Предположим теперь, что пропускные способности всех дуг сети G —целые числа. Тогда можно предложить следующий простой алгоритм построения максимального потока:
Шаг 1. Выберите произвольно какой-нибудь целочислен ный поток из ns в П( (один из возможных вариантов —нулевой поток все х(/ = 0).
Шаг 2. Пусть х — выбранный на шаге 1 поток. Постройте присоединенную сеть G \x) и найдите в этой сети путь из ns в nt.
Если такой путь существует, переходите к шагу 3. Если нет - обращайтесь в КОНЕЦ.
Шаг 3. Пусть р - путь из ns в nt сети G'(x), Д - минималь ная пропускная способность на р и у —цепь в сети G, порожден ная р. Нужно увеличить поток х по каждой прямой дуге у на ве личину Д и уменьшить его в каждой обратной дуге на величину Д. Затем следует вернуться к шагу 2.
КОНЕЦ. Поток х максимален.
5.1.3. Потоки минимальной стоимости
Вообще говоря, в сети может существовать несколько по токов одинаковой величины. Например, в сети (см. рис. 5.3) имеется три различных максимальных потока, одна из альтерна тив потоку (рис. 5.4) изображена на рис. 5.6.
Рис. 5.6. Альтернативный вариант максимального потока в сети
и уменьшая в обратной, дополнительная стоимость, связанная сэтим изменением, будет равняться сумме стоимостей всех пря мых дуг цепи за вычетом суммы стоимостей обратных ее дуг. Следовательно, дополнительная стоимость равна стоимости пути р в сети G'(x):
V'(v)= 2 y ( n „ n j ) , |
(5.11) |
т.е. самый дешевый путь от источника к стоку присоединенной сети G'(x) определит и наилучшую (с точки зрения минималь ных затрат на увеличение потока) цепь в G. Более того, справед ливо следующее утверждение:
Пусть х —поток минимальной стоимости величины F, р - самый дешевый путь в сети G'(x) минимальной пропускной спо собности Д, у —цепь в G, соответствующая р. Тогда поток, полученный увеличением (уменьшением) х на прямых (обратных) дугах у на А единиц будет потоком минимальной стоимости величины F + Д.
Доказательство можно найти в одной из работ Форда и Фалкерсона [23], вышедших в 1962 году.
Из вышеизложенного следует, что максимальный поток минимальной стоимости может быть получен с помощью алго ритма, изложенного выше. Необходимо лишь, чтобы вычисления начинались с потока минимальной стоимости и чтобы на каждом шаге в сети G'(x) выбирался путь минимальной стоимости.
Представленный алгоритм основан на переборе всех воз можных потоков. При этом потоки ху рассматриваются не в яв ном виде, а учитываются косвенно - путем смещения (пересче та) оценок пропускных способностей исходных и обращенных дуг (т.е. кратных дуг противоположной ориентации). Заданная пропускная способность дуг с,у при этом остается постоянной, а смещенные (пересчитанные) пропускные способности в про цессе реализации алгоритма изменяются.
Увеличение потока осуществляется за счет уменьшения смещенных пропускных способностей каждой прямой дуги це пи на А и увеличения на А пропускных способностей всех обра щенных дуг. При этом величина потока из источника увеличи вается на А и на столько же возрастает поток к стоку. Наиболь шее значение А, не нарушающее ни одно из ограничений (5.1) и (5.2), равно величине минимальной (смещенной) пропускной способности вдоль цепи.
5.1.4. Практические примеры сетевых задач
Транспортная задача.
Рассматривается случай нескольких источников и стоков с ограничением на их мощности.
Пусть имеется т сталепрокатных заводов х\, х2,..., хт, и ка ждый из заводов х/ может производить фг;) тонн проката в неде лю стоимостью К(х,). Пусть также имеется и машиностроитель ных предприятий, у\, уъ-~, уп. потребляющих с(у,) тонн проката в неделю. Стоимость перевозки одной тонны из х, в у, равна //,.
Сколько проката надо производить на каждом заводе и ку да его направлять, чтобы с минимальными расходами удовлетво рить потребности всех металлообрабатывающих предприятий?
В терминах сетевой модели проблема может быть сфор мулирована как задача нахождения максимального потока ми нимальной стоимости в сети (рис. 5.7), где первые числа указы вают пропускную способность, а вторые - стоимость каждой дуги. Схема на рис. 5.8 иллюстрирует первый шаг алгоритма для нахождения максимального потока минимальной стоимости к решению этой задачи для двух прокатных и двух металлооб рабатывающих заводов.
Источник |
С ток |
Рис. 5.7. Схема к транспортной задаче и задаче об управлении запасами
Рис. 5.8. Приложение алгоритма поиска максимального потока к решению транспортной задачи.