модели существенно более удобны и универсальны. Они позво ляют легко моделировать поля в неоднородных и анизотропных средах. Так, при моделировании поля температур в конструкци ях, состоящих из материалов с различными теплопроводностя ми X, достаточно просто изменить сопротивления между соот ветствующими узловыми точками сетки.
3.2.4. Модели нестационарных полей
Сеточные модели для изучения нестационарных физиче ских полей могут быть построены или из активных сопротивле ний R, или включать в себя реактивные элементы С, L [24]. В за висимости от состава различают R-, RC-, LC-, RLC-сетки.
Использование резисторных сеток (TZ-сеток) основано на дискретном представлении времени. Так, например, при моде лировании полей, описываемых уравнением Фурье, использует ся полная конечно-разностная форма [24]. Эта форма напомина ет соответствующую форму уравнения Пуассона [24], и поэтому для его исследования можно использовать сетку, подобную сет ке, представленной на рис. 3.5, б, 3.7, б. Узел такой сетки пока зан на рис. 3.6, а, 3.7, в.
Рис. 3.7. Узлы сеток резисторов для моделирования полей
Цепи R*, ср* включены в каждую узловую точку сеточной модели, что и отражено их индексами. Распределение потенциа-
ла на такой сетке в силу первого закона Кирхгофа описывается уравнениями:
у ф .-ф р , Ф о -Ф о Q . |
(3.37) |
||
Ъ Я |
К |
||
|
|||
|
Фо-Фо |
|
|
R |
к |
|
|
Последнее из этих уравнений полностью соответствует уравнению конечно-разностной аппроксимации произвольного нестационарного поля при условии:
м , |
* |
R |
(3.38) |
м; |
к |
Коэффициент М* включает в себя интервал времени At, поэтому сопротивление Ro называется «временным» сопротив лением точки 0. Остальные обозначения в формулах (3.37) и (3.38) те же, что и в (3.35).
Рис. 3.8. Сетка для моделирования осесимметричного поля
Из (3.38) видно, что в то время как потенциал <ро соответ ствует исследуемой функции Ф0 в момент t (Ф0,/ = Мф(р0), потен циал фо* соответствует этой же функции в предыдущий момент
t —At (Фо,/-д/= фо ).
Для общего уравнения теплопроводности с учетом изме нения температуры по времени и объемного тепловыделения конечно-разностная аппроксимация может быть задана в виде
1 ( |
|
Т |
- Т |
|
t |
Ti - 6Го = С, |
10,1 |
10,1-А1 - W |
(3.39) |
|
’’О’ |
|||
Ят„ \ i-i |
|
|
At |
|
где RJO, Со, WQ- тепловое сопротивление, теплоемкость и мощ ность тепловыделения в элементарном объеме, соответствую щем точке 0:
^ = Т Г ,7Г ^> С0 = Н > С ( Ы ) р р ( Ы У , W0 = h M V o ) - (3.40)
Для моделирования этого поля может быть использована сетка, узел которой показан на рис. 3.6, б, 3.7, г. Для потенциала в узлах такой сетки выполняются законы Кирхгофа, аналогич ные (3.37).
Индикаторы и коэффициенты аналогии определяются следующими выражениями:
Ма . = \. |
= I ; м ‘ = - ^ - г |
(3.41) |
|
м; |
|
ед |
|
RT |
Т |
W |
|
M R =— |
-,MV= - , M , = T . |
|
|
R |
ф |
h |
|
В данном случае впервые имеем дело с двумя индикато рами аналогии.
Необходимость в дискретном представлении времени от падает, если в сетку сопротивлений ввести реактивные электри ческие элементы (С, L). В этом случае нестационарное физиче ское поле моделируется нестационарным полем электрического тока. Процедура моделирования при этом упрощается, однако сама модель становится значительно сложнее.
Для обоснования аналогии используются так называемые неполные конечно-разностные формы уравнений математической физики. Так, уравнение Фурье может быть представлено в виде
(3.42)
Для моделирования поля, описываемого уравнением Фу рье, может быть использована реактивная RC-сетка, схема узло вой точки которой при т = 3 показана на рис. 3.9, а ( т - число ветвей, пересекающихся в узле). Первый закон Кирхгофа для узловой точки /?С-сетки имеет вид
(3.43)
Для моделирования общего уравнения теплопроводности может быть использована ЛС-сетка с дополнительной цепью для подачи в узловую точку тока /0* (рис. 3.9, б). Вывод необ ходимых уравнений и индикаторов аналогии предоставляется читателю.
Для изучения полей, описываемых волновым уравнением [24], может быть использована реактивная LC-сетка (рис. 3.9, в). Конечно-разностная аппроксимация волнового уравнения зада ется соотношением [24]
(3.45)
Для узла ZC-сетки в силу первого закона Кирхгофа вы полняется соотношение
Д6 ( 1 Т|
Z 7/ =0;Z 7 |(< Р /-Ф о )^ Н + с
/=[
Дифференцируя (3.46) |
по т и перенося второй член в пра |
||||
вую часть уравнения, легко получить: |
|
|
|
||
|
6 |
^ |
|
|
(3.47) |
|
|
|
|
|
|
Уравнение (3.47) совпадает с уравнением (3.42) при условии: |
|||||
L = I - м |
= 3 7 |
° l I i Z . м |
J |
2 |
(3.48) |
M l |
с |
Сп |
L |
L |
' т |
Задание начальных условий, так же как и на RC-сетке, осуществляется начальной подзарядкой конденсаторов сетки, причем в индуктивностях наводятся начальные токи /0/.
Наконец, для изучения поля, описываемого общим урав нением второго порядка (3.7), могут быть использованы гак на зываемые /iLC-сетки (схемы возможных вариантов RLC-сетш приведены на рис. 3.9, г и 3.9, д).
Рис. 3.9. Схемы узлов реактивных сеток сопротивлений: а, б - RC-сетка; в - LC-сетка; г, д - RLC-сетка
Соответствующие уравнения Кирхгофа и индикаторы ана логии читателю рекомендуется самостоятельно вывести или по смотреть в литературе.
С помощью RLC-сеток можно исследовать все рассмот ренные выше поля. Например, для моделирования поля, описы ваемого уравнением Лапласа, достаточно отключить цепи R0, L0, Со (L-сетка). Для моделирования поля, описываемого уравнени ем Фурье, необходимо отключить цепи Lo, Со и т.д. Таким обра зом, преимуществом RLC-сеток является их универсальность.
3.2.5.Примеры моделирования полей
вэлементах конструкций
1.Стационарное температурное поле в охлаждаемой ло патке газовой турбины (сплошная среда).
Моделируется температурное поле (оно является натур ным) в лопатке газовой турбины с петлевым каналом охлажде ния, по которому осуществляется принудительная циркуляция теплоносителя (рис. 3.10, а).
Предполагается, что:
-изменением температуры по высоте лопатки можно пренеб речь и, следовательно, достаточно рассмотреть температур ное поле в одном ее сечении (поле шгоскопараллельно);
-закон изменения температуры газа в межлопаточном ка нале, а следовательно, и у поверхности лопатки известен: 7НГ)=/,(Г);
-теплопроводность лопатки и температура теплоносите
ля также известны и постоянны (А. = const, ГЖ| = const,
Да = const);
- тепловыделение в теле лопатки отсутствует.
При сделанных предположениях поле температур в лопат ке двумерно (Т= Т(х,у)) и описывается уравнением Лапласа.
Граничные условия определяются конвективным тепло обменом на границе твердой и газовой (жидкой) сред. Тепловой поток q от газа к лопатке определяется соотношением
д = аг(Т,.-Т), |
(3.49) |
где а г - коэффициент теплоотдачи от газа к лопатке.
С другой стороны, тепловой поток в твердом теле в на правлении внешней нормали п к поверхности определяется со
отношением |
|
|
я = |
дп |
(3*5°) |
|
|
Рис. 3.10. Моделирование температурного поля
вохлаоюдаемой лопатке газовой турбины:
а~ схема конструкции; б - схема модели
В силу стационарности на границе лопатки эти потоки равны, откуда следует условие:
Х_дТ_
аг(Тг - Г ) = Т = ТГ(Т). (3.51) атдп
Аналогично для границы лопатки с теплоносителем легко получить:
Т + |
|
= Т |
(3.52) |
а„ |
дп |
'‘Ж5 |
|
|
|
где а ж - коэффициент теплоотдачи от лопатки к теплоносителю. Таким образом, математическая модель температурного
поля лопатки задается уравнением |
|
ДГ=0 |
(3.53) |
с граничными условиями (3.51) и (3.52). |
|
Для изучения температурного поля используется модель, выполненная из электропроводной бумаги (рис. 3.10, б). Прово димость материала бумаги равна а. Предполагается постоянство температуры газа (Тг = const). Модель представляет собой лист электропроводной бумаги, вырезанный по форме сечения ло патки, на границах которого установлены короткие пластинча тые шины. Шины присоединены к системе электропитания че рез сопротивления Ri, R2, /?з- При этом электрод, установленный на границе с промежуточной граничной температурой Тж2
(Тж1 < Тж2 < Тг) (см. рис. 3.10, а), присоединен к промежуточно му потенциалу фэ (фг < фэ < cpi). Распределенные источники тока в модели отсутствуют, поэтому электрический потенциал опи
сывается уравнением Лапласа: |
|
V2tp = 0. |
(3.54) |
На границах модели в силу закона Кирхгофа выполняется равенство подведенных и отведенных токов. Первые из них оп
ределяются законом Ома для соответствующих цепей:
ср-(р, . |
Ф~Ф2 . |
г |
_ Ф~Фз |
(3.55) |
||||
1 |
^ |
’ 2 |
«2 |
’ |
3 |
*з |
||
|
||||||||
вторые - соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
||
/, = -а8Г, |
Зф. |
т _ |
|
|
|
|
(3.56) |
|
~ ’ |
12 ~~ |
2 |
дп |
|
3 |
|||
|
дп |
|
|
3 дп |
||||
где 5Г,- - площадь участка границы модели, соответствующего отдельной цепи.
Из соотношений (3.55) и (3.56) следуют выражения для
граничных условий: |
|
|
Ф - с8Г ,Д ,|£ = ф1; ф -о8Гуг2| ^ |
= ф2; ф -о 8 Г 3Л з ^ = ф3. (3.57) |
|
дп |
дп |
дп |
Математические описания исследуемого (3.51), (3.52), (3.53) и модельного (3.54), (3.57) полей идентичны при условии:
X |
X |
X |
(3.58) |
R>=-----^ |
’ R2= — ^ > |
R>= |
|
щобГ, |
а абГ, |
|
а*а8Г3 |
Рассмотренная модель может быть легко распространена на ряд более общих случаев. Так, например, учет изменения температуры газа по длине межлопаточного канала может быть осуществлен путем замены постоянного потенциала ф! набором потенциалов фп при подключении цепей R\ к различным точкам делителя напряжения. Для учета изменения величины коэффи циента теплоотдачи <хг вдоль стенки лопатки можно использо вать переменные сопротивления R u.
2. Нестационарное температурное поле в сложной стенке. Рассматривается температурное поле в стенке летательно
го аппарата при его входе в атмосферу (рис. 3.11, а).
т,
a,
Y
a о
Puc. 3.11. Схема: a - тепловой защиты летательного аппарата; б - теплоизоляции газопровода
С целью упрощения задачи предполагается, что космиче ский аппарат имеет сферическую форму, а его стенка представ ляет собой трехслойную оболочку из чередующихся конструк ционных и теплоизолирующих материалов (см. рис. 3.11, а).
Характеристики материалов (X, С, р) заданы. При движении аппарата в атмосфере температура окружающей среды (по граничного слоя) изменяется по заданному закону Тв„ определяемому траекторией и скоростью движения. Задано на чальное распределение температуры в стенке аппарата Т0 =А Г) и интегральная теплоемкость его внутренней полости Сп. Распре деление температурного поля в стенке описывается уравнением
V(X(^,7)V7) = co(^,7). (3.59) При сделанных предположениях это распределение одно мерно: Т На внешней границе стенки выполняются усло вия, аналогичные (3.51), на внутренней - (3.52). Однако измене ние температуры во внутренней полости Та должно определять
ся в процессе решения задачи.
В силу принятых допущений поле температуры в стенке можно описать уравнением
\ _ д _ ( 2 д Т ] = С р д Т |
(3.60) |
|
г 2 0 /- ^ |
д г ) |
X d t |
Для /-го узла конечно-разностной сетки уравнение (3.60) может быть представлено в виде
|
|
j —i — |
, i + I. |
(3.61) |
|
/ |
* |
|
|
|
|
Тепловые сопротивления между узлами определяются |
|||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
п |
_ |
^ |
|
|
(3.62) |
|
|
( |
Д Л \ ’ |
|
|
|
Ащ г ------% |
|
|
||
|
|
V |
2 ) |
|
|
|
A |
|
Ar V, |
’ |
(3.63) |
|
|
|
|||
|
4Y |
f + |
2 ] х |
|
|
|
Стпг,2АгСр. |
|
(3.64) |
||
На границах стенки выполняются условия: |
|
||||
?»н= а .АнОГвн-7’), |
(3.65) |
||||
|
II Р |
|
1 |
|
(3.66) |
которые можно записать через эквивалентные сопротивления:
а |
Т - Т |
R |
1 |
Т - Т |
1 |
= - £в— —• |
= |
; ? „ = - г - 2-; |
К • = — • (3.67) |
||
|
* ИИ |
|
» . А „ |
|
« А |
|
|
|
|
|
Для моделирования температурного поля может быть предложена модель, выполненная в виде одномерной ЛС-сетки (рис. 3.12, а). Для определенности каждый из конструктивных слоев стенки разбит на два сферических слоя (т.е. представлен двумя узлами сетки), теплоизолирующий слой - на четыре сфе рических слоя. Такое разбиение отражает большее тепловое со противление изолятора.
Каждый сферический слой представлен в модели так назы ваемой Г-образной схемой (рис. 3.12, б). При этом сопротивления R,| и Ra совместно представляют собой тепловое сопротивление 98
слоя (в силу сферичности стенки < Ra\ а С, - интегральную теплоемкость слоя. В принципе возможно объединение Ri2, Ri+\tь однако при этом утрачивается возможность определения темпе ратуры на границе слоев. Сопротивления RB„ и Rn соответствуют эквивалентным тепловым сопротивлениям на границах стенки, напряжение источника срвн - температуре пограничного слоя по сле скачка температуры Гвн, емкость Сп - интегральной теплоем кости полости. Для учета контактных тепловых сопротивлений между слоями могут быть введены дополнительные сопротивле ния на границах конструкционного материала и изолятора или пропорционально увеличены уже имеющиеся сопротивления.
Рис. 3.12. Моделирование нестационарного температурного поля в стенке летательного аппарата при входе в атмосферу, а - схема модели; б - схема модели для отдельного сферического слоя; в - характер изменения температуры
в стенке и потенциала в модели; г - усовершенствованная модель
До начала моделирования выключатель ВК-1 разомкнут, все конденсаторы разряжены, и потенциалы во всех узлах сетки равны нулю. После замыкания выключателя ВК-1 потенциалы
всетке начинают меняться,-причем темп изменения потенциала
вкаждой точке определяется емкостью конденсаторов. При дос таточной длительности процесса все конденсаторы приобретают номинальные заряды, а потенциалы в узлах сетки выравнивают ся (рис. 3.12, в). Характер изменения потенциалов соответствует характеру изменения температур в стенке конструкции. Рас смотренная модель позволяет решить ряд задач, например, оп ределить время, в течение которого температура внутренней полости не превышает критических значений.
Модель допускает ряд обобщений. Во-первых, вовсе не обязательно считать задачу одномерной. Многомерная модель не требует идеальной симметрии и позволяет учесть наличие разнообразных конструктивных элементов и изменение условий теплообмена на границах. При этом, разумеется, требуется ис пользование двумерных и трехмерных сеток.
Во-вторых, необязательно использовать описанный выше закон изменения внешней температуры и считать начальную температуру в стенке постоянной. Внешняя температура может быть задана с помощью программно изменяемого источника напряжения, а начальное распределение температур в стенке -
спомощью начальных цепей потенциалов или параллельно включенного источника начального напряжения (рис. 3.12, г). Отключение источников, задающих начальное распределение потенциалов, осуществляется синхронно с включением выклю чателя ВК-1.
Наконец, можно учесть такой эффект, как излучение части тепла, полученного стенкой, в окружающее пространство. Так как излучаемый тепловой поток пропорционален 74, то необхо димо включить в соответствующую точку (см. рис. 3.12, г) не линейное сопротивление Rr, обеспечивающее утечку тока в со ответствии с законом 1=Ац>4
3.2.6. Неэлектрические аналоговые модели
физических полей
Как уже отмечалось, наибольшее распространение полу чили электрические модели физических полей. Однако в ряде случаев возможно и целесообразно использование аналоговых моделей другой физической природы. Так, наряду с электриче скими используются электромагнитные, электростатические, гидродинамические и даже гравитационные модели.
Использование электромагнитных моделей основано на изу чении поля индуцированных (наведенных) токов в проводящей среде. Поле индуцированных токов возбуждается переменным магнитным потоком, пересекающим область моделирования. Дан ный метод применяется при моделировании вихревых (соленоидальных) полей, в частности, циркуляционных течений жидкости.
Использование электростатических моделей основано на изучении наведенных токов в системе электродов при пролете через эту систему точечного зонда с единичным зарядом.
Для изучения полей, описываемых уравнением Лапласа, может быть использована гравитационная модель, основанная на аналогии изучаемой функции и гравитационного потенциа ла точек профилированной поверхности. В частности, очень остроумной и эффективной оказалась гравитационная модель для изучения движения заряженных частиц в электростатиче ском поле (ускорители электронов и ионов). В данном случае аналогия может быть распространена не только на описание поля, но и на описание движения частиц в поле. Можно пока зать, что тяжелый шарик на профилированной поверхности без учета трения движется так же, как частица в электростатиче ском поле, при условии, что профиль поверхности в заданном масштабе соответствует распределению потенциала в изучае мом пространстве.
Более подробно остановимся на гидротепловой аналогии исследования нестационарных температурных полей, основан ной на изучении переходного процесса распределения жидко-
(3.69)
Изменение уровня жидкости ДЯ, в /-й мензурке может быть записано в виде:
(3.70)
7 = 7 - 1 , . . . , / + 1 . |
(3.71) |
Уравнения (3.68)—(3.71) аналогичны уравнениям (3.62)— (3.66). Эти уравнения включают в себя четыре пары сходствен ных величин: Т и Н; RT н 7?г; Ст и S; t и т. Читатели сами легко запишут коэффициенты и индикатор аналогии.
Построенная гидравлическая сетка эквивалентна RC-сетке на рис. 3.12, а. Граничные условия I рода задаются уровнем жидкости в граничных мензурках, II рода - потоком жидкости, III - уровнем жидкости в сосуде, соединенном с граничными мензурками через заданное гидравлическое сопротивление. На чальное распределение температур задается распределением жидкости в мензурках. Распределенные источники тепла зада ются дополнительной подачей жидкости в мензурки.
Гидродинамические модели удобны при решении нели нейных задач теплопроводности. Так, нелинейная зависимость теплоемкости от температуры моделируется мензурками пере менного по высоте сечения. Моделирование затрат тепла при фазовом переходе осуществляется добавлением или сливом не обходимого количества жидкости. Для этого в ячейку гидравли ческой сетки включается дополнительный сосуд с емкостью, соответствующей затратам тепла на фазовый переход (рис. 3.13, б). Сосуд присоединен к основной мензурке на высоте, соответст вующей температуре фазового перехода. При достижении тем-