-возможности дальнейшего развития модели;

-проведение параметрических исследований с целью оп­ ределения влияния отдельных характеристик системы или процесса на выходные параметры, которые опреде­ ляются в результате моделирования.

Завершается этот этап оформлением полученных резуль­ татов и разработкой рекомендаций по использованию модели.

Таким образом, задачей математического моделирования реальной технической системы является идеализация, в ходе которой свойства системы абстрагируются и отождествля­ ются со свойствами математических объектов, в результате чего исследователь синтезирует математическую модель.

1.2.3. Иерархия математических моделей

Слово «иерархия» (от греческих hieros - священный

и arche - власть) означает расположение частей или элементов целого в порядке от низшего к высшему.

Сложную систему практически невозможно полно и де­ тально описать в рамках единой математической модели. Раз­ личные части системы изучены в разной степени (например, с разной степенью достоверности могут быть описаны процессы горения, охлаждения стенок и расширения газа в сопле при изу­ чении жидкостного ракетного двигателя), поэтому их математи­ ческие описания обладают разной точностью, а непрерывное накопление информации приводит к систематическому совер­ шенствованию описаний отдельных элементов. При использо­ вании единой модели точность моделирования целиком опреде­ ляется точностью описания наименее изученных подсистем, а любая новая информация требует полной переделки модели.

Поэтому наиболее эффективные результаты при описании и изучении сложных систем дает иерархический подход, преду­ сматривающий разбиение системы на вертикально соподчинен­ ные подсистемы разных уровней и разработку модульных моде30

лей каждой из них. Таким образом возникает многоуровневая иерархическая система моделей, в основе которой лежит мо­ дульный принцип, предусматривающий разработку не одной, а семейства взаимосвязанных и взаимодействующих между со­ бой моделей. При таком подходе изменение представлений

об отдельных процессах или об отдельных элементах системы не требует полной переделки модели и затрагивает лишь от­ дельные модели - модули.

Концепции такого иерархического описания предусмат­

ривают введение ряда уровней иерархии (рис. 1.4), отличаю­

щихся различной степенью абстрагирования от реальной карти­ ны явления.

Наблюдается известная асим­

метрия представлений. Понимание физических процессов и точность описания объекта растет с переходом

к нижним уровням иерархии. Общие же цели и задачи функционирования системы, ее место в материальном мире более полно раскрываются на

верхних уровнях.

Другой вариант понимания «иерархии математических моделей» также строится на том, что лишь

в редких случаях бывает удобным и оправданным построение мо­ делей даже относительно простых объектов сразу во всей пол­ ноте, с учетом всех факторов, существенных для его поведения.

Поэтому естествен подход, реализующий принцип «от про­ стого - к сложному», когда следующий шаг делается после доста­ точно подробного изучения не очень сложной модели. При этом возникает цепочка все более полных моделей, каждая из которых обобщает предыдущие, включая их в качестве частного случая.

Для примера можно рассмотреть модель «шарикпружина», описывающую колебания шарика, прикрепленного к пружине (рис. 1.5, а). В модель последовательно вводятся до­ полнительные факторы: крепление пружины на вращающемся стержне (рис. 1.5, б), учет силы сухого трения (рис. 1.5, в), учет сопротивления среды - сил вязкого трения (рис. 1.5, г).

Рис. 1.5. Иерархия моделей по учитываемым факторам

Представленные построения демонстрируют иерархиче­ скую цепочку моделей системы «шарик-пружина», получаю­ щихся одна из другой при последовательном отказе от предпо­ ложений, идеализирующих изучаемый объект.

Иерархия математических моделей часто строится и по противоположному принципу «от сложного - к простому».

В этом случае из достаточно общей и сложной модели при соот­ ветствующих упрощающих предположениях получается после­ довательность все более простых (но имеющих уменьшающую­ ся область применимости) моделей.

Данный подход также широко применяется, в том числе и потому, что позволяет сразу установить некоторые общие свой­ ства объекта, конкретизируя и дополняя их в частных ситуациях.

Для лучшего понимания представленного подхода чрез­ вычайно полезно будет ознакомиться с логикой построения сложных математических моделей на примере иерархической цепочки гидродинамических моделей газа [19, гл. 3], содержа­ щей широкий спектр уравнений, структура и вариации которых зависят от конкретных условий рассматриваемой задачи. Этапы цепочки таковы: «применение законов классической механики к каждой частице среды» —» «переход к кинетическому уровню - вероятностное описание газа с помощью функций распределе­ ния» «предположение о локальном термодинамическом рав­ новесии для перехода к описанию газа в гидродинамическом приближении» —> «запись уравнений основной гидродинамиче­ ской модели и последующий анализ разнообразных иерархиче­ ских цепочек, структура которых зависит от рассматриваемых процессов (рис. 1.6)».

Понимание иерархии моделей с позиций зависимости их структуры от учитываемых факторов является важным, осново­ полагающим, поскольку позволяет правильно оценивать область применимости конкретной модели и четко осознавать ее связи с моделями других уровней, т.е. способствует более глубокому пониманию исследуемых явлений.

Рис. 1.6. Иерархические цепочки моделей газа:

1 - возможность статистического описания газа с помощью функции распределения, упругие столкновения; 2 - близость процессов к локальному

термодинамическому равновесию; 3, 1 9 - отсутствие теплопроводности; 4, 11 - несжимаемость жидкости; 5, 7, 18 - отсутствие вязкости; 6 -идеальная жидкость, потенциальные течения; 8 - неподвижность газа; 9 - стационарный процесс, постоянство коэффициента теплопроводности; 1 0 - отсутствие вязкости и теплопроводности; 12 - одномерные течения; 13 - идеальный газ, энтропия постоянна;

14, 17 - малые возмущения газа; 15, 1 6 - течения типа простой волны

1.2.4. Место математического моделирования

вобщей структуре процесса проектирования

иизготовления изделий

Процесс проектирования может быть представлен в виде трехмерной матрицы [27] (рис. 1.7). Движение в направлении оси X соответствует структуре технического объекта. Движение в направлении оси Y соответствует традиционному поиску структуры системы и конкретных конструкторско-технических решений, их всестороннему анализу. Движение в направлении оси Z соответствует принятому в России поэтапному порядку разработки объектов новой техники. Сокращения: ТЗ - техниче­ ское задание, ТП - техническое предложение, ЭП - эскизный проект, ТехП - технический проект, РД - рабочая документа­ ция, 0 0 - опытный образец.

Рис. 1.7. Принципиальная схема процесса проектирования

Математическое моделирование сопровождает изделие (технологию) на всех этапах процесса проектирования.