6.2. РЕГУЛЯРНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

6.2.1. Методы математического анализа

Эти методы, по существу, представляют поиск оптимального значения параметров целевой функции классическими спо­ собами исследования ее первой и второй производных, с кото­ рыми студенты подробно знакомятся в курсе математики. По­ этому для закрепления знаний о данных методах и умений их использовать авторы рекомендуют обратиться к учебникам по математическому анализу.

6.2.2. Понятие о вариационном исчислении

Известно, какое большое значение для развития классиче­ ского анализа функций одной или нескольких переменных име­ ли задачи на отыскание экстремумов дифференцируемых функ­ ций. Однако еще с давних времен известны задачи на экстре­ мум, которые нельзя отнести к задачам конечномерного матема­ тического анализа. Древнейшей такой задачей считается клас­ сическая изопериметрическая задача: среди плоских гладких замкнутых кривых заданной длины найти кривую, ограничи­ вающую наибольшую площадь.

В качестве другой задачи на экстремум, не относящейся ко классическому математическому анализу, следует назвать задачу, которую в 1696 г. поставил известный математик Иоганн Бернулли —задачу о брахистохроне ~ линии быстрейшего ската. В этой задаче требуется найти гладкую линию, соединяющую две заданные точки А и В вертикальной плоскости, не лежащие на вертикальной прямой, по которой под действием силы тяже­ сти материальная точка скатится из А в В за кратчайшее время (рис. 6.5, а). При этом время, необходимое для перехода из точ-

239

Подынтегральная функция F(x,W,W) называется интегрантом функционала, предполагается непрерывной и имеющей непрерывные частные производные по всем переменным до

второго порядка включительно.

К функционалам сводятся описания многочисленных бал­ листических и транспортных задач, задач, связанных с распреде­ лением ресурсов и капиталовложений, с заменой оборудования и т.д. Как представлено выше, многие законы механики и физики могут быть сформулированы в виде требования максимизации или минимизации некоторого функционала. Эти законы носят название вариационных принципов механики или физики.

Методы классического вариационного исчисления при­ годны для оптимизации функционалов, определенных на классе гладких функций, у которых в рассматриваемой области непре­ рывна первая производная, или на классе кусочно-гладких функций, у которых первая производная имеет конечное число разрывов первого рода. Основное соотношение вариационного исчисления - знаменитое уравнение Эйлера - выводится из ана­

лиза изменений вариаций функционала I(W(x)), играющих роль производных функции Щх) [3].

Предполагается, что оптимальное (минимальное) значение

функционала достигается на кривой W(x) (рис. 6 .6), которая, та­ ким образом, является оптимальной среди всех близких функ­ ций fV(x):

a

Выполнив несложные преобразования, которые представ­ лены, например, в [3] и [24], можно получить выражение

Соотношение (6 .20) и пред­ ставляет собой уравнение Эйлера, выражающее необходимое условие экстремума и в той или иной форме лежащее в основе всех задач вариа­ ционного исчисления. Общее реше­ ние уравнения Эйлера содержит две

Рис. 6.6. К определению

постоянные, для определения кото­

экстремалей

рых, как правило, задаются значения функционала функционала в начале и конце ис­

следуемого интервала W(a), W(b). Для уравнения Эйлера можно показать [3], что в случае мини­ мума должны выполняться условия FM, > 0, а в случае макси­ мума, наоборот, F** < 0 .

В рамках классического вариационного исчисления могут решаться и более сложные задачи. Так, например, для функцио­ нала вида

функции W,(х), реализующие экстремум, должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений:

где функция F считается дифференцируемой и + 2 раз по всем аргументам, функция Щх), реализующая экстремум, должна быть решением уравнения