5.2.4. Пример применения классических критериев

Матрица остатков для решения задачи о проверках машины и результаты вычисления оценочной функции согласно

Согласно ММ-критерию (5.24) следует проводить полную проверку (Е0= {.Ei}). ЕЕ-критерий (5.27) в предположении, что все состояния машины равновероятны (д7 = 0,33), рекомендует отказаться от проверки (Е0 = {Ез}). Критерий Сэвиджа (5.31) рекомендует выполнить частичную проверку (Е0 = {Е2}). Табл. 5.7 иллюстрирует результаты применения критерия Сэвиджа.

Наш пример сознательно выбран так, что каждый крите­ рий предлагает новое решение. Неопределенность состояния, в котором проверка застает машину, превращается теперь в от­ сутствие ясности, какому же критерию следовать. Таким обра­ зом, мы вроде бы мало что выиграли. Самое большее, можно было бы проверить после этого, не принимают ли величины е„ для какого-нибудь критерия приблизительно равные значения.

Поскольку различные критерии связаны с различными же аспектами ситуации, в которой принимается решение, лучше всего для сравнительной оценки рекомендаций тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой си­ туации. Если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то целесообразно придерживаться ЕЕ-критерия. Если же число реализаций невелико, то больший вес приобретают более осторожные рекомендации критерия Сэ­ виджа или минимаксного критерия.

Если, например, для какого-либо прибора имеют значение стоимость изготовления, срок поставки, надежность, простота монтажа, удобство обслуживания и влияние на другие приборы, а указанные свойства будут определяться выбором варианта решения —мы имеем дело с многоцелевым решением. Это тре­ бует, как правило, упорядочения ценностей или предпочтений, чтобы взвесить важность частичных целей. Принимающий ре­ шение должен либо получить необходимые для этого объектив­ ные сведения, либо субъективно установить их.

Функция полезности и число реализаций решения полу­ чаются из конкретных данных о рассматриваемой системе или процессе. Для ситуации выбора технико-экономических реше­ ний часто характерна неопределенность имеющейся информа­ ции. Эта неопределенность вынуждает принимающего решение выявить характеристики окружения, которые зависят от различ­ ных параметров. Неопределенность имеющейся информации может быть следствием погрешности в определении параметра или собственно неопределенности. Причиной этого могут быть как отклонения, так и ошибки.

Следует отметить, что, помимо рассмотренных, сущест­ вуют и другие критерии принятия решений (критерий произве­ дений, критерий Гурвица, критерий Гермейра и др.), с которыми читателю рекомендуется ознакомиться самостоятельно. При этом практически все известные критерии принятия реше­ ний в разной степени используют упомянутые выше позиции проектанта. Представленные классические критерии принятия решений используют упомянутые исходные позиции в чистом виде, в то время как другие существующие критерии использу­ ют эти позиции проектанта в различной комбинации, которая, например, может определяться в зависимости от сочетания полезностей различных вариантов действий.

Влияние исходной позиции конструктора на эффектив­ ность результата решения можно интерпретировать, исходя из наглядных представлений. Простейшим здесь является графиче­ ское изображение на плоскости, для чего мы временно ограни­ чимся случаем с двумя (п = 2) внешними состояниями при т вариантах решения.

Введем прямоугольную систему координат, откладывая по оси абсцисс значения результата еп, соответствующие внеш­ нему состоянию F\, а по оси ординат - значения е/2, соответст­ вующие состоянию F2, / = 1,..., т. В этом случае каждый вариант решения Et соответствует точке (ед, е,2), / = 1,..., т на плоскости.

Точку с координатами (тах,€л, шах,во) мы назовем утопи­ ческой точкой (УТ). Смысл этого названия в том, что координа­ ты всех точек (ед, ед), / = 1, ..., т, соответствующих вариантам решений Е \, ..., Ет, не могут быть больше, чем у точки УТ, и что УТ встречается среди т точек только в редком, идеальном слу­ чае, когда существует вариант решения, дающий максимальный результат для каждого из двух возможных внешних состояний. Аналогичное значение имеет и так называемая антиутопическая точка (АУТ), имеющая координаты (min,-ef-i, min,в>2): координаты всех точек (е,ьеа\ /= 1,..., т, соответствующих вариантам ре­ шений Е\, ..., Ет, не могут быть меньше, чем у точки АУТ. От­ сюда следует, что все т точек (ед, е/2), / = 1, т лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям, а противолежащие вершины суть точки УТ и АУТ (рис. 5.9). Этот прямоугольник будем называть полем полезно­ сти решений.

Теперь, чтобы сравнить варианты решений с точки зрения их качества, назовем вариант Et не худшим, чем вариант Е,, если выполняются неравенства ец > ej\ и е/2 > е ^ причем Е\ считается лучшим, чем Ej, если хотя бы одно из этих двух неравенств яв­ ляется строгим.

Рис. 5.9. Геометрическая интерпретация выбора решения

Очевидно, что при таком определении не любые два вари­ анта решений допускают сравнение в том смысле, что один из них лучше другого. Например, может случиться, что для точек (e,i, еа) и (ер, ер), соответствующих вариантам Е, и Ер выполня­ ются, например, неравенства ел > еа и ер < ер. На математиче­ ском языке это означает, что на множестве вариантов решений установлено так называемое отношение частичного порядка. Это отношение частичного порядка обладает рядом свойств, представленных на рис. 5.10. Выберем в поле полезности произ­ вольную точку, которую будем называть рассматриваемой (РТ). Прямыми, параллельными координатным осям, разобьем плос­ кость на четыре части и обозначим их I, II, III и IV. В двумерном случае каждая из этих частей имеет вид прямоугольника; в слу­ чае произвольной размерности они превращаются в так назы­ ваемые конусы.

Р = е п Нейтральная позиция

Рис. 5.10. Функции предпочтения при принятии решения

Рассматривая положение точек поля полезности относи­ тельно этих четырех конусов, можно в общем случае сказать следующее. Все точки из конуса I в смысле введенного выше частичного порядка лучше, чем рассматриваемая точка. Поэто­ му мы называем конус I конусом предпочтения. Соответственно все точки из конуса III хуже точки РТ, и мы будем называть об­ ласть III антиконусом. Таким образом, оценка качества точек из этих двух конусов в сравнении с точкой РТ проста и однознач­ на. Оценка же точек в отмеченных штриховкой конусах II и IV является неопределенной, вследствие чего их называют облас­ тями неопределенности. Для этих точек оценка получается только с помощью выбранного критерия принятия решения. В случае т вариантов решений Е\, ..., Ети п внешних состояний F \,..., F„ критерий принятия решения можно представит в виде:

Функция п переменных К характеризует соответствующий критерий и задает оценочную функцию. Для анализа критерия рассмотрим, полагая ец =х\, еп = хг, •••> ет =х„, функцию К на

всем «-мерном пространстве Rn Тогда каждому значению дей­ ствительного параметра к посредством равенства

ставится в соответствие некоторая гиперповерхность в про­ странстве Rn, называемая нами поверхностью уровня, соответст­ вующей значению к. В двумерном случае, интересующем нас ввиду его наглядности, мы специально полагаем еп - х\ = и и eji =Х2 = v, отождествляя тем самым еп-ось с «-осью, а £я-ось с v-осью, и с помощью равенства

получаем в этом случае на плоскости (м, v) кривую, называемую линией уровня, соответствующей значению к. При фиксирован­ ном уровне к уравнение К(и, v) = k определяет функциональную зависимость между переменными и и v, называемую функцией предпочтения; допуская терминологическую вольность, так же называют и соответствующую кривую на плоскости (м, v).

Рассмотрим, например, оценочную функцию, соответст­ вующую позиции нейтралитета (5.21). При ei{ = и и еа - v полу­ чаем для т = 2 семейство функций предпочтения, зависящих от параметра к:

п

При графическом изображении это выражение дает пря­ мые, параллельные биссектрисе второго и четвертого квадран­ тов (см. рис. 5.10, плоскость (м, v)). Выберем теперь на какой-

на описанные выше четыре квадранта: конус предпочтения, ан­ тиконус и конусы неопределенности.

Все точки из областей неопределенности, лежащие справа и выше этой линии уровня, в смысле нашего критерия лучше точек, лежащих слева и ниже.

Сказанное справедливо и для функций предпочтения лю­ бого другого критерия. Всякая функция (кривая) предпочтения объединяет все точки фиксированного уровня; справа и выше ее располагаются все лучшие точки, т.е. точки более высокого уровня, а слева и ниже - худшие, т.е. точки более низкого уров­ ня. Если на основе какого-либо критерия получается кривая предпочтения типа штриховой (см. рис. 5.10), то мы называем такую кривую вогнутой, подразумевая под этим, что в соответ­ ствующих ей областях неопределенности имеется меньшее чис­ ло лучших точек, чем при нейтральном критерии (5.21). Такая вогнутая кривая предпочтения характеризует пессимистическую исходную позицию. Кривые же предпочтения типа сплошной на рис. 5.10 соответствуют оптимистическому подходу. Предель­ ный случай пессимистического подхода образуют, очевидно, граничные прямые квадранта I, а оптимистического - граничные прямые квадранта III, и чем ближе подходит кривая предпочте­ ния к этим граничным прямым, тем в большей степени соответ­ ствующий критерий представляет пессимистическую или, соот­ ветственно, оптимистическую точку зрения.

В заключение следует еще раз подчеркнуть, что всякое техническое или экономическое решение в условиях неполной информации принимается - сознательно или неосознанно - в соответствии с какой-либо оценочной функцией описанного выше типа. Как только это бывает признано явно, следствия соответствующих решений становятся более формализован­ ными, что позволяет улучшить их качество. При этом выбор оценочных функций всегда должен осуществляться с учетом количественных характеристик ситуации, в которой прини­ маются решения.