТНОСТыо, при­ чем для нормальной работы соединения необхо^имо не менее двух элементов, а число резервных элементов р^В1Ю четырем.

Записать в данном случае т = 2 нельзя, так как такая запись оз­ начает, что имеет место резервирование с целой кратностью, причем число резервных элементов равно двум, общее число элементов равно трем.

Пусть резервированная система состоит из N основных иК резервных элементов (N > К). При отказе одного из основ­ ных элементов на его место без перерыва в работе включается один из резервных (резервные элементы также могут отказы­ вать). Таких замещений, не нарушающих работу системы в це­ лом, не может быть больше К. Средняя наработка до отказа та­ кой системы в предположении абсолютно надежных переклю­ чающих устройств и равнонадежных элементов, с интенсивно­ стью отказов каждого X, равна

Безотказная работа системы в течение времени t будет иметь место, если за это время осуществится хотя бы одна из ги­

6.Расчет надежности схем с мажоритарным резерви­

рованием

Расчет надежности схем с мажоритарным резервировани­ ем осуществляется в два этапа: на первом определяется вероят­ ность невыдачи команды, на втором - вероятность выдачи лож­ ной команды.

от / логических элементов, и где Q„ ~ вероятность отказа изби­ рательной схемы вследствие выдачи ложной команды:

Отметим, что для расчета вероятности безотказной работы

схемы с мажоритарным резервированием можно использовать

формулу (4.130), если пренебречь вероятностью выдачи ложно­ го сигнала.

4.9.ОБОСНОВАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ К НАДЕЖНОСТИ

Вобщем случае обоснование требований к надежности

сложных технических систем связано с соизмерением затрат в производстве и эксплуатации, вызванных изменением надеж­ ности оборудования. Это оптимизационная задача нахождения минимума стоимости изготовления и эксплуатации изделия:

где Сх(Р) - общая стоимость всех затрат на разработку, произ-

водство и эксплуатацию системы.

Любая система, имеющая низкую надежность, как правило, имеет высокую стоимость при эксплуатации. По мере увеличения надежности затраты на эксплуатацию системы уменьшаются.

Решение задачи (4.137) из-за существенной неопределенно­ сти исходной информации чрезвычайно сложно. Рассмотрим один из возможных путей. При изменении ВБР в пределах 0,2-0,8 увеличение стоимости идет плавно, а в пределах 0,8-1,0 - резко возрастает, приближаясь к бесконечности при P(t) = 1,0 (кривая 1

175

Стоимость систем складывается из затрат на составляю­ щие ее элементы, т.е. требуется решить задачу:

СЕ(/»>= £ [< х , Ц 1 - Р,) + Р, н т => m in . (4.146)

/=I

Чтобы формула (4.146) выражала зависимость между на­ дежностью и суммарной стоимостью, необходимо Р,(1) выразить через P(t). Но определенному текущему значению надежности системы могут удовлетворять множества комбинаций значений Р,, дающих в произведении одно и то же значение Р. Нас же ин­ тересует только такая комбинация произведений Р„ которая для данного знания приводит к Cz => min.

Иначе говоря, задача сводится к нахождению таких значе­ ний P,(t), при которых ВБР системы равна P(t), а стоимость ми­ нимальна:

САР,) = £[<*, 1п0 - Р,) + H Pt)} => min,

/=1

(4.147)

ы

На основании метода Лагранжа минимизация стоимости системы может быть достигнута решением следующей системы уравнений:

p ( t ) = f l m

/=!

где со - неопределенный множитель.

После дифференцирования первого уравнения системы (4.149) получим

Обозначим а>Р—v, тогда после преобразований из выра­ жения (4.149) имеем

Подставляя (4.150) во второе выражение системы (4.148), получаем

у+ Р,

(4.151)

« о - f1=1t v + a, + р (

Из системы (4.148) и уравнения (4.151) видно, что между P(t) и Pi(t) имеется сложная зависимость, затрудняющая непо­ средственное выражение Pit) через P(t).

Поэтому задачу рекомендуется решать методом последо­ вательных приближений. Задавая различные значения парамет­ ру v, находим текущие значения P(t) и соответствующие комби­ нации P\{t), входящие в произведение P{t), при которых суммар­ ная стоимость системы будет минимальной для каждого значе­ ния P(t). По полученным значениям Сг и P(t) строится зависи­ мость Сг =ДР), из которой находится Рот.