для решения которых целесообразно использовать рассмотрен­ ные выше методы. С этой целью вводят штрафную функцию и образуют новую составную целевую функцию

где W(Xj) —рассматриваемая ограниченная функция, М(х,) - со­ ставная неограниченная функция, a (p[G7{x,)] - штрафная функ­ ция, учитывающая ограничения, заданные неравенствами.

Как видим, новая целевая функция образуется сложением целевой функции рассматриваемой задачи и штрафной функ­ ции. Штрафная функция ср(д:,) равна нулю во всех точках про­ странства проектирования, удовлетворяющих условиям G,{x,) > 0, и стремится к бесконечности в тех точках, в которых эти условия не удовлетворяются. Если все условия удовлетво­ ряются, то функции М(х,) и W(x,) имеют, очевидно, один и тот же минимум. Если же хотя бы одно условие не удовлетворяется, то целевая функция приобретает бесконечно большие значения, весьма далекие от минимального значения W(xi). Тем самым на каждую конструкцию, не удовлетворяющую поставленным ус­ ловиям, «налагается штраф».

Существуют также различные другие способы ввода и ис­ пользования штрафных функций, с которыми читателю предлагает­ ся ознакомиться самостоятельно по материалам источников [20,26].

6.3.7. Заключение по прямым методам оптимизации

Таким образом, процессы многомерной оптимизации представляют собой целенаправленное движение в пространстве управляемых параметров к точке, в которой достигается экстре­ мум целевой функции.

Существуют и другие методы поиска, не рассмотренные в данном разделе, в частности, метод сопряженных градиентов и метод переменной метрики. Читателю рекомендуется рассмот­ реть их самостоятельно по материалам источников [14,20, 24,26].

7 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При разработке математических моделей часто возникает задача включения в модель экспериментальных данных, полу­ ченных при испытаниях технических объектов или их отдельных узлов. Результаты таких испытаний всегда представляют собой наборы величин, характеризующих работу объекта при различ­ ных сочетаниях режимных параметров. Результаты численных исследований отдельных элементов и узлов также представляют собой наборы величин и с точки зрения дальнейшего использова­ ния не отличаются от экспериментальных данных. Наиболее эф­ фективным средством представления результатов экспериментов и численных расчетов в системах математического моделирова­ ния являются модели идентификации, которые, таким образом, могут быть построены на основе как чисто эмпирических данных, так и результатов теоретических исследований.

При построении модели идентификации обычно предпо­ лагается, что физическая теория работы объекта отсутствует или по гем или иным причинам не может быть использована. Объ­ ект идентификации представляет собой так называемый «чер­ ный ящик» с некоторым числом регулируемых (или, по крайней мере, измеряемых) входов х и одним или несколькими наблю­ даемыми (измеряемыми) выходами W. Задачей идентификации является построение модели объекга по результатам наблюде­ ний его реакции на возмущения внешней среды.

Математически задача идентификации формулируется следующим образом. Имеется п экспериментов (г = 1,2, ..., «),

Построение модели идентификации начинается с выбора формы -модели, т.е. вида зависимости W При этом на практике могут встретиться два случая.

1. Форма математической модели известна заранее, и за дача идентификации сводится к определению коэффициентов этой модели. Так, описание ряда затухающих или развивающих­ ся процессов дается зависимостями экспоненциального типа:

изадачей исследования является определение коэффициентов a

ир. При описании ряда физических процессов известна струк­ тура математических зависимостей. Так, например, при изуче­ нии термоэмиссионных преобразователей энергии для опреде­ ления термоэмиссионного тока используется формула Ричард- сона-Дешмана:

где J - плотность термоэмиссионного тока; Т - абсолютная тем­ пература; е - заряд электрона; к - постоянная Больцмана; ср - работа выхода металла; А - постоянная Ричардсона.

Представленная зависимость включает в себя одну вели­ чину, определяемую экспериментально, - работу выхода ф. За­ дачей идентификации в данном случае является подбор значе­ ний этой величины на основе экспериментальных данных.

Такая же ситуация имеет место при изучении теплообмена, течений жидкости, переходных процессов в системах автомати­ ческого регулирования. Иногда модель может быть сформулиро­ вана в виде критериальной зависимости, и задача идентификации тогда заключается в определении степенных показателей крите­ риев. В этих случаях количество подлежащих определению ко­ эффициентов модели идентификации точно известно.

где величина р и общее число коэффициентов регрессии т оп­ ределяются размерностью задачи к и степенью полинома d:

При этом возможны три соотношения между количеством экспериментов п и размерностью массива коэффициентов рег­ рессии т.

1. Количество коэффициентов регрессии равно количест ву экспериментальных точек (т = п). В этом случае задача сво­ дится к системе т уравнений с т неизвестными. В данном слу­ чае можно найти поверхность (кривую), точно проходящую че­ рез все экспериментальные точки.

В качестве примера на рис. 7.2, а показана такая кривая, построенная в виде полинома 3-й степени (k = 1. т = 4) по четы­ рем экспериментальным точкам. Для опорных точек полученное решение является точным, т. е. обладает нулевой ошибкой. Од­ нако точность описания процесса в промежуточных точках и достоверность самого характера модели при этом достаточно сомнительны. В частности, для экспериментальных данных, по­ казанных на рис. 7.2, а, более точной является совсем другая модель (кривая отклика показана пунктиром). Дело в том, что в случае п = т для определения коэффициентов регрессии ис­ пользуются все экспериментальные точки и не остается инфор­ мации - степеней свободы - для проверки точности модели. По­ этому случай п = т с точки зрения идентификации не является оптимальным.