6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

ИТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

6.1.ОСНОВЫ ТЕОРИИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

6.1.1. Постановка задач оптимизации и критерии

оптимальности

Под оптимизацией понимается процесс поиска наилучше­ го варианта решения некоторой задачи в условиях множества альтернатив. При проектировании технических объектов необ­ ходимо найти их структуру и параметры, обеспечивающие наи­

Лишь в очень редких случаях необходимый для оптими­ зации перебор вариантов может быть выполнен эксперимен­ тально. Поэтому решение задач оптимального проектирования, как правило, основано на изучении математических моделей технических объектов и технологических процессов.

При постановке задачи оптимального проектирования прежде всего необходимо определить условия и цели оптимиза­ ции, т.е. выбрать переменные, изменяемые при оптимизации, диапазоны возможного изменения этих переменных, ограниче­ ния, которым должны удовлетворять оптимальные решения,

и, наконец, целевую функцию (или функции) для оценки совер­ шенства конструкции.

Инженер должен хорошо знать особенности решаемой за­ дачи и свойства существующих методов оптимизации, предви­ деть характер изменения целевой функции, что позволит осуще­ ствить обоснованный выбор метода решения и повысить веро­ ятность решения задачи с минимальными затратами. При этом возникает проблема формализации понятия «наилучший». Для выбора наилучшего варианта среди определенного множества необходимо сформулировать некоторое правило предпочтения.

Основой такого правила может быть однозначная числен­ ная характеристика объекта, представляющая собой скалярную функцию. Эта характеристика содержательно отображает цель поиска, в связи с чем ее называют целевой функцией, или крите­ рием оптимальности. Она позволяет количественно выразить качество объекта и поэтому называется также функцией качест­ ва. Таким образом, в основе построения правила предпочтения лежит целевая функция.

Итак, задача параметрической оптимизации технического объекта заключается в поиске параметров, при которых целевая функция достигает экстремального значения. Параметры объ­ екта, доставляющие экстремум целевой функции, называются оптимальными.

Если с повышением качества объекта целевая функция возрастает, оптимальные значения параметров соответствуют ее максимуму, в противном случае - минимуму.

Математически задача оптимизации системы в наиболее общем виде формулируется как задача определения вектора х ,

такого, что

W(x,g)<W(x,g); Ух, x e X * ( z X ; V g e R m, (6.1)

где х —(х\9х2 х„) - вектор варьируемых переменных, которые также называют управляемыми параметрами, или проектными параметрами, которые представляют собой внутренние пара­

метры объекта (см. раздел 1); g - ( g \ , gi, gm) ~ вектор внеш­ них воздействий; W - целевая (оценочная) функция системы.

Сформулированная задача представляет собой задачу ми­ нимизации, при которой наилучшему решению соответствует минимальное значение функции цели.

Аргументами целевой функции являются управляемые па­ раметры и внешние условия. В качестве управляемых парамет­ ров выступают внутренние параметры технического объекта, подлежащие оптимизации. Изменяя соответствующим образом эти параметры в процессе оптимизации, осуществляют поиск экстремума целевой функции.

Основная проблема постановки задачи оптимизации за­ ключается в выборе критериев и формировании целевой функ­ ции. Выбор критериев оптимальности требует глубокого пони­ мания сущности решаемой задачи. Всесторонняя оценка эффек­ тивности и качества объекта предполагает использование мно­ жества критериев. Задача оптимизации в этом случае становится многокритериальной, т.е. инженер имеет дело с векторным ха­ рактером критериев оптимальности.

Общим принципом построения критериев оптимальности является оценка эффективности исследуемой системы с точки зрения ее полезности для системы старшего уровня (надсистемы). Поэтому в качестве критерия оптимальности не должны использоваться внутренние характеристики системы. Так, на­ пример, при оценке энергоустановки как подсистемы летатель­ ного аппарата нельзя использовать коэффициент полезного дей­ ствия, удельную тягу или экономичность двигателя. Эти показа­ тели очень важны, но характеризуют отдельные процессы в дви­ гателе, а не двигательную установку в целом.

Для комплексной оценки сложной системы могут быть ис­ пользованы критерии двух типов: стоимостные и технические.

Стоимостные критерии так или иначе отражают стои­ мость создания и функционирования системы. Для оценки вхо­ дящих в состав изделия узлов или режимов их работы можно

использовать величину перенесенной стоимости. Эта стоимость

Ci складывается из стоимости научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ Сно, стоимости изготовления Си, стоимости хранения и эксплуатации Сэ и т. д.:

Каждая из компонент (6.2), в свою очередь, может быть выражена как функция технических параметров объекта. Широ­ кое распространение получили линейные зависимости, с помо­ щью которых компоненты (6 .2) выражаются через массу М, мощность Wj, время работы т,- и другие характеристики объекта

Коэффициенты ку представляют собой удельные затраты и определяются на основе статистических данных. Использова­ ние функций (6.3) приводит к линейным моделям стоимости.

Часто для описания зависимости стоимости от техниче­

где к - константа; Xj ~ у-я составляющая вектора технических ха­ рактеристик (/ = 1, 2,..., т)\ ау - константа, характеризующая затра­ ты на достижение некоторого значения характеристики хг Кон­ станты к и cij определяются на основании статистических данных. Использование функций (6.4) приводит к позиномным моделям стоимости. В отдельных случаях для описания стоимостных харак­ теристик используются экспоненциальные зависимости.

При всей кажущейся очевидности использование крите­ рия стоимости вызывает серьезные возражения, так как не учи­ тывается в явном виде эффективность исследуемой системы. В связи с этим критерий стоимости может быть использован лишь для сравнения различных вариантов решения одной и той

же строго заданной задачи (например, выбор типа самолета для доставки заданного груза на заданное расстояние). Более гибки­ ми оказываются критерии, отражающие стоимость полезного эффекта:

= Полезный эффект (6.5)

например, стоимость тонноили пассажирокилометра для граж­ данской авиации, стоимость единицы информации для систем наблюдения. Однако в ряде случаев трудно дать количествен­ ную оценку полезного эффекта (например, оценить в рублях фактор времени при доставке грузов, ценность метеорологиче­ ских наблюдений и т.д.).

В качестве массового критерия может использоваться суммарная масса объекта Mz, включающая в себя собственно массы всех узлов и деталей конструкции, образующие вектор варьируемых параметров х.

Более эффективным, особенно для транспортных систем, представляется использование относительной массы М01„, представляющей собой отношение массы конструкции к вели­ чине технических параметров объекта.

Использование массовых критериев оптимальности по­ зволяет разработать относительно простые и объективные моде­ ли систем и процессов. Кроме того, массовые критерии опти­ мальности обладают большей контрастностью по сравнению с более общими, а поэтому и менее чувствительными к измене­ нию частных факторов х, стоимостными критериями. Могут быть предложены и другие технические критерии оптимально­ сти сложных систем.

Таким образом, постановка задачи оптимизации заключа­ ется в формализации понятия «оптимальный», которое предва­ рительно определяется словесно.