Добавление третьего эксперимента (третьей точки) не по­ зволяет существенно сократить интервал неопределенности. Мож­ но показать, что минимаксная оценка £з составляет Ьъ = O,5L0,

е

т.е. улучшение, достигаемое за счет третьей точки, равно —.

6.3.2. Минимаксные стратегии одномерного поиска

Стратегии поиска, использующие минимаксные оценки интервала неопределенности, называются минимаксными или, с учетом величины г, - е-минимаксными стратегиями. Если исследователь располагает четным числом и = 2р точек (экспе­ риментов), то наилучшее размещение соответствует разделению точек на пары, расположенные около равноотстоящих друг от друга центров. При этом в каждой паре точки отстоят друг от друга на е (подразумевается, что расстояние между парами су­ щественно больше е ), н о необязательно симметричны относи­ тельно своего центра (см. рис. 6.14). Величина интервала неоп­ ределенности после и экспериментов определяется выражением

2

Рассмотренная стратегия относится к пассивным методам поиска. Легко убедиться, что попытка сдвинуть любую из зафик­ сированных на рис. 6.15 точек приводит лишь к увеличению ми­ нимаксной оценки Ь„. Этот метод получил название метода опти­ мизации однородными парами. Из (6.81) следует, что при доста­ точно малой величине s для сокращения интервала L0, например в 100 раз, необходимо исследовать 198 точек этого интервала.

При нечетном числе исследуемых точек п = 2р + 1 суще­ ствует множество равноценных минимаксных стратегий. Одна из них предусматривает равномерное расположение точек на

интервале Lo (рис. 6.15, б). Интервал неопределенности при этом определяется формулой

Эффективность поиска может быть существенно увеличе­ на, если при выборе очередной точки использовать информа­ цию, полученную при исследовании предыдущих точек, т.е. при переходе к последовательным стратегиям.

Пусть первая пара точек при отсутствии предварительной информации выбрана в соответствии с рассмотренной выше е-минимаксной стратегией (рис. 6.16). После исследования этих точек из дальнейшего рассмотрения в силу унимодальности функции W может быть исключена почти половина интервала L0

(см. рис. 6.16). Для полученного интервала неопределенности L2

может быть спланирована новая оптимально расположенная па­ ра точек, в результате исследования которых будет получен ин­ тервал неопределенности Ц:

(6.83)

Дальнейшая последовательность действий ясна из рис. 6.16. После проведения п = 2р экспериментов интервал неопределен­ ности составит

Рассмотренный метод получил название метода дихото мии (деления пополам).

Рис. 6.16. Схема поиска оптимума методом дихотомии

Легко сравнить эффективность методов дихотомии и од­ нородных пар. Из (6.84) следует, что при использовании метода дихотомии уже после 14 экспериментов интервал неопределен­ ности сократится почти в 128 раз, в то время как при методе од­ нородных пар для сокращения интервала неопределенности в 100 раз потребуется 198 экспериментов. Этот выигрыш, воз­ растающий с ростом заданной точности определения экстрему­ ма, достигается за счет систематического использования накоп­ ленной информации.

Несмотря на высокую эффективность, метод дихотомии не является оптимальным, поскольку на каждом шаге требуется ис­ следование двух новых точек интервала неопределенности. Меж­

ду тем после проведения первого шага в интервале Lj (а также во всех последующих) уже имеется одна исследованная точка (см. рис. 6.16), оставшаяся от предыдущего шага, которая при дальнейшей оптимизации не используется. Таким образом, пого­ ня за оптимальностью каждого отдельного шага оптимизации приводит к необходимости исследования дополнительных точек.

Поэтому при достаточно большом количестве шагов ока­ зывается целесообразным отказаться от оптимальности каждого отдельного шага в пользу оптимальности стратегии в целом. Эта идея реализована в методах, предложенных в 1953 г. американ­ ским ученым Кифером и основанных на последовательности чисел Фибоначчи и золотом сечении Эвклида.

Пусть для сокращения исходного интервала неопределен­ ности предполагается исследовать п точек интервала. Перед про­ ведением исследования в последней п-й точке исследователь рас­ полагает интервалом неопределенности L„-\, внутри которого есть одна исследованная точка х„. ь где получено пока лучшее (мини­ мальное) значение отклика W„.1 = Щх„^) (рис. 6.17). Расположе­ ние точки х„_1 внутри L„-] полностью определяется принятой стратегией поиска. Разумеется, исследователь может также вы­ брать положение последней точки х„. Поскольку в данном случае речь идет о выборе положения двух точек, а заботиться о даль­ нейшем уже не нужно (наблюдается аналогия с выбором управ­ ления на последнем этапе при динамическом программировании), естественно расположить эти точки оптимальным образом сим­ метрично середине интервала на расстоянии е друг от друга.

Вне зависимости от того, какая из точек (хп, JC„_I) окажется

Рис. 6.17. Схема поиска оптимума методом Кифера

Аналогично в интервале неопределенности Z„_2, получен­ ном после исследования п - 2 точек, имеется лучшая из этих то­ чек хп-2 (W„_2 - W(x„_2)). В этом интервале необходимо размес­ тить точку x„_i, после исследования которой будет осуществлен переход Z„_2 -»Z„_1. На рис. 6.17 значение отклика в точке х„.2 больше (хуже), чем в точке х„_ь в результате чего точка х„_2 ста­ новится граничной точкой интервала Z„_|. Но ведь это один из возможных исходов и заранее неизвестно, в какой из точек х„-2, х„_| будет получен лучший результат. Величина же интервала L„-\ не должна зависеть от конкретного результата испытания. По­ этому расстояние от левого конца L„.2 до правой исследуемой точки х„-2 должно быть равно расстоянию от левой исследуемой точки х„-\ до правого конца L„..\, Оба эти расстояния равны L„-\.

В то же время расстояние каждой из точек хп-\, х„-2 до ближай­ шей границы интервала L„-2 равно L„. Следовательно,

Распространяя (6.85) и (6 .86) на любые три последова­ тельные интервала неопределенности, можно получить

последовательность знаменитых чисел Фибоначчи F, в которой, как известно, первые два числа равны 1, а каждое следующее число является суммой двух предыдущих (Fo = Ft = 1; Fj = Fj-x +Fj-2): 1,1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,

С помощью чисел Фибоначчи соотношения (6 .88) можно

При к = п - 1 в левой части (6.89) стоит исходный интер­ нат неопределенности L = L0. Поэтому из (6.89) следует, что

откуда можно получить выражение для конечного интервала неопределенности после исследования п точек:

Метод Кифера, основанный на использовании чисел Фибо­ наччи, является оптимальным £-минимаксным методом и обеспе­ чивает максимально возможное сокращение интервала неопреде­ ленности. Так, сокращение исходного интервала неопределенно­ сти почти в 144 раза требует изучения функции отклика всего

клятием» размерности. Можно выделить три проблемы, порож-

даемые многомерностью.

Во-первых, возрастание числа переменных делает менее вероятной унимодальность поверхности отклика и часто приво­ дит к необходимости изучения полимодальных функций.

Во-вторых, для многомерного случая не удается найти универсальную, не зависящую от удачи исследователя меру эф­ фективности поиска, аналогичную принципу минимакса.

В-третьих, при переходе к многомерному пространству уменьшается относительная эффективность поиска, что связано с существенным увеличением интервала неопределенности по каждой из переменных при одинаковом относительном сокра­ щении размеров области поиска. Это обстоятельство делает бесперспективными пассивные методы при решении многомер­ ных задач.

Поэтому подавляющее большинство реально используе­ мых методов многомерной оптимизации является последова­ тельными, и далее будут рассматриваться только стратегии оп­ тимизации указанного типа.

В настоящем разделе рассмотрены лишь некоторые наи­ более типичные методы многомерного прямого поиска, разби­ тые на группы в соответствии с классификацией, приведенной

на рис. 6.19.

При разработке процедуры многомерного поиска всегда возникает три вопроса:

1.Откуда (из какой точки х0 е X*) нужно начинать поиск?

2.В каком направлении необходимо двигаться в фактор­

ном пространстве?

3.Когда необходимо прекратить поиск?

Взависимости от особенностей поверхности отклика и на-

личия ограничений в процессе поиска экстремума целевой функ­ ции применяют различные методы: безусловной и условной, ло­

кальной и глобальной оптимизации.