1.2.5. Классификация математических моделей

В зависимости от степени абстрагирования при описании физических свойств различают три основных иерархических уровня: верхний (метауровень), средний (макроуровень), ниж­ ний (микроуровень).

Метауровень соответствует начальным стадиям проектиро­ вания, на которых осуществляется научно-технический поиск и прогнозирование, разработка концепции и технического реше­ ния на уровне определения принципиальных схем и физических принципов действия проектируемого оборудования, решаются организационно-экономические задачи подготовки производства

Для построения математических моделей метауровня ис­ пользуют методы морфологического синтеза, теории графов, ма­ тематической логики, теории автоматического управления, теории принятия решений, линейного и нелинейного программирования.

На макроуровне объект проектирования рассматривают как динамическую систему с сосредоточенными параметрами. Моде­ ли макроуровня представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти модели используют при оп­ ределении параметров объекта и его функциональных элементов.

На микроуровне объект представляется как сплошная сре­ да с распределенными параметрами, для описания которой ис­ пользуют дифференциальные уравнения в частных производ­ ных. На микроуровне моделируют неделимые по функциональ­ ному признаку элементы технической системы, называемые ба­ зовыми элементами. Примерами таких элементов являются ра­ мы, панели, корпусные детали, валы, диски фрикционных меха­ низмов и др.

Классификацию по форме представления, способам полу­ чения и способности прогнозирования результатов рекоменду­ ется рассмотреть самостоятельно.

Деление математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта.

Структурные модели отображают только структуру объ­ ектов и используются при решении задач структурного синтеза.

Параметрами структурных моделей являются признаки функ­ циональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объ­ екта отличается от другого. Такие модели наиболее широко ис­ пользуют на метауровне при выборе технического решения.

Функциональные модели описывают процессы функцио­ нирования объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объ­ екта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза. На метауровне функциональные модели позволяют решать задачи прогнозирования, на макроуровне - выбора структуры и оптимизации внутренних параметров тех­ нического объекта, на микроуровне - оптимизации параметров базовых элементов и несущих конструкций.

Математические модели могут быть линейные и нелинейные. Линейные модели содержат только линейные функции фа­ зовых переменных и их производных. В математическом плане это важное понятие означает, что справедлив принцип суперпо­ зиции, т.е. любая линейная комбинация решений (например, их сумма) также является решением задачи. Пользуясь принципом суперпозиции, нетрудно, найдя решение в каком-либо частном случае, построить решение в более общей ситуации. Поэтому о качественных свойствах общего случая можно судить по свой­ ствам частного: различие между двумя решениями носит лишь

количественный характер.

Характеристики же многих элементов реальных техниче­ ских объектов нелинейные. Для нелинейных явлений, математи­ ческие модели которых не подчиняются принципу суперпози­ ции, знание о поведении части объекта еще не гарантирует зна­ ния поведения всего объекта, а его отклик на изменение условий может качественно зависеть от величины этого изменения.

Среди причин, приводящих к необходимости рассматри­ вать нелинейные математические модели технических объек­ тов, одной из основных является непосредственная зависимость

значений внутренних параметров объектов от их внешних и вы­ ходных параметров.

Остальные признаки классификации по учету физических свойств следует рассмотреть самостоятельно.

Представленная классификация моделей отражает их ос­ новные существенные признаки, что помогает систематизиро­ вать знания об их природе и областях практического примене­ ния, т.е. установить взаимосвязи между характеристиками объ­ екта, целью его исследования и необходимым составом приме­ няемой модели.

Также возможна классификация на основе разделения способов получения информации об объектах исследования, представленная в работе [4], и классификация, представленная в учебном пособии [24], которая содержит признаки как струк­ туры модели, так и методов ее реализации. Данные классифика­ ции предлагается рассмотреть самостоятельно.

1.2.6.Геометрическое представление математических моделей

Геометрически модель может быть представлена как не­ которая поверхность отклика, соответствующая расположению точек W(x) в Аг-мерном факторном пространстве х. Такое пред­ ставление оказывается чрезвычайно полезным, в частности, при решении задач оптимизации. К сожалению, наглядно можно представить себе только одномерную (рис. 1.9, а) и двумерную (рис. 1.9, 6) поверхности отклика, причем в последнем случае удобно использовать топографический способ изображения рельефа с помощью линий уровня (рис. 1.9, в).

Количество вершин (впадин) определяет модальность по­ верхности отклика. Если на поверхности отклика имеется одна вер­ шина (впадина), модель называется унимодальной (см. рис. 1.9, б и 1.10), в противном случае - полимодальной (рис. 1.9, а). Требова­ ние унимодальности может быть сформулировано аналогично усло­ вию наличия одного локального экстремума функции целевой.

Рис. 1.12. Двумерные унимодальные поверхности отклика

а-унимодальная; б - строго унимодальная;

в- линейно унимодальная

Другим важным свойством является контрастность по­ верхности отклика, показывающая чувствительность результи­ рующей функции к изменению фазовых переменных. Контраст­ ность характеризуется величинами производных. Примерно равная контрастность по всем переменным х, характеризует си­ туацию «склона» (точка А на рис. 1.11). Существенно различная контрастность по различным переменным (плохая обусловлен­ ность функции) является признаком «овражной» ситуации (точ­ ка В). Наконец, общая низкая контрастность (точка С) говорит или о близости экстремума, или о своеобразном «плато» на по­ верхности отклика. Возможности исследования моделей суще­ ственно зависят от указанных свойств поверхности отклика.