событие Е не происходит. Значение Р(А) определяется лицом, принимающим решение.

Для того чтобы получить достаточно приемлемые оцен­ ки вероятностей событий, возможно, потребуется просмот­ реть большое число выборок. Однако во многих случаях это не­ осуществимо. Аксиома 5 дает механизм получения вероятно­ стей суждений.

Аксиома 6. Эквивалентность условного и безусловного предпочтений. Пусть L\ и L2 —две лотереи, возможные только при наступлении события Е. Если известно, наступит событие Е или нет, то лицо, принимающее решение, должно иметь те же предпоч­ тения между L\ и L2, как и при отсутствии этой информации.

Следствие из аксиом: всякое решение в условиях неполной информации принимается с учетом количественных характе­ ристик ситуации.

5.2.2. Структура принятия решения

Принятие решения представляет собой выбор одного из не­ которого множества рассматриваемых вариантов: £, е Е. В даль­ нейшем мы будем изучать наиболее часто встречающийся на практике случай, когда имеется лишь конечное число вариантов Е\, £ 2V 5Ei— Егт причем обычно небольшое, хотя принципиально мыслимо и бесконечное множество вариантов Ей ^ 2, Ет.

Условимся, что каждым вариантом Е{однозначно опреде­ ляется некоторый результат который должен допускать коли­ чественную оценку.

Мы ищем вариант с наибольшим значением результата, т.е. целью нашего выбора является шах е,. При этом мы считаем, что оценки е\ характеризуют такие величины, как, например, выигрыш, полезность или надежность. Противоположную си­ туацию с оценкой затрат или потерь можно исследовать точно так же путем минимизации оценки или, как это делается чаще, с помощью рассмотрения отрицательных величин полезности.

Таким образом, выбор оптимального варианта произво­ дится с помощью критерия

Это правило выбора читается следующим образом: мно­ жество Е0 оптимальных вариантов состоит из тех вариантов £/0, которые принадлежат множеству Е всех вариантов и оценка е,0 которых максимальна среди всех оценок et. (Логический знак «л» читается как «и» и требует, чтобы оба связываемых им ут­ верждения были истинны.)

Только что рассмотренный случай принятия решений, при котором каждому варианту решения соответствует единствен­ ное внешнее состояние (и тем самым однозначно определяется единственный результат) и который мы называем случаем де­ терминированных решений, с точки зрения его практических применений является простейшим и весьма частным. Разумеет­ ся, такие элементарные структуры могут лежать в основании реальных процедур принятия решений. В более сложных струк­ турах каждому допустимому варианту решения £, вследствие различных внешних условий могут соответствовать различные внешние состояния Fj и результаты ву решений.

Схематическое сопоставление всех возможных полезно­ стей ву различных решений в матрице решений (табл. 5.1) об­ легчает поначалу их обозрение, не требуя при этом формальной оценки. Эта матрица может быть меньшего объема (табл. 5.2) и даже выродиться в единый столбец, если будет представлена полная информация о том, с каким внешним состоянием Fj сле­ дует считаться. Это соответствует элементарному сравнению различных технических решений. Матрица решений может, однако, свестись к единой строке (табл. 5.3). В этом случае мы имеем дело с так называемой фатальной ситуацией принятия решений, когда в силу ограничений технического характера, внешних условий и других причин остается единственный ва­ риант £,, хотя его дальнейшие последствия зависят от внсшне-

димо включать в процесс принятия решения всегда. Они долж­ ны напоминать о том, что совокупность вариантов необходи­ мо исследовать возможно более полным образом, чтобы была обеспечена оптимальность выбираемого варианта.

Под результатом решения е0 здесь можно понимать оцен­ ку, соответствующую варианту Ef и условиям Fj и характери­ зующую экономический эффект (прибыль), полезность или на­ дежность изделия. Обычно мы будем называть такой результат

полезностью решения.

Таким образом, семейство недетерминированных реше­ ний описывается некоторой матрицей. Увеличение объема се­ мейства по сравнению с рассмотренной выше ситуацией детер­ минированных решений связанно как с недостатком информа­ ции, так и с многообразием технических возможностей.

Инженер и в этом случае старается выбирать решение с наилучшим результатом, он вынуэюден принимать во внимание все оценки eljt соответствующие варианту Ej. Таким образом, первоначальная задача максимализации (поиска тах е/0>) должна

быть теперь заменена другой, подходящим образом учитываю­ щей все последствия любого из вариантов Ej.

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивы­ годнейшему варианту решения даже в том случае, когда каким-то вариантом решений Ej могут соответствовать различные условия Fj, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функции. Ка­ ждому варианту Ej приписывается, таким образом, некоторый результат eir, характеризующий в целом все последствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символом eir.

5.2.3. Оценочные функции и классические критерии

принятия решений

Рассмотрим теперь некоторые оценочные функций, кото­ рые могут быть выбраны, а также соответствующие им исход­ ные позиции проектанта.

Оптимистическая позиция: из матрицы результатов ре­ шений ЦбуЦ выбирается вариант (строка), содержащий в качестве возможного следствия наибольший из всех возможных. Про­ ектант становится на точку зрения азартного игрока, делает ставку на то, что выпадет наивыгоднейший случай, и, исходя

Позиция нейтралитета: проектант исходит из того, что все встречающиеся отклонения результата решения от «средне­ го» случая допустимы, и выбирает размеры, оптимальные с этой точки зрения:

Позиция относительного пессимизма: для каждого вари­ анта решения конструктор оценивает потери по сравнению сопределенным по каждому варианту наихудшим результатом, а затем из совокупности наихудших результатов выбирает наи­ лучший согласно представленной оценочной функции:

таким образом, что влияние минимальной токовой нагрузки Sm\n нарастает от строки к строке, т.е. получающиеся сечения стано­ вятся все меньше и меньше. Решение при этом становится все более оптимистичным. При этом выбор критерия определяется исключительно позицией проектанта.

Критерий принятия решений —это функция, выражающая предпочтения лица, принимающего решения (ЛПР), и опреде­ ляющая правило, по которому выбирается приемлемый или оп­ тимальный вариант решения.

Классические критерии принятия решений, рассматривае­ мые ниже, соответствуют представленным четырем исходным позициям ЛПР.

1. Минимаксный критерий (ММ-критерий). Использует оценочную функцию (5.20), соответствующую позиции крайней осторожности.

При

где ZMM - оценочная функция минимаксного критерия. Правило выбора решения в соответствии с ММ-критерием

можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений ||е,;|| дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов eir каждой строки. Выбрать над­ лежит те варианты Ею, в строках которых стоят наибольшие значения е/г этого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исклю­ чают риск. Это означает, что принимающий решения не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который ориен­ тируется. Какие бы условия Fj ни встретились, соответствую­

щий результат не может оказаться ниже Z M M . Э т о с в о й с т в о за­ ставляет считать минимаксный критерий одним из фундамен­ тальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь. Продемонстрируем это на небольшом примере (табл. 5.5).

Хотя вариант Е\ кажется издали более выгодным, соглас­ но минимаксному критерию оптимальным следует считать Ео = {Е2}. Принятие решения по этому критерию может, однако, оказаться еще менее разумным, если

-состояние F2встречается чаще, чем состояние F\,

-решение реализуется многократно.

Выбирая вариант Е2, предписываемый минимаксным кри­ терием, мы, правда, избегаем неудачного значения 1, реализую­ щегося в варианте Е\ при внешнем состоянии F u получая вместо него при этом состоянии немного лучший результат 1,1, зато в состоянии F2 теряем выигрыш 100, получая всего только 1,1. Этот пример показывает, что в многочисленных практических ситуациях пессимизм минимаксного критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение ММ-критерия бывает оправданно, если си­ туация, в которой принимается решение, характеризуется сле­ дующими обстоятельствами:

-о возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно;

-приходиться считаться с появлением различных внешних состояний Fj,;

-решение реализуется лишь один раз;

-необходимо исключить какой бы то ни было риск, т.е. ни

при каких условиях Fj не допускается получать резуль­ тат, меньший, чем Zмм.

2. Критерий Байеса-Лапласа (BL-критерий).

Этот критерий учитывает каждое из возможных следст- q j- вероятность появления внешнего состояния Fj,

где ZBL - оценочная функция критерия Байеса-Лапласа.

Таким образом, возможные появления внешних состояний образуют полную группу событий.

Соответствующее правило выбора можно интерпретиро­ вать следующим образом.

Матрица решений \\ву\\ дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты £ , о , в строках которых стоит наибольшее значение eir этого столбца.

При этом предполагается, что ситуация, в которой при­ нимается решение, характеризуется следующими обстоятель­ ствами:

-вероятности появления состояния Fj известны и не зави­ сят от времени;

-решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;

-для малого числа реализаций решения допускается неко­ торый риск.

ниям Fj, j - 1, 2,... n) потери в случае выбора варианта £,. Эти максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта Е-,.

Соответствующее S'-критерию правило выбора теперь ин­ терпретируется так: каждый элемент матрицы решений ||е/7

вычитается из наибольшего результата шах, ц соответст­ вующего столбца. Разности ai:} образуют матрицу остатков ||я//||. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разно­ стей eir. Выбираются те варианты Ею, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

По выражению для S'-критерия оценивается значение ре­ зультатов тех состояний, которые, вследствие выбора соответст­ вующего распределения вероятностей, оказывают одинаковое влияние на решение. С точки зрения результатов матрицы ||еу\\ S-критерий связан с риском, однако с позиций матрицы ||а^\\ он от риска свободен. В остальном к ситуации принятия решений предъявляются те же требования, что и в случае ММ-критерия.

4.Расширенный минимаксный критерий.

Вданном критерии используются простейшие понятия

теории вероятностей, а также, в известном смысле, теории игр. В технических приложениях этот критерий до сего времени применяется мало.

Основным здесь является предположение о том, что каж­ дому из п возможных внешних состояний Fj приписано вероят­ ность его появления q/.

№

ягностных векторов. Выбор какого-либо варианта решения Ej

приводит при достаточно долгом (многократном) применении Е,

к среднему результату.

Если же теперь случайным образом с распределением ве­ роятностей р = (р\, рг..., рт) е смешать т вариантов реше­ ний e,j, то в результате получим среднее значение

В реальной ситуации вектор q = (q\, q2,--~> qn), относящийся к состояниям Fj, бывает, как правило, неизвестен. Ориентируясь применительно к значению e(p,q) на наименее выгодное рас­ пределение q состояний Fj и добиваясь, с другой стороны, мак­ симального увеличения e(p,q) за счет выбора наиболее удачно­ го распределения р вариантов решения Е„ получают в результа­ те значение, соответствующее расширенному ММ-критерию.

Обозначим теперь через Е(р) обобщенный вариант реше­ ния, определяемый с помощью выбора вероятностного вектора

р е W(m), а через Е - множество всех таких вариантов. Тогда рас­ ширенный ММ-критерий формулируется следующим образом:

Е ( р 0 ) = ^ Е ( р 0 ) \ Е ( р 0 ) е Ё л е ( р 0 , д 0 ) = т ^ т т ^ ^ е 0 p , - q } ^ , (5.35)

где р - вероятностный вектор для Eh a q - вероятностный век­

тор для Fj.

Таким образом, расширенный ММ-критерий задается це­ лью найти наивыгоднейшее распределение вероятностей на множестве вариантов £/, когда в многократно воспроизводящей­ ся ситуации ничего не известно о вероятностях состояний Fj. Поэтому предполагается, что Fj распределены наименее выгод­ ным образом.

Представленные выше критерии можно использовать по­ очередно, причем после вычисления их значений среди не­ скольких вариантов приходится произвольным образом выде­ лять некоторое окончательное решение. Это позволяет, во-