ния сведений о физических свойствах материалов, о внешних нагрузках и воздействиях, о механизмах взаимодействия между элементами. Структурные модели представляют в виде схем и графов, а исходную информацию задают в виде известных значений вероятностей безотказной работы элементов, интен­ сивностей их отказов и т.п.

Расчет функциональной надежности — это определение показателей надежности выполнения объектом заданных функ­ ций. Поскольку такие показатели надежности зависят от ряда действующих факторов (вида заданной функции, структурной надежности, математического и программного обеспечения, работы операторов), то, как правило, расчет функциональной на­ дежности более сложен, чем структурной.

Функциональные модели учитывают механические, физи­ ческие и другие реальные процессы, которые ведут к изменению свойств объекта. Таковы модели строительной механики, широ­ ко применяемые в расчетах машин и конструкций. Именно в этой области впервые были поставлены вопросы надежности (в связи со статистическим истолкованием коэффициентов запа­ са прочности и допускаемых напряжений).

Показатели надежности отдельных элементов (деталей) оценивают на основе физических моделей, в то время как для оценки показателей надежности изделий в целом чаще исполь­ зуются модели системной теории надежности.

4.6.2.Распределения, используемые в теории надежности

Впервую очередь рассмотрим распределения дискретных СВ.

Это распределение играет фундаментальную роль в теории вероятностей и математической статистике, являясь моделью для любого случайного эксперимента, исходы которого принадле­ жат двум взаимно исключающим классам (либо отказ, либо ра­ ботоспособное состояние объекта).

2. Случайная величина х имеет биномиальное распределе­ ние с параметрами (п ,р ),(0 < р < \\п > 1 ), если

Для п испытаний имеем:

п

Здесь параметр р имеет смысл вероятности появления от­ каза в одном испытании, а величина Q имеет смысл вероятности появления (или устранения) одного отказа в одном испытании; к- число отказов в п независимых испытаниях; Спк - число со­ четаний к отказов из п испытаний. Биномиальное распределение является моделью случайных экспериментов, состоящих из п независимых однородных испытаний Бернулли: если х*, к - 1, 2,

и, независимы и имеют распределение Бернулли с парамет­ ром р, то случайная величина Х= х\ + *2 + + х* имеет биноми­ нальное распределение.

3. Распределение Пуассона позволяет найти вероятность того, что при большом числе повторных испытаний п, в каждом из которых вероятность появления отказа очень мала и равна р (возможные значения события: 0, 1, 2,..., к}...п), событие про­ изойдет ровно к раз.

Функция распределения вероятностей для закона Пуассона: (4.70)

где X =-----------параметр распределения.

( р п )

Для п испытаний имеем:

(4.71)

Q(x = Щ

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

Рис. 4.13. Дискретные распределения случайных величин:

♦- Пуассона; • - биноминальное;

■- Паскаля; А - геометрическое

Для стандартного нормального распределения мода и ме­ диана совпадают с математическим ожиданием.

Фундаментальная роль, которую играет нормальное рас­ пределение, объясняется тем, что при широких предположениях суммы случайных величин с ростом числа слагаемых ведут себя асимптотически нормально. Соответствующие условия состав­ ляют содержание центральной предельной теоремы (ЦПТ)

ЦПТ можно сформулировать следующим образом* исход эксперимента определяется большим числом случайных

^Прбд0ления

случайной величины х с параметром X > 0.

Плотность распределения выглядит следующим образом:

конов распределения наработки объектов, его можно получить, если в формуле (4.60), связывающей вероятность безотказной работы с интенсивностью отказов, положить X(t) = const. Экспо­ ненциальное распределение является однопараметрическим распределением с параметром X, представляющим постоянную интенсивность отказов.

Экспоненциальный закон хорошо описывает распределе­ ние времени безотказной работы объектов при внезапных от­ казах, распределение времени между соседними отказами и времени восстановления. Для объектов, у которых явно вы­ ражены при эксплуатации явления износа и старения, примене­ ние экспоненциального закона недопустимо.

свободы.

Примечание. Число степеней свободы п некоторой выбо­ рочной статистики равно частному числа независимых случай­ ных величин и числа определенных по ним независимых пара­ метров; ^-распределение с п степенями свободы имеет случай­ ная величина X, определяемая по формуле

При а = n\i гамма-распределение называется распределе­ нием Эрланга с параметрами (и, ц) и описывает распределение длительности интервала времени до появления п событий про­

цесса Пуассона с параметром р.

При п = 2 х2-распределение называется распределением

Рэлея-Райса, при п = 3 - распределением Максвелла.

В частности, плотность распределения Максвелла опреде­

(а, X > 0) описывает предельное распределение максимума.

Пусть случайные величины х* взаимно независимы и оди­ наково распределены, при этом Q{xk<x} для х < оо. Положим

время процесса (например, время износа материала, образова­ ния трещин и др.).

Функция (4.83) позволяет описать довольно широкий класс распределений, включая при а = 1 экспоненциальный за­ кон распределения (4.78). При а > 1 эта формула описывает по­ ведение «стареющих» объектов, у которых интенсивность отка­ зов со временем возрастает (участок III функции X(t) на рис. 4.11). Т.е. при а > 1 закон Вейбулла-Гнеденко применяется для описания постепенных отказов. При а < 1 данный закон описывает надежность в период приработки.

Таким образом, двухпараметрическое распределение Вей- булла-Гнеденко является более универсальным, чем экспонен­ циальный закон, и может быть использовано при анализе на­ дежности на всех этапах эксплуатации объекта.

5. Равномерное распределение является аналогом распре­

делений классической теории вероятностей, описывающих слу­ чайные эксперименты с равновероятными исходами.

Если случайная величина х имеет непрерывную функцию распределения Q{x), то случайная величина х = F(Q имеет рав­ номерное распределение на отрезке [0; 1]. Этим объясняется широкое использование равномерного распределения в стати­ стическом моделировании (методы Монте-Карло) [4,17].

Если случайная величина х имеет равномерное распреде­ ление на отрезке [а; Ь\ {а < Ь), то случайная величина с помо­ щью линейного преобразования приводится к равномерному распределению на отрезке [0; 1].

Равномерным распределением на отрезке [-•^; ~ ] удов­

летворительно описывается погрешность, происходящая от ок­ ругления числа.

Плотность равномерного распределения имеет' вид

Графически описанные непрерывные распределения пред­ ставлены на рис. 4.14. Параметры распределений: нормально­ го - ст= 1, т = 5; экспоненциального - А.= 0,5; распределения Вейбулла - А = 0,878, а = 1,5; гамма-распределения - А = 0,878, а = 1,8; распределения Максвелла - а = 2.