- •А.Ю. Крюков, Б.Ф. Потапов
- •Крюков, А.Ю.
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. СУЩНОСТЬ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1.1. Понятие о моделировании и свойства моделей
- •1.1.2. Цели моделирования
- •1.1.3. Виды моделирования и классификация моделей
- •1.2.1. Общие положения и основные определения
- •1.2.2. Структура математической модели и ее построение
- •1.2.3. Иерархия математических моделей
- •1.2.5. Классификация математических моделей
- •1.2.6. Геометрическое представление математических моделей
- •1.3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
- •2.1. МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ
- •2.2. МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ
- •2.2.1. Общая характеристика моделей, их структура и сущность
- •1. Компонентные уравнения
- •2. Топологические уравнения
- •Компонентные и топологические уравнения электрической системы
- •2.2.5. Задания для самостоятельной работы
- •2.3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
- •3.2.1. Общие принципы моделирования полей
- •3.2.2. Особенности построения моделей
- •3.2.3. Модели стационарных полей
- •3.2.4. Модели нестационарных полей
- •3.2.7. Задание для самостоятельной работы
- •3.3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
- •4.1.1. Надежность объектов как комплексное свойство
- •4.1.2. Классификация отказов и временные понятия
- •4.3.1. Основные понятия, определения и положения
- •4.3.2. Основные характеристики случайных величин
- •4.4. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ
- •4.4.1. Показатели безотказности
- •4.6.1. Общая характеристика и виды моделей
- •4.6.2. Распределения, используемые в теории надежности
- •4.6.3. Композиция законов распределения
- •4.6.4. Задание для самостоятельной работы
- •4.7 ПОТОКИ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЙ
- •4.8. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •4.8.1. Общие положения
- •4.8.2. Модели параметрических отказов
- •5.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ И СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ
- •5.1.1. Общие замечания, основные понятия и определения
- •5.1.2. Решение задачи о максимальном потоке
- •5.1.3. Потоки минимальной стоимости
- •5.1.4. Практические примеры сетевых задач
- •5.1.5. Некоторые обобщения по сетевым задачам
- •5.1.6. Альтернативные методы решения сетевых задач
- •5.2.1. Основные положения
- •5.2.2. Структура принятия решения
- •5.2.4. Пример применения классических критериев
- •6.1.1. Постановка задач оптимизации и критерии
- •оптимальности
- •6.1.2. Многокритериальные задачи оптимизации
- •6.1.3. Классификация методов оптимизации
- •6.2. РЕГУЛЯРНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
- •6.2.1. Методы математического анализа
- •6.2.2. Понятие о вариационном исчислении
- •6.2.3. Принцип максимума Понтрягина
- •6.2.4. Метод динамического программирования
- •6.3. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
- •6.3.2. Минимаксные стратегии одномерного поиска
- •6.3.4. Многомерные методы безусловной оптимизации
- •6.3.7. Заключение по прямым методам оптимизации
- •7 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Учебное издание
- •Учебное пособие
4.7 ПОТОКИ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЙ
Необходимо подчеркнуть, что слова «поток отказов» во все не означают обязательное наличие «паводка» отказов. Это есть не что иное, как абстрактное (математическое) пред ставление существа эксплуатации реальных систем. Отказы объектов (особенно сложных, высокоответственных систем) - это, как правило, достаточно редкие события во времени. Фор мализация же явлений отказов объектов в виде потоков редких случайных событий дает инструмент описания поведения прак тически любых технических систем.
Наибольшее применение в теории надежности получили простейший поток и потоки Эрланга. Наиболее важными харак теристиками потоков отказов и восстановлений являются мате матическое ожидание числа отказов (восстановлений) С1(() на интервале (0; /), интенсивность Х(/) или ц(/) и со(/) - параметр потока отказов. Под интенсивностью потока понимается мате матическое ожидание числа событий (отказов или восстановле ний) в единицу времени.
1. Простейший поток
Простейшим потоком событий называется поток, удовле творяющий условиям стационарности, ординарности и отсутст вия последействия.
Стационарность потока отказов означает, что вероят ность появления определенного числа отказов за определенный интервал времени длительностью t не зависит от того, где рас полагается на оси времени t этот интервал, а зависит только от длительности интервала, т.е. плотность потока появления отка зов постоянна во времени. Иначе говоря, вероятность возникно вения фиксированного числа отказов на заданном интервале времени нс зависит от выбора начала отсчета времени. Потоки отказов многих объектов в период нормальной эксплуатации близки к стационарному потоку. В периоды приработки и ста
рения объектов потоки отказов являются нестационарными. Иначе говоря, для стационарного потока X(t) = const.
Поток отказов принадлежит к классу ординарных пото ков, если вероятность возникновения двух и более отказов за промежуток времени At пренебрежимо мала по сравнению с ве роятностью возникновения одного отказа, т.е.
lim 0 ° * ^ = 0. |
(4.87) |
д/-*о Д / |
|
Иными словами, ординарность потока исключает случаи одновременного возникновения нескольких отказов.
Отсутствие последействия означает, что вероятность возникновения фиксированного числа отказов на интервале времени (t\ t + т) не зависит от того, сколько отказов возникло до момента т. Аналитически условия принадлежности к классу
потоков без последействия можно записать так: |
|
Q(nx= пи л/+х - п х = п) =Qn\{T)Qn{t + т). |
(4.88) |
Для потоков с последействием |
|
Q{n, = пи п,+х- ит = ri) = Q„i(x)P(n,+, - пх= — =«,). |
(4.89) |
Ит |
|
Иначе говоря, условие отсутствия последействия выража ет взаимную независимость отказов.
Несмотря на то, что на практике не всегда наблюдается одновременное выполнение всех трех указанных условий, про стейший поток может служить приближенной физической мо делью для широкого круга задач, выдвигаемых требованиями эксплуатации объектов. Можно доказать, что если поток отказов является простейшим, то он описывается распределением Пуас
сона (4.70) с постоянным параметром распределения X: |
|
Й (/) = М > |
(4.90) |
п\ |
|
Поэтому простейший поток часто называют пуассоновским.
Потоки отказов элементов сложных систем часто являют ся нестационарными. Поток, удовлетворяющий одновременно условиям ординарности и отсутствия последействия, но неста ционарный, называется нестационарным потоком Пуассона. Такие потоки наблюдаются в процессе приработки системы и в случае, если элементы сложной системы работают неодно временно. Они также имеют место при отказах резервированных систем с постоянно включенным резервом, если поток отказов для основной и всех резервных систем является простейшим.
2. Потоки Эрланга
Нарушение условий стационарности или наличие после действия приводит к тому, что поток становится непростейшим. К непростейшим потокам относятся потоки Эрланга, которые возникают «просеиванием» простейшего потока отказов. Пото ком Эрланга k-го порядка называется поток, получающийся в результате сохранения каждого k -то события в простейшем потоке. При к = 1 поток Эрланга - простейший.
С увеличением числа к последствие возрастает. При
к —» оо поток приближается к регулярному потоку с постоянным интервалом между событиями:
(4.91)
Дифференциальный закон распределения потока Эрланга следующий:
(4.92)
где X - интенсивность простейшего исходного потока. Интенсивность отказов при потоке Эрланга
(4.93)